2023—2024学年苏科版数学八年级上册期中复习练习

这是一份2023—2024学年苏科版数学八年级上册期中复习练习，共23页。试卷主要包含了【问题探究】，问题探究，已知，求下列各式中x、y的值等内容，欢迎下载使用。

1．如图，，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，四边形中，，于，，，则的面积是 ．

3．【问题探究】
（1）如图1，锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接，，请判断与的数量关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，四边形中，，，，求的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和全等的三角形，将进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；
【变式思考】
（3）如图3，四边形中，，，，，，则___________．
4．问题探究：如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①BE、CF与EF之间的关系为：BE+CF EF；（填“＞”、“＝”或“＜”）
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
问题解决：如图2，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝130°，以D为顶点作∠EDF＝65°，∠EDF的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
5．（1）如图，在四边形ABCE中，点D是BC边上一点，，．
①在图中，当时，求证：△ADE是等腰三角形；
②在图中，当时，若，求的面积；
（2）在图中，射线AM和BN，于点A，于点B，点P是AB上一点，，，在射线AM和BN上分别作点C和D，使得是等腰直角三角形，并直接用m和n表示．
题型二：轴对称
1．如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点.
(1)若=21cm，则的周长= _________;(第一问直接写答案)
(2)若，求的度数.
2．在中，，于点D，于点E，于点F，，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在的边、上取点、，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是8，则的长是 ．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，若MN＝2，则NF=
5．如图，在中，点O是角平分线的交点，若，，则的值为 ．

6．如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为______．
7．已知：如图，△ABC中∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB的延长线于点F．
(1)求证：AE＝BF；
(2)若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判断△ABC的形状，并证明；
(3)设AB=c， BC=a，AC=b(b>a)，若∠ACB=90°，且△ABC的周长与面积都等于30，求CE的长．
题型三：勾股定理
1．如图，在中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，，若，，，则 ．
2．如图，O是正内一点，，，．将线段绕B逆时针旋转得到线段，那么 ．
3．如图，在等腰中，，高，平分，则三角形的面积为 ．
4．如图，在四边形ABCD中，AB =AD，BC=DC，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若A =60°，AB=4，CE=3，则BC的长为 ．

5．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为 .
6．如图，平分，．若，，则AB的长为 ．
7.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?答：折断处离地面 尺高.
8.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 ．
8.如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形.
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数.
图①图②图③
题型四：实数
1．如果，那么 ．
2．若一个正数的两个不同的平方根为2a+1和3a﹣11，则a＝ ．
3．已知 ，则的算术平方根是 .
4．近似数0.120精确到 .；近似数1.58万精确到 ≈ .（精确到0.1）
5．已知，则的平方根是 ；
6．下列说法：①如果两个三角形全等，那么这两个三角形一定成轴对称；②数轴上的点和实数一一对应；③是3的一个平方根；④两个无理数的和一定为无理数；⑤6.9103精确到十分位；⑥ 的平方根是4.其中正确的 .（填序号）
7．已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|1﹣a|+的结果为 ．
8．求下列各式中x、y的值：
（1）若实数2是实数x+1的平方根，3是4y-1的立方根，求xy的值
（2）8(x-1)3=-27
（3）(x-1)2-1=24
9．（1）若x,y为实数，且 求的平方根.
（2）已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．
10．已知a、b、c满足，则的平方根为 ．
11．若m+1=a2+(a+1)2，其中a>0，则2m+1的算术平方根为 .(用含a的式子表示)
12．已知：，其中x是整数，且013．已知：，则 ．
题型五：实数的应用
1．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2，于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：
(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．
2．下面是小明探索的近似值的过程：
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知．因此可设，画出如下示意图．
由图中面积计算，
另一方面由题意知
所以
略去，得方程．
解得．即．
(1)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
(2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算___________．（用a、b的代数式表示）
3．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7；
③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)= ；
(2)若，则 ；
(3)已知，且与互为相反数，求的值．
4．阅读感悟：
学习过平方根的概念之后，我们知道，等；七年级下学期我们学习过“积的乘方”，我们知道（是正整数），所以我们可以计算出；学完实数后，有理数运算的法则、公式和运算律仍然适用，例如：
聪明的小明发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
我们来进行以下的探索：
设（其中，，，都是正整数），则有，
，，这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）______－______；
（2）当，，，都为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得_______，_______；
（3）且，，都为正整数，求的值．
5．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中、、、均为整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得_____，_______；
（2）试着把写成一个完全平方式：；
（3）若是的立方根，是的平方根，试计算：．
题型六：作图问题
1．如图，在中，．

(1)用直尺和圆规在上作点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，若点分别到和的距离相等，求的度数．
2．（1）仅用直尺，在如图所示的方格纸中按要求完成画图．
①经过点，画直线平行于所在直线．
②过点，画直线垂直于所在直线．
（2）用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：，点在上，
求作：点，使点在内部，且，．

3．如图．已知，，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）

4．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，和四边形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图（不写作法，保留画图痕迹）

