辽宁省阜新市实验中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

这是一份辽宁省阜新市实验中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年辽宁省阜新市实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题。（每题2分，共20分）
1．（2分）关于x的一元二次方程x2＝5x﹣1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．1，﹣5，﹣1 B．﹣1，﹣5，﹣1 C．1，﹣5，1 D．1，5，1
2．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17
3．（2分）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）

A．9.6 B．0.6 C．6.4 D．0.4
4．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，CD＝3，AC＝2，则BC的长为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．
5．（2分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．（2分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，下列判断正确的是（　　）

A．若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形
C．若AC⊥BD，AC＝BD，则四边形ABCD是正方形
D．若AO＝OC，BO＝OD，则四边形ABCD是平行四边形
7．（2分）某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（　　）

A．（30﹣2x）（20﹣2x）＝214
B．（30﹣x）（20﹣x）＝30×20﹣214
C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝30×20﹣214
D．（30+2x）（20+2x）＝30×20﹣214
8．（2分）在元旦晚会上有一个闯关活动：将4张分别画有正方形、圆、平行四边形、菱形的卡片任意摆放（卡片大小、质地、颜色完全相同），将有图形的一面朝下，从中任意翻开2张，如果翻开的2张都是既是中心对称图形又是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
9．（2分）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为（　　）

A． B． C． D．
10．（2分）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，已知AD＝6（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），DF＝2，则S△AEF＝（　　）

A．6 B．12 C．15 D．30
二、填空题。（每题3分，共18分）
11．（3分）关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是3，则另一个根是 　 　．
12．（3分）不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出一个球，则摸出2个红球的概率为 　 　．
13．（3分）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，求这次会议到会的人数，若设这次会议到会人数为x，则根据题意可列方程 　 　．
14．（3分）如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率是　 　（第一个圆三等份，第二个圆二等份，红色和蓝色配成紫色）

15．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形的边AB，BC于点M，N．记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为 　 　．

16．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6，BD＝8，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E．点G在直线AC上运动，则BG+EG的最小值为 　 　．
​

三、解答题。（第17、18、19、20、21题每题8分，第22、23、24题每题10分，第25题12分，共计82分）
17．（8分）解下列方程：
（1）x（x+1）＝（x+1）；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0．
18．（8分）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　 　；（精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）＝　 　；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
19．（8分）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线交AB于点E，交AC于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）若AE＝5，AD＝8，则四边形AEDF的面积为 　 　．

20．（8分）为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元曲”三类（分别用A，B，C依次表示这三类比赛内容）．现将正面写有A，B，C的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容．选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小梅再随机抽取一张，记下字母．请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率．
21．（8分）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　．
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0 的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．
（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．

23．（10分）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
24．（10分）在综合与实践活动课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，如图1，现有矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝7．
动手操作
将图1中的矩形纸片折叠，使点A落在BC边上的点F处，然后展平，得到折痕BE，连结EF，EC，如图2．

解决问题
请根据图2完成下列问题：
（1）线段CF的长为 　 　．线段CE的长为 　 　．
（2）试判断四边形ABFE的形状，并给予证明．
拓展探究
（3）将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D落在CE上的点N处，然后展平，得到折痕EM，连结MN，如图3，则线段CM的长为 　 　．
25．（12分）如图①，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A，O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB 且PE交边CD于点E．
（1）求证：PB＝PE；
（2）如图②，若正方形ABCD的边长为6，过E作EF⊥AC于点F，在P点运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；
（3）如图③，直接写出线段PC，PA，CE之间的数量关系．
​

（参考答案）
一、选择题。（每题2分，共20分）
1．（2分）关于x的一元二次方程x2＝5x﹣1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．1，﹣5，﹣1 B．﹣1，﹣5，﹣1 C．1，﹣5，1 D．1，5，1
【解答】解：由原方程得到：x2﹣5x+1＝0，则该方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣5，1．
故选：C．
2．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5．
故选：C．
3．（2分）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）

A．9.6 B．0.6 C．6.4 D．0.4
【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
据此可以估计黑色部分的面积为16×0.6＝9.6．
故选：A．
4．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，CD＝3，AC＝2，则BC的长为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，
∴AB＝2CD，
∵CD＝3，
∴AB＝6，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝＝4，
故选：D．
5．（2分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．（2分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，下列判断正确的是（　　）

A．若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形
C．若AC⊥BD，AC＝BD，则四边形ABCD是正方形
D．若AO＝OC，BO＝OD，则四边形ABCD是平行四边形
【解答】解：A、若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选项A不符合题意；
B、若AC＝BD，则四边形不一定ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、若AC⊥BD，AC＝BD，则四边形ABCD不一定是正方形，故选项C不符合题意；
D、∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
7．（2分）某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（　　）

