2024年高考数学第一轮复习专题29 排列组合（原卷版）

专题29 排列组合

【考点预测】

知识点1、排列与排列数

（1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．

（2）排列数的公式：．

特例：当时，；规定：．

（3）排列数的性质：

①；②；③．

（4）解排列应用题的基本思路：

通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．

注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用．

知识点2、组合与组合数

（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．

（2）组合数公式及其推导

求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：

第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；

第二步，求每一个组合中个元素的全排列数；

根据分步计数原理，得到；

因此．

这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：．

注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明．

（3）组合数的主要性质：①；②．

（4）组合应用题的常见题型：

①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型

②“至少”或“最多”含有几个元素的题型

知识点3、排列和组合的区别

组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．

注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．

知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程

1、认真审题，确定要做什么事；

2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；

3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；

4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．

【典例例题】

例1．（2023·辽宁阜新·高二校考期末）如图，提供4种不同的颜色给图中，，，四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（     ）种．

A．12 B．36 C．48 D．72

例2．（2023·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同，不同的分配方案共有（    ）

A．540种 B．360种 C．180种 D．120种

例3．（2023·辽宁营口·高二统考期末）有5名学生全部分配到4个地区进行社会实践，且每名学生只去一个地区，其中A地区分配了1名学生的分配方法共（    ）种

A．120 B．180 C．405 D．781

例4．（2023·河南南阳·高二统考期末）将甲，乙等5名志愿者全部分派到4个核酸采样点协助工作（每个采样点至少1人），其中甲，乙两人不能去同一个采样点，则不同的分派方案共有（    ）

A．120种 B．216种 C．240种 D．432种

例5．（多选题）（2023·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．若，则正整数x的值是1

例6．（2023·辽宁阜新·高二校考期末）某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有_____________种.

例7．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）受新冠病毒肺炎影响，某学校按照上级文件精神，要求错峰放学去食堂吃饭，高三年级一层楼有四个班排队，甲班不能排在最后，且乙、丙班必须排在一起，则这四个班排队吃饭不同方案有__________种（用数字作答）．

例8．（2023·陕西榆林·统考一模）自然对数的底数，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和一样是无限不循环小数，的近似值约为.若用欧拉数的前6位数字设置一个六位数的密码，则不同的密码共有__________个.

例9．（2023·广东汕头·高三校考阶段练习）如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为___．

例10．（2023·高三课时练习）已知，则_________.

例11．（2023·全国·高三对口高考）计算的值为_________.

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2023·北京·高二北京市十一学校校考期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（    ）种排法？

A．72 B．36 C．24 D．12

2．（2023·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）设5名男同学报名参加同一时间安排的4种课外活动的方案有种；5名女同学在运动会上共同争夺跳高､跳远､铅球､跑步4项比赛的冠军的可能结果有种，则为（    ）

A． B．

C． D．

3．（2023·高二课时练习）如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（    ）．

A．180 B．160 C．96 D．60

4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（    ）

A．12 B．24 C．48 D．84

5．（2023·山西太原·高三统考期末）某学校音乐社团为庆祝学校百年华诞将举办歌曲展演，要从4首独唱歌曲和2首合唱歌曲中选出4首歌曲安排演出，若最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法种数为（    ）

A．96 B．120 C．240 D．360

6．（2023·广东茂名·统考一模）将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（    ）

A．480种 B．240种 C．15种 D．10种

7．（2023·广西·统考模拟预测）将3个1和2个0随机排成一行,则共有多少种方法（    ）

A．5 B．6 C．10 D．15

8．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知面积为1的正三角形三边的中点分别为，，，则从，，，，，六个点中任取三个不同的点构成的面积为的三角形的个数为（    ）

A．4 B．6 C．10 D．11

9．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）某校有5名大学生观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名大学生且至多2名大学生观看，则这5人观看比赛的方案种数为（    ）

A．150 B．90 C．60 D．15

10．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）某市要建立步行15分钟的核酸采样点，现有9名采样工作人员全部分配到3个采样点，每个采样点至少分配2人，则不同的分配方法种数为（    ）

