2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区九年级上学期数学期中试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A. 1，4，3B. 0，﹣4，﹣3C. 1，﹣4，3D. 1，﹣4，﹣3
【答案】D
【解析】
【分析】
一元二次方程的一般形式为：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，-4，-3．
故选：D．
【点睛】本题考察了一元二次函数的一般形式，想要求出二次项系数、一次项系数和常数项就需要把函数转变为一般式：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项．
2. 已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等实数根
C. 没有实数根
D. 实数根的个数与实数b的取值有关
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
3. 有下列四个命题:
①经过三个点一定可以作圆;
②等弧所对的圆周角相等;
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;
④在同圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦.
其中正确的有( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆的认识、圆周角定理、三角形外心的性质对各小题进行逐一分析即可．
【详解】解：①经过在同一条直线上三个点不能作圆，只有三个点不在同一条直线上时才可以作圆，故本小题错误；
②等弧所对的圆周角相等，符合圆周角定理，故本小题正确；
③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以到三角形各顶点的距离都相等，故本小题正确；
④在同圆中，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故本小题错误．
故选：C．
【点睛】本题考查是命题与定理，熟知圆的性质、圆周角定理、三角形外心的性质及其垂径定理的推论是解答此题的关键．
4. 如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）
A. 55°B. 65°C. 60°D. 75°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝65°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识．正确理解题意是解题的关键．
5. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿AC 边向点C以的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以的速度沿着射线CB匀速移动，当的面积等于运动时间为
A. 5秒B. 20秒C. 5秒或20秒D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．
【详解】由题意得：AP=2t，CQ=3t，∴PC=50﹣2t，∴•PC•CQ=300，∴•（50﹣2t）•3t=300，解得：t=20或5，∴t=20s或5s时，△PCQ的面积为300m2．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型．
6. 如图,在平面直角坐标系中,⊙M 与x 轴相切于点A(8，0)．与y轴分别交于点B(0，4)与点C(0，16)．则圆心 M 到坐标原点O 的距离是 ( )
A. 10；B. 8；C. 4；D. 2；
【答案】D
【解析】
【分析】
如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径定理求出HB，在Rt△AOM中求出OM即可．
【详解】解：如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H．
已知⊙M与x轴相切于点A（8，0），可得AM⊥OA，OA=8，
即可得∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°，
所以四边形OAMH是矩形，
根据矩形的性质可得AM=OH，
因MH⊥BC，
由垂径定理得HC=HB=6，
所以OH=AM=10，
在RT△AOM中，由勾股定理可求得OM==2．
故答案选D．
【点睛】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7. 一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由一元二次方程有两个相等的实数根，则 从而列方程可得答案．
【详解】解： 方程有两个相等的实数根，




故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．
8. 用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式得到并解关于r的方程即可．
【详解】设这个圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得2πr=，
解得r=1，
所以这个圆锥的底面圆半径为1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
9. 设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.
【答案】5
【解析】
试题分析：根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案． ∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根， ∴m+n=﹣2，
∵m是原方程的根， ∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7， ∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5
考点：根与系数的关系
10. 一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数的平方恰好等于这个两位数，这个两位数是____．
【答案】25或36．
【解析】
【分析】
设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是[10（x-3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解．
【详解】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是10（x-3）+x，
依题意得：
∴
∴
∴x-3=2或3．
答：这个两位数是25或36．
故答案为：25或36．
【点睛】本题考查的是关于数字方面的一元二次方程的应用，掌握一个两位数的表示及根据题意列方程是解题的关键．
11. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=，且AE：BE =1：3，则AB= ．
【答案】
【解析】
【详解】解：如图，连接OD，设AB=4x，
∵AE：BE =1：3，∴AE= x，BE=3x，．
∵AB为⊙O直径，∴OE= x，OD=2x．
又∵弦CD⊥AB于点E， CD=，∴DE=3．
在Rt△ODE中，，
即，解得．
∴AB=4x=．
故答案为：
12. 如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为_______．
【答案】3或5
【解析】
【分析】
根据切线的性质可得OH=1,故OP=PH-OH或OP=PH+OH，即可得解．
【详解】∵
∴与直线相切，OH=1
当在直线a的左侧时，OP=PH-OH=4-1=3；
当在直线a的右侧时，OP=PH+OH=4+1=5；
故答案为3或5．
【点睛】此题主要考查切线的性质，解题的关键是根据题意分情况讨论．
13. 如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作的外接圆，则的长等于________．
【答案】
【解析】
【分析】
由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC=90°，计算出OB的长就能利用弧长公式求出的长．
【详解】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴AB=2，AC=，BC=，
∴AC2＋BC2=AB2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∴连接OC，则∠COB=90°，
∵OB=
∴的长为：=
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出△ACB为等腰直角三角形．
14. 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_______．
【答案】13
【解析】
【分析】
先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．
【详解】解：∵x2-8x+12=0，
∴，
∴x1=2，x2=6，
∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，当x=2时，2+2＜5，不符合题意，
∴三角形的第三边长是6，
∴该三角形的周长为：2+5+6=13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
15. 疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是________．
【答案】30%
【解析】
【分析】
设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，用平均增长率x表示三月份新注册用户，可列出方程，解之即可．
【详解】解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，
依题意，得：200（1+x）2＝338，
（1+x）2=1.69，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
故答案为：30%．
【点睛】本题考查是一元二次方程中增长率应用题问题，要分清给的用户是第三个月的，还是三个月的总和，掌握第三个月用增长率如何表示．
16. 如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=_____．
【答案】
【解析】
分析：根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°．求出两个扇形圆心角，表示出扇形半径即可．
详解：连OA
由已知，M为AF中点，则OM⊥AF
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴∠AOM=30°
设AM=a
∴AB=AO=2a，OM=
∵正六边形中心角为60°
∴∠MON=120°
∴扇形MON的弧长为：
则r1=a
同理：扇形DEF的弧长为：
则r2=
r1：r2=
故答案为
点睛：本题考查了正六边形的性质和扇形面积及圆锥计算．解答时注意表示出两个扇形的半径．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．）
17. 解答下列各题：
（1）用配方法解方程：．
（2）已知一元二次方程的一个根是．求的值和方程的另一个根．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）先把常数项移到右边，再添加常数项配方求解；
（2）将代入一元二次方程求得，再将代入原方程求另一个根.
