2024年高考数学第一轮复习专题31 概率小题综合训练（原卷版）

专题31 概率小题综合训练

【考点预测】

一、必然事件、不可能事件、随机事件

在一定条件下：

①必然要发生的事件叫必然事件；

②一定不发生的事件叫不可能事件；

③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件．

二、概率

在相同条件下，做次重复实验，事件A发生次，测得A发生的频率为，当很大时，A发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A的概率，记作．对于必然事件A，；对于不可能事件A，=0．

三、基本事件和基本事件空间

在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间．

四、古典概型

条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同

五、互斥事件的概率

1、互斥事件

在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件．事件A与事件B互斥，则 ．

2、对立事件

事件A，B互斥，且其中必有一个发生，称事件A，B对立，记作或．．

3、互斥事件与对立事件的联系

对立事件必是互斥事件，即“事件A，B对立”是”事件A，B互斥“的充分不必要条件．

六、条件概率与独立事件

（1）在事件A发生的条件下，时间B发生的概率叫做A发生时B发生的条件概率，记作 ，条件概率公式为 ．

（2）若，即，称与为相互独立事件．与相互独立，即发生与否对的发生与否无影响，反之亦然．即相互独立，则有公式．

（3）在次独立重复实验中，事件发生次的概率记作，记在其中一次实验中发生的概率为 ，则 ．

【典例例题】

例1．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）从一副标准的52张（不含大小王）扑克牌中任意抽一张，抽到方片K的概率为（    ）

A． B． C． D．1

例2．（2023秋·山东济宁·高二统考期末）假设，且与相互独立，则（    ）

A． B． C． D．

例3．（2023·全国·高二专题练习）若，，，则事件A与事件B的关系是（    ）

A．互斥但不对立 B．独立

C．对立 D．独立且互斥

例4．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）5个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人不相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

例5．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知数学考试中，李伟成绩高于80分的概率为0.25，不低于60分且不高于80分的概率为0.5，则李伟不低于60分的概率为（    ）

A． B． C． D．

例6．（2023·高一课时练习）从编号为1到100的100张卡片中任取一张，以下事件中发生可能性最小的是（    ）

A．卡片上数字是2的倍数 B．卡片上数字是3的倍数

C．卡片上数字是4的倍数 D．卡片上数字是5的倍数

例7．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明共购买了5个盲盒，则他恰能在第5次集齐3种玩偶的概率为__________.

例8．（2023秋·山东潍坊·高三统考期中）一个盒子中有4个白球,个红球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,已知第二次取到红球的条件下,第一次也取到红球的概率为,则________.

例9．（2023秋·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）从数字2，4，6中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于60的概率为______．

例10．（2023·全国·高三专题练习）某汽车店有甲、乙、丙、丁、戊5种车型在售，小王从中任选2种车型试驾，则甲车型被选到的概率为_________.

例11．（2023·全国·高三专题练习）一枚均匀的硬币连续抛掷三次，至少出现一次正面朝上的概率为___________．

例12．（2023·上海·高三专题练习）甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙实习生加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为___________.

例13．（2023·全国·高三专题练习）花博会有四个不同的展馆，甲、乙各选个去参观，问两人选择中恰有一个馆相同的概率为________．

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2023·高一课时练习）下列四个事件：

①明天上海的天气有时有雨；②东边日出西边日落；③鸡蛋里挑骨头；④守株待兔．

其中必然事件有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）袋中装有大小相同的2个白球和5个红球，从中任取2个球，则取到的2个球颜色相同的概率是（    ）

A． B． C． D．

3．（2023·高一单元测试）从由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的两位数中任取一个，这个两位数大于30的概率是（    ）

A． B． C． D．

4．（2023·高一单元测试）下列说法不正确的是（    ）

A．必然事件是一定条件下必定发生的事件

B．不可能事件是一定条件下必然不会发生的事件

C．随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件

D．事件A发生的概率一定满足

5．（2023·高一课时练习）一批零件共有10个，其中8个正品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第二次取到合格品的概率为，第三次取到合格品的概率为，则（    ）

A． B． C． D．与的大小关系不确定

6．（2023·高一课时练习）掷两个面上分别记有数字至的正方体玩具，设事件为“点数之和恰好为”，则中基本事件个数为（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

7．（2023·高一课时练习）袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（    ）

A．相互独立事件 B．不相互独立事件

C．互斥事件 D．对立事件

8．（2023·高一课时练习）抛掷两枚硬币，事件A表示“至少一枚正面朝上”，事件B表示“两枚正面都不朝上”，则（    ）

A． B．

C． D．

9．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）将数据 这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（    ）

A． B． C． D．

10．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）某市1路、9路公交车的站点均包括育才学校站和舒馨嘉园小区站，1路公交车每10分钟一趟，9路公交车每20分钟一趟，若育才学校的学生小明坐这2趟公交车回居住的舒馨嘉园小区，则他等车不超过5分钟的概率是（    ）

A． B． C． D．

11．（2023·河南信阳·高三统考期末）为防控新冠疫情，很多公共场所要求进入的人必须佩戴口罩．现有人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

12．（2023·全国·高三专题练习）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．从袋中随机抽取两个球，那么取出的球的编号之和不大于4的概率为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

13．（2023·江苏南通·统考一模）一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（    ）

A． B．为互斥事件

C． D．相互独立

14．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）将，，，这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片，则（    ）

A．“甲得到卡片”与“乙得到卡片”为对立事件

B．“甲得到卡片”与“乙得到卡片”为互斥但不对立事件

C．甲得到卡片的概率为

D．甲、乙2人中有人得到卡片的概率为

15．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）甲乙两人准备买一部手机，购买国产手机的概率分别为，，购买白色手机的概率分别为，，若甲乙两人购买哪款手机互相独立，则（    ）