A．1918 B．11508 C．12708 D．18

11．（2023·江西吉安·高三统考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，10月17日各代表团分组讨论党的二十大报告．某媒体5名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道，每名记者只去1个小组，每个小组最多两名记者，若记者不去甲组，则不同的安排方法共有（    ）

A．15种 B．30种 C．60种 D．90种

12．（2023·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到3个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（    ）

A．360种 B．240种 C．150种 D．90种

13．（2023·全国·高三专题练习）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（    ）

A．720种 B．420种 C．120种 D．15种

14．（2023·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（　　）

A．25种          B．50种         C．300种         D．150种

二、多选题

15．（2023·辽宁营口·高二统考期末）某校的高一和高二年级各10个班级，从中选出五个班级参加活动，下列结论正确的是（    ）

A．高二六班一定参加的选法有种

B．高一年级恰有2个班级的选法有种

C．高一年级最多有2个班级的选法为种

D．高一年级最多有2个班级的选法为种

16．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考开学考试）在10件产品中，有两件次品，从中任取3件，则下列结论错误的有（    ）

A．“其中恰有2件次品”的抽法有8种

B．“其中恰有1件次品”的抽法有28种

C．“其中没有次品”的抽法有56种

D．“其中至少有1件次品”的抽法有56种

三、填空题

17．（2023·辽宁营口·高二统考期末）为了迎接节日，商场将相同样式的红、黄、蓝三种颜色的彩灯各3盏，串成一排悬挂，共有______种不同的悬挂方式.（用数字作答）

18．（2023·广东广州·统考二模）现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有 __种．（用数字作答）

19．（2023·高三课时练习）展会期间，要安排位志愿者到个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排个人，剩下两个展区各安排个人，不同的安排方案共有_________种.

20．（2023·高三课时练习）将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只能填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有_________种.

21．（2023·全国·模拟预测）由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个.

22．（2023·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）有8名歌舞演员，其中6名会唱歌，5名会跳舞，从中选出3人，并指派1人唱歌，另2人跳舞，则不同的选派方法有__________ 种．

23．（2023·高二课时练习）有4名男生3名女生共七人排成一排照相，要求3名女生各不相邻的排法有______种．

24．（2023·高二课时练习）有四位学生参加三项竞赛，要求每项竞赛只需其中一位学生参加，有______种参赛情况．

25．（2023·高二课时练习）A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有______种．

26．（2023·江西上饶·高二统考期末）共6人站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么6人的排列方法种数共有______种（请用数字作答）.

27．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）3名女生和2名男生站成一排照相，若每名男生至少与1名女生相邻，则共有_________种站法

28．（2023·全国·高三对口高考）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）

29．（2023·陕西西安·校考模拟预测）某重点高中选派3名男教师和2名女教师去支教，将5人分配到3所学校每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为________种.

30．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）把6本不同的书分给甲乙丙丁4个人，每人至少得一本，则不同的分配方法___________.

31．（2023·高三课时练习）某市拟成立一个由6名中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的4所实验中学，要求每所实验中学都有学生参加，那么不同的名额分配方法的种数是_________.

32．（2023·山东滨州·高三统考期末）10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有______种

四、解答题

33．（2023·高二课时练习）用0、1、2，3、4、5组成无重复数字的四位数，求分别满足下列条件的四位数的个数．

(1)能被25整除的数；

(2)十位数字比个位数字大的数．

34．（2023·高二课时练习）将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．

(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；

(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；

(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；

(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．

35．（2023·高二课时练习）书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．

(1)从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

(2)从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

(3)从这些书中取不同科目的书共两本，有多少种不同的取法？

36．（2023·高三课时练习）有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的种数.

(1)选其中5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；

(4)全体排一排，女生必须站在一起；

(5)全体排一排，男生互不相邻；

(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；

(7)全体排一排，甲必须排在乙的前面；

(8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端.