【详解】（1）解：，
，
，
，
，，
（2）解：将代入，
即：，
解得：，
将代入原方程，
，
解得：，，
∴方程的另一个根为1.
【点睛】本题考查了根的定义、一元二次方程的解法，要熟练掌握配方法、因式分解法、公式法、直接开平方法，并能按照题目要求选择最佳解法.
18. 已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
【答案】（1）当m为1时，四边形ABCD是菱形，边长是；（2）▱ABCD的周长是5．
【解析】
【分析】
（1）根据菱形的性质可得出AB＝AD，结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；
（2）将x＝2代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出▱ABCD的周长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，
∴m＝1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，
解得：x1＝x2＝，
∴菱形ABCD的边长是．
（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，
解得：m＝．
将m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，
∴方程的另一根AD＝1÷2＝，
∴▱ABCD的周长是2×（2+）＝5．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据菱形的性质结合根的判别式，找出关于m的一元二次方程；（2）根据根与系数的关系结合方程的一根求出方程的另一根．
19. 如图1，有一张长宽的长方形硬纸片，裁去角上个小正方形和个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．
（1）若纸盒的高是cm，求纸盒底面长方形的长和宽；
（2）若纸盒的底面积是，求纸盒的高．
【答案】（1）长为，宽为；（2）5cm
【解析】
【分析】
（1）根据纸盒底面长方形的长（长方形硬纸片的长纸盒的高），可求出纸盒底面长方形的长；根据纸盒底面长方形的宽长方形硬纸片的宽纸盒的高，可求出纸盒底面长方形的宽；
（2）设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：（1）纸盒底面长方形的长为，
纸盒底面长方形的宽为．
答：纸盒底面长方形的长为，宽为．
（2）设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，
依题意，得：，
化简，得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：若纸盒的底面积是，纸盒的高为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20. 如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；
⑵.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由AB=CD知，即，据此可得答案；
（2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【详解】证明（1）∵AB=CD，
∴，即，
∴；
（2）∵，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
21. 如图，在方格纸中，A，B，C三点都在小方格顶点上（每个小方格的边长为1）．
（1）在图甲中画一个以A，B，C为其中三个顶点的平行四边形，并求出它的周长．
（2）在图乙中画一个经过A，B，C三点的圆，并求出圆的面积．
【答案】（1）作图见解析；12；（2）作图见解析；10π．
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的定义即可求得，由周长公式计算即可得；
（2）先确定圆心，再确定半径即可得圆，最后根据圆的面积公式可得答案．
【详解】解：（1）如图甲，▱ABCD即为所求作平行四边形，
其周长为2（AD+CD）=2（2+4）=12；
（2）如图乙，⊙O即为所求作圆，
其面积为π•（）2=10π．
22. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.