A．（30﹣2x）（20﹣2x）＝214
B．（30﹣x）（20﹣x）＝30×20﹣214
C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝30×20﹣214
D．（30+2x）（20+2x）＝30×20﹣214
【解答】解：设健走步道的宽度为x米，根据题意得：（30﹣2x）（20﹣2x）＝30×20﹣214，
故选：C．
8．（2分）在元旦晚会上有一个闯关活动：将4张分别画有正方形、圆、平行四边形、菱形的卡片任意摆放（卡片大小、质地、颜色完全相同），将有图形的一面朝下，从中任意翻开2张，如果翻开的2张都是既是中心对称图形又是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
【解答】解：将正方形、圆、平行四边形、菱形分别记为A，B，C，D，
则既是中心对称图形又是轴对称图形的为A，B，D，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中翻开的2张都是既是中心对称图形又是轴对称图形的结果有：AB，AD，BA，BD，DA，DB，共6种，
∴一次过关的概率是＝．
故选：D．
9．（2分）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：作CH⊥BD于点H，连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OC＝OB，
∵∠BCD＝90°，CD＝AB＝5，BC＝AD＝12，
∴BD＝＝＝13，
∴OC＝OB＝×13＝，
∵BD•CH＝BC•CD＝S△BCD，
∴×13CH＝×12×5，
解得CH＝，
∵EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，S△COE+S△BOE＝S△BOC，
∴OC•EF+OB•EG＝OB•CH，
∴×EF+×EG＝××，
∴EF+EG＝，
故选：C．

10．（2分）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，已知AD＝6（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），DF＝2，则S△AEF＝（　　）

A．6 B．12 C．15 D．30
【解答】解：如图，过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵AH⊥AE，
∴∠HAE＝∠BAD＝90°，
∴∠HAD＝∠BAE，
在△ADH和△ABE中，
，
∴△ADH≌△ABE（ASA），
∴BE＝HD，AH＝AE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠HAF＝∠EAF＝45°，
在△AFH和△AFE中，
，
∴△AFH≌△AFE（SAS），
∴EF＝HF，
∵DF＝2，
∴CF＝4，
∵EF2＝CE2+CF2，
∴（2+BE）2＝16+（6﹣BE）2，
∴BE＝3，
∴HF＝HD+DF＝5，
∵△AFH≌△AFE，
∴S△AEF＝S△AFH＝×HF×AD＝×5×6＝15，
故选：C．
二、填空题。（每题3分，共18分）
11．（3分）关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是3，则另一个根是 　﹣6　．
【解答】解：设方程的另一个根是x1，
依题意得：x1+3＝﹣3，
解得：x1＝﹣6．
故答案为：﹣6．
12．（3分）不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出一个球，则摸出2个红球的概率为 　　．
【解答】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中摸出2个红球的结果有4种，
∴摸出2个红球的概率为．
故答案为：．
13．（3分）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，求这次会议到会的人数，若设这次会议到会人数为x，则根据题意可列方程 　x（x﹣1）＝66　．
【解答】解：设这次会议到会人数为x，
依题意，得：x（x﹣1）＝66．
故答案为：x（x﹣1）＝66．
14．（3分）如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率是　　（第一个圆三等份，第二个圆二等份，红色和蓝色配成紫色）

【解答】解：由树状图可知，共有3×2＝6种可能，配得紫色的有3种，所以概率是．

15．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形的边AB，BC于点M，N．记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为 　9　．

【解答】解：∵四边形ABCD和四边形OEGF都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠EOF＝90°，
∴∠EOB＝∠COF，
在△OBM与△OCN中，
，
∴△OBM≌△OCN（SAS），
∴，
∴S2＝25﹣16＝9，
故答案为：9．
16．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6，BD＝8，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E．点G在直线AC上运动，则BG+EG的最小值为 　　．
​

【解答】解：如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AC⊥BD，
∵四边形BOCE是矩形，
∴BE＝OC＝3cm，∠EBO＝90°，
作B点关于AC的对称点，即D点，连接ED，交AC于点G，连接BG，
∴BG＝DG，
∴BG+EG＝DG+EG，
∵两点之间线段最短，
∴此时BG+EG有最小值，即线段DE，
在Rt△EBD中，DE＝＝＝（cm），
∴BG+EG的最小值为cm．
三、解答题。（第17、18、19、20、21题每题8分，第22、23、24题每题10分，第25题12分，共计82分）
17．（8分）解下列方程：
（1）x（x+1）＝（x+1）；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0．
【解答】解：（1）x（x+1）＝（x+1），
∴x（x+1）﹣（x+1）＝0，
∴（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x+1＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝1；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴，
∴，．
18．（8分）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　0.6　；（精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）＝　0.6　；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
【解答】解：（1）∵摸到白球的频率为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6．
（2）∵摸到白球的频率为0.6，
∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）＝0.6．
（3）盒子里黑、白两种颜色的球大约各有40﹣24＝16，40×0.6＝24．
19．（8分）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线交AB于点E，交AC于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）若AE＝5，AD＝8，则四边形AEDF的面积为 　24　．