(1)如图①，在网格中找格点D，使得，且点D与点C在边的异侧；
(2)如图②，在网格中找格点E，使得，点E与点A在边的异侧；
(3)如图③、四边形内找一点O，使，．
题型七：折叠问题
1．如图，在中，，，，点D为斜边的中点，连接，将沿翻折，使B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点A与点E重合，则的长为 ．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将边AC A沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边 BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点 E、F，则△B'FC 的面积为 ．
3.已知如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，将△ABE沿着BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF、DC相交于点G，若DG=16，BC=24，则FH=___.
4．如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=9，AB=CD=15．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE为_________．
5．我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运动前后的两个图形全等，翻折就是这样．如图1，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，则△ADC≌△ADC'．
尝试解决：（1）如图2，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，求CD的长．
（2）如图3，在长方形ABCD中，AB=8，AD=6，点P在边AD上，连接BP，将△ABP沿BP翻折，使点A落在点E处，PE、BE分别与CD交于点G、F，且DG=EG．
①求证：PE=DF；
②求AP的长．
题型八：最值问题
1．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是的角平分线，E是AD上的动点，F是AB边上的动点，则BE+EF的最小值为 ．
2．如图，中，，垂足为，，为直线上方的一个动点，的面积等于的面积的，则当最小时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．已知中，，，D是边的中点，点E、F分别在、边上运动，且保持．连接、、得到下列结论：①是等腰直角三角形；②面积的最大值是2；③的最小值是2．其中正确的结论是（ ）
A．②③B．①②C．①③D．①②③
4．如图，在中，．平分且交于点D，点E和F分别是线段和上的动点，则的最小值为 ．

5．如图，在中，，，点是边上的一个动点，连接，以为边作，使，为的中点，连接，则线段的最小值为 ．
6．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
(1)【思想应用】已知m，n均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，．
①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ；
②据此写出的最小值 ；
(2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ；
(3)【拓展应用】①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值；
②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积 ．
题型九：新定义
1．阅读材料：如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．我们把叫做正数a、b算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．根据上述材料，若，则y最小值为 ．
2．若记[x]表示任意实数的整数部分，例如：[4.2]=4、[]=1、…，则[]-[]+[]-[]+……+[]-[]（其中“+”、“-”依次相间）的值为
3．新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“美妙线”．
(1)如图1，四边形是“等腰四边形”，为“美妙线”，若，则______°；
(2)如图2，四边形中，，，，试说明四边形是“等腰四边形”；
(3)若在“等腰四边形”中，，且为“美妙线”，请直接写出的度数______
4．定义：若过三角形的一个顶点作射线与其对边相交，将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形，那么这条射线就叫做原三角形的“等腰分割线”．
(1)在中，，，．
①如图1，若O为的中点，则射线_____的等腰分割线（填“是”或“不是”）
②如图2，已知的一条等腰分割线交边于点P，且，请求出的长度．
(2)如图3，中，为边上的高，F为的中点，过点F的直线l交于点E，作，，垂足为M，N，，，且．若射线为的“等腰分割线”，求的最大值．
5．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足ac+a2＝b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
（1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是 （填“真”或“假”）命题．
（2）如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数．
（3）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A．
①当∠A＝28°时，你能把这一个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由．
②请证明△ABC为“类勾股三角形”．
6．阅读：我们已经学习了平方根，立方根等概念．例如：如果x2＝a（a＞0），那么x叫做a的平方根，即x＝，通过无理数的学习，我们了解：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道“负数没有平方根”，即在实数范围内的任何一个数x都无法使得x2＝﹣1成立．现在，我们设想引入一个新数i，使得i2＝﹣1成立，且这个新数i与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数b与i的相乘记作bi，任意实数a与bi相加记作a+bi．由此，我们将形如a+bi（a，b均为实数）的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．对于复数a+bi（a，b均为实数），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它是纯虚数．例如3+2i，，﹣，i都是虚数，它们的实部分别是3，，，0，虚部分别是2，，，，并且以上虚数中只有i是纯虚数．
阅读理解以上内容，解决下列问题：
（1）化简：﹣2i2＝ ；（﹣i）3＝ ．
（2）已知复数：m2﹣1+（m+1）i（m是实数）
①若该复数是实数，则实数m＝ ；
②若该复数是纯虚数，则实数m＝ ．
（3）已知等式：（x﹣y+3）+（x+2y﹣1）i＝0，求实数x，y的值．
题型十：找规律
1.如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n＋2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2018条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是_______
2．分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.

，；
，；
，
(1)请用含有（为正整数）的等式___________；
(2)推算出___________.
(3)求出的值．
3．我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
(1)表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝ ；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知，则①≈ ；②≈ ．
题型十一：动点问题
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．
（1）填空：AC= cm；
（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求t的值；
（3）当t为何值时，△BPC为等腰三角形?
2．如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设运动时间为t秒．
(1)动点P运动2秒后，求的周长．
(2)问t满足什么条件时，为直角三角形？
(3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
3．如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)求斜边的长和斜边上的高的长．
(2)当点P在上时．
①用含t的代数式表示的长为 ；
②若点P在的角平分线上，求t的值．
(3)在整个运动过程中，直接写出是等腰三角形时t的值．
4．如图1，长方形ABCD中，AB＝5，AD＝12，E为AD边上一点，DE＝4，动点P从点B出发，沿B→C→D以2个单位/s作匀速运动，设运动时间为t．
⑴ 当t为 s时，△ABP与△CDE全等；
⑵ 如图2，EF为△AEP的高，当点P在BC边上运动时，EF的最小值是 ；
⑶ 当点P在EC的垂直平分线上时，求出t的值．
5．在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是90°.如图，长方形ABCD中，AD=9cm，AB=4cm，E为边AD上一动点，从点D出发，以1cm/s向终点A运动，同时动点P从点B出发，以acm/s向终点C运动,运动的时间为ts.
（1）当t=3时，
①求线段CE的长；
②当EP平分∠AEC时，求a的值；
（2）若a=1,且△CEP是以CE为腰的等腰三角形,求t的值；
（3）连接DP,直接写出点C与点E关于DP对称时的a与t的值.
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…