【解析】
分析：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
详解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1200，
整理，得x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2=20应舍去，
∴x=10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
23. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心的圆恰好经过A、B、C三点，⊙O交BD于E，交AD于F，且，连接OA、OF．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数．
【答案】（1）见解析（2）80°
【解析】
【分析】
（1）先根据圆的性质得：∠CBD=∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD=∠CDB，根据直径和等式的性质得：，由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形，由AB=BC可得结论；
（2）先设∠FOE=x，则∠AOF=3x，可求出∠ABC=4x,根据∠ABC+∠BAD=180°，列方程得：4x+2x+（180-3x）=180，求出x的值，则可得∠ABC的度数．
【详解】（1）证明：∵,
∴∠CBD=∠ABD，
∵CD∥AB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∵BE是⊙O的直径，
∴,
∴,
∴AB=BC=CD，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵∠AOF=3∠FOE，
设∠FOE=x，则∠AOF=3x，
∠AOD=∠FOE+∠AOF=4x，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA=（180-3x）°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=2x，
∴∠ABC=4x，
∵BC∥AD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴4x+2x+（180-3x）=180，
x=20°，
∴∠ABC=80°．
【点睛】本题考查平行四边形和菱形的判定和性质、圆的基本性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会设未知数，列方程求角的度数是解题的突破点，属于中考常考题型．
24. 已知：如图，为的直径，交于点，交 于点E，．
（1）求的大小；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）22.5°；（2）
【解析】
【分析】
（1），可求∠ABC，为的直径，可知∠AEB=90º，可求∠ABE=∠A，则∠ABC-∠ABE即可
（2）连接OE，只要求出∠BOE，△ABE是等腰直角三角形，可知OE⊥AB，S阴影=S扇形EOB-S△EOB即可．
【详解】（1）解：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°即AD⊥BC，∠BEA=90°，
∵AB=AC，∠BAC=45°
∴∠BAD=∠BAC=×45°=22.5°；∠ABE=45°，
∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°
∴∠EBC=∠ABD-∠ABE=67.5°-45°=22.5°．
（2）解：连接OE，
∵OE=OB
∴∠OBE=∠OEB=45°，
∴∠BOE=90°，
∴S阴影部分=S扇形BOE-S△OBE=．
【点睛】本题考查角的大小与阴影面积问题，关键是掌握等腰三角形的性质求出底角，直径所对圆周角，及拱形面积的求法．
25. 阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
【答案】（1），2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m=﹣4或﹣2或2．
【解析】
【分析】
（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后再求出，只要满足=即可；
（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
【详解】解：（1）∵，
∴，2，3是“和谐三数组”；
故答案为：，2，3（答案不唯一）；
（2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴，，
∴，
∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，
∴，∴，
∴=，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴或或，
即或或，
解得：m=﹣4或﹣2或2．
【点睛】本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
26. 如图，四边形内接于圆，，对角线平分．
（1）求证：是等边三角形；
（2）过点作交的延长线于点，若，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）；
【解析】
【分析】
（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积=四边形ABCD的面积=.
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠ADC=120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB=60°，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，
∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD=90°
∵∠ADC=120°，
∴∠ADM=60°，
∴∠DAM=30°，
∴DM=AD=1，AM=，
∵CD=3，
∴CM=CD+DE=1+3=4，
∴S△ACD=CD-AM=×3×=，
在Rt△AMC中，∠AMD=90°，
∴AC=，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=，
∴BN=，
∴S△ABC=××=，
∴四边形ABCD的面积=+=，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC=180°，
∵∠ADC=120°，
∴∠E=60°，
∴∠E=BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB=∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积=四边形ABCD的面积=.
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
27. 问题提出：
（1）如图①，半圆O的直径AB=10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是 ．
问题探究：
（2）如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值．
问题解决：
（3）如图③，四边形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠BCD=120°，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）25；（2）四边形BEFG的周长的最小值为30；（3）四边形ABCD的周长最大值为12+4．
【解析】
【分析】
（1）如图1，点P运动至半圆O的中点时，底边AB上的高最大，即P'O=r=5，求出此时△P'AB的面积即可；
（2）如图2，作点G关于CD的对称点G′，作点B关于AD的对称点B′，连接B′G′，B′E，FG′，根据两点之间线段最短即可解决问题；
（3）如图3，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM＝DC，首先证明AC＝CD＋CB，再证明当AC为△ABC的外接圆的直径时，四边形ABCD的周长最大．
【详解】（1）如图1，点P运动至半圆O的中点时，底边AB上的高最大，即P'O=r=5，
此时△PAB的面积最大值，
∴S△P'AB10×5=25，
故答案为：25；
（2）如图2，作点G关于CD的对称点G'，作点B关于AD的对称点B'，连接B'G'，B'E，FG'，
∵EB=EB'，FG=FG'，
∴BE+EF+FG+BG=B'E+EF+FG'+BG，
∵EB'+EF+FG'≥B'G'，
∴四边形BEFG的周长的最小值=BG+B'G'，
∵BGBC=5，BB'=20，BG'=15，
∴B'G'25，
∴四边形BEFG的周长的最小值为30；
（3）如图3，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC，
∵∠DAB=60°，∠DCB=120°，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∵AD=AB，∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠ACD=∠ADB=60°，
∵DM=DC，
∴△DMC是等边三角形，
∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC，
∴∠ADM=∠BDC，
∵AD=BD，
∴△ADM≌△BDC(SAS)，
∴AM=BC，
∴AC=AM+MC=BC+CD，
∵四边形ABCD的周长=AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC，
∵AD=AB=6，
∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，
∴当AC为△ABC的外接圆的直径时，四边形ABCD的周长最大，
∵，
∴AC的最大值=4，
∴四边形ABCD的周长最大值为12+4．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了三角形的面积、轴对称、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、四点共圆、圆的直径最大等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决最值问题．