A．恰有一人购买国产手机的概率为

B．两人都没购买白色手机的概率为

C．甲购买国产白色手机的概率为

D．甲乙至少一位购买国产白色手机的概率为

16．（2023秋·江苏·高三统考期末）连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（    ）

A．事件A与事件B不互斥 B．事件A与事件B相互独立

C．  D．

17．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）设A，B是两个随机事件，且，若B发生时A必定发生，则下列结论错误的是（    ）

A． B．

C． D．

18．（2023·全国·模拟预测）一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件A“这3个球都是红球”，事件B“这3个球中至少有1个红球”，事件C“这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（    ）

A．事件A发生的概率为 B．事件B发生的概率为

C．事件C发生的概率为 D．

19．（2023·全国·高三专题练习）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：

事件A：恰有一件次品；

事件B：至少有两件次品；

事件C：至少有一件次品；

事件D：至多有一件次品．

下列选项正确的是（    ）

A． B．是必然事件

C． D．

20．（2023·全国·高三专题练习）从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设三件产品全不是次品，三件产品全是次品三件产品有次品，但不全是次品，则下列结论中正确的是（    ）

A．与互斥 B．与互斥

C．任何两个都互斥 D．与对立

21．（2023·全国·高三专题练习）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）

A．个球都是红球的概率为 B．个球中恰有个红球的概率为

C．至少有个红球的概率为 D．个球不都是红球的概率为

22．（2023·全国·高三专题练习）从装有2个白球和3个红球的袋子中任取2个球，则（    ）

A．“都是红球”与“都是白球”是互斥事件

B．“至少有一个红球”与“都是白球”是对立事件

C．“恰有一个白球”与“恰有一个红球”是互斥事件

D．“至少有一个红球”与“至少有一个白球”是互斥事件

23．（2023·全国·高三专题练习）支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（    ）

A．若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人

B．该医院青年患者所占的频率为

C．该医院的平均治愈率为28.7%

D．该医院的平均治愈率为31.3%

24．（2023·全国·高三专题练习）事件与互斥，若，则（    ）

A． B．

C． D．

25．（2023·全国·高三专题练习）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：

记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（    ）A．              B．

C． D．

三、填空题

26．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）2022年12月18日在卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队以总分7比5战胜法国队，历时28天的2022卡塔尔世界杯也缓缓落下了帷幕．随后某电视台轮流播放半决赛及以后的这4场足球赛（如图），某人随机选3场进行观看，其中恰好总决赛、季军赛被选上的概率为______．

27．（2023·陕西榆林·统考一模）自然对数的底数，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和一样是无限不循环小数，的近似值约为.若从欧拉数的前4位数字中任选2个，则至少有1个偶数被选中的概率为__________.

28．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）由于夏季炎热某小区用电量过大，据统计一般一天停电的概率为0.3，现在用数据0、1、2表示停电；用3、4、5、6、7、8、9表示当天不停电，现以两个随机数为一组，表示连续两天停电情况，经随机模拟得到以下30组数据，

28  21  79  14  56    74  06  89  53  90    14  57  62  30  93

78  63  44  71  28    67  03  53  82  47    23  10  94  02  43

根据以上模拟数据估计连续两天中恰好有一天停电的概率为________.

29．（2023秋·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期末）二十四节气歌是古人为表达人与自然宇宙之间独特的时间观念，科学揭示天文气象变化规律的小诗歌，它蕴含着中华民族悠久文化内涵和历史积淀，体现着我国古代劳动人民的智慧其中四句“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，则这2个节气恰好不在一个季节的概率为______．

30．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）从3男2女共5名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为__________．

31．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开．某媒体从甲、乙等6名记者中选两人参加宣传报道，则甲、乙至少有一人被人选的概率为________．

甲、乙至少有一人被入选有：甲乙、甲1、甲2、甲3、甲4、乙1、乙2、乙3、乙4，共9种情况，

所以甲、乙至少有一人被人选的概率为．

故答案为：

32．（2023秋·河南开封·高三统考期末）在正中，连接三角形三边的中点，将它分成4个小三角形，并将中间的那个小三角形涂成白色后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图形.在内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是______.

33．（2023·上海·统考模拟预测）已知事件A发生的概率为，则它的对立事件发生的概率______________．

34．（2023·上海·统考模拟预测）已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为_____________．

35．（2023·全国·高三对口高考）根据射击训练后的统计显示：甲射手射中目标的频率是，乙射手射中目标的频率是，且甲、乙两射手的射击是相互独立的．那么当两人同时射击同一个目标时，该目标被射中的概率估计为________．

36．（2023·上海静安·统考一模）现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是____________．

37．（2023·全国·高三对口高考）某地需要从我市某医院某科室的名男医生和名女医生中分别选派名医生支援，则选中男女医生均不少于名的概率为________．

38．（2023·全国·高三专题练习）在两个盒子中各有编号分别为的3个乒乓球，现分别从每个盒子中随机地各取出1个乒乓球，那么至少有一个编号是奇数的概率为___________.

39．（2023·全国·高三专题练习）在航天员进行的一项太空试验中，先后要实施6道程序，则程序A只能出现在最后一步，且程序B与程序C必须相邻实施的概率为___________．

40．（2023·全国·高三专题练习）从中随机取两个元素（可相同），则这两个元素的积不是6的倍数的概率为______.

41．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在，，0，1，2的五个数字中，有放回地随机取两个数字分别作为函数中a，b的值，则该函数图像恰好经过第一、三、四象限的概率为______．

42．（2023·全国·高三对口高考）从编号为的个小球中有放回地取2个小球，则两个小球的编号之和为4的概率为___________．