【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∴AF＝DF，
∴四边形AEDF是菱形；

（2）解：连接EF，与AD交于点O，

∵四边形AEDF是菱形，
∴AD、EF互相垂直且平分，
∴OA＝4，
根据勾股定理，OE＝＝＝3，
∴EF＝6，
∴四边形AEDF的面积＝＝×6×8＝24．
故答案为：24．
20．（8分）为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元曲”三类（分别用A，B，C依次表示这三类比赛内容）．现将正面写有A，B，C的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容．选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小梅再随机抽取一张，记下字母．请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率．
【解答】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：

共有9种等可能出现的结果，其中小明和小梅抽到同一类比赛内容的有3种，
所以小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率为＝．
21．（8分）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝　﹣　，x1x2＝　﹣　．
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0 的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣；
故答案为：﹣，﹣；
（2）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣，mn＝﹣，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝+1＝；
（3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝﹣，st＝﹣，
∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝，
∴t﹣s＝±，
∴＝＝＝±．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．
（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．

【解答】解：（1）△PQB的面积不能等于9cm2，
理由如下：
∵5÷1＝5s，8÷2＝4s，
∴运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，
根据题意可得：AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，
假设△PQB的面积等于9cm2，
则，
整理得：t2﹣5t+9＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×9＝﹣11＜0，
∴所列方程没有实数根，
∴△PQB的面积不能等于9cm2；
（2）由（1）得：AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，
∵四边形APQC的面积等于16cm2，
∴，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得t1＝1，t2＝4，
运动4s后Q点与C点重合，不存在四边形APQC，
∴t＝1，四边形APQC的面积等于16cm2．
答：1s，四边形APQC的面积等于16cm2．
23．（10分）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
【解答】解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件，
根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400，
整理得：y2﹣113y+3150＝0，
解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
24．（10分）在综合与实践活动课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，如图1，现有矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝7．
动手操作
将图1中的矩形纸片折叠，使点A落在BC边上的点F处，然后展平，得到折痕BE，连结EF，EC，如图2．

解决问题
请根据图2完成下列问题：
（1）线段CF的长为 　3　．线段CE的长为 　5　．
（2）试判断四边形ABFE的形状，并给予证明．
拓展探究
（3）将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D落在CE上的点N处，然后展平，得到折痕EM，连结MN，如图3，则线段CM的长为 　　．
【解答】解：（1）由折叠可知△FBE≌△ABE，
∴∠AFE＝∠A＝90°，BF＝BA＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠＝D＝90°，CD＝AB＝4，
∴∠BFE＝∠A＝∠ABF＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴EF＝AB＝4，
∴CE＝＝5，
故答案为：3，5；
（2）解：四边形ABFE是正方形，
证明：由折叠可知△FBE≌△ABE，
∴BF＝BA，∠BFE＝∠A，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABF＝90°，
∴∠BFE＝∠A＝∠ABF＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
又BF＝BA，
∴四边形ABFE是正方形；

（3）设CM＝x，则DM＝4﹣x，
由折叠可知△ENM≌△EDM，
∴∠ENM＝∠D＝90°，DM＝NM＝4﹣x，
EN＝ED＝AD﹣AE＝7﹣4＝3，
∴CN＝CE﹣EN＝5﹣3＝2，
在Rt△CNM中，NM2+CN2＝CM2，
∴（4﹣x）2+22＝x2，解得：x＝，
即CM＝．
故答案为：．
25．（12分）如图①，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A，O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB 且PE交边CD于点E．
（1）求证：PB＝PE；
（2）如图②，若正方形ABCD的边长为6，过E作EF⊥AC于点F，在P点运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；
（3）如图③，直接写出线段PC，PA，CE之间的数量关系．
​
【解答】证明：（1）如图1，过P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，
∵PB⊥PE，
∴∠BPE＝90°，
∴∠MPB+∠EPN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠D＝90°，
∵AD∥MN，
∴∠BMP＝∠BAD＝∠PNE＝∠D＝90°，
∴∠MPB+∠MBP＝90°，
∴∠EPN＝∠MBP，
Rt△PNC中，∠PCN＝45°，
∴△PNC是等腰直角三角形，
∴PN＝CN，
∵∠BMP＝∠PNC＝∠ABC＝90°，
∴四边形MBCN是矩形，
∴BM＝CN，
∴BM＝PN，
∴△BMP≌△PNE（ASA），
∴PB＝PE；
（2）在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化，理由是：
如图2，连接OB，
∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，
∴OB⊥AC，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝∠EFP＝90°，
∴∠OBP+∠BPO＝90°，
∵∠BPE＝90°，
∴∠BPO+∠OPE＝90°，
∴∠OBP＝∠OPE，
由（1）得：PB＝PE，
∴△OBP≌△FPE，
∴PF＝OB，
∵AB＝6，△ABO是等腰直角三角形，
∴
∴PF为定值是 ；
（3）如图1，PC＝PA+EC，理由是：
∵∠BAC＝45°，
∴△AMP是等腰直角三角形，
∴PA＝PM，
由（1）知：PM＝NE，
∴PA＝NE，
∵△PCN是等腰直角三角形，
∴PC＝NC＝（NE+EC）＝NE+EC＝PA+EC．