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新高考物理一轮复习重难点过关训练专题33 分子动理论 内能（含解析）
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这是一份新高考物理一轮复习重难点过关训练专题33 分子动理论 内能（含解析），共17页。试卷主要包含了了解扩散现象并能解释布朗运动，了解物体内能的决定因素．，02×1023 ml－1；，3×1025个等内容，欢迎下载使用。
专题33 分子动理论 内能
1.掌握分子模型的构建与分子直径的估算方法，了解分子动理论的基本观点.
2.了解扩散现象并能解释布朗运动.
3.知道分子力随分子间距离变化的图像.
4.了解物体内能的决定因素．
考点一 微观量估算的两种“模型”
1．分子的大小
(1)分子的直径(视为球模型)：数量级为10－10 m；
(2)分子的质量：数量级为10－26 kg.
2．阿伏加德罗常数
(1)1 mol的任何物质都含有相同的粒子数．通常可取NA＝6.02×1023 mol－1；
(2)阿伏加德罗常数是联系宏观物理量和微观物理量的桥梁．
1．微观量与宏观量
(1)微观量：分子质量m0、分子体积V0、分子直径d等．
(2)宏观量：物体的质量m、摩尔质量M、物体的密度ρ、物体的体积V、摩尔体积Vmol等．
2．分子的两种模型
(1)球模型：V0＝πd3，得直径d＝(常用于固体和液体)．
(2)立方体模型：V0＝d3，得边长d＝(常用于气体)．
3．几个重要关系
(1)一个分子的质量：m0＝.
(2)一个分子的体积：V0＝(注意：对于气体，V0表示一个气体分子占有的空间)．
(3)1 mol物体的体积：Vmol＝.
【典例1】（2021·辽宁朝阳·高三期末）关于分子动理论，下列说法正确的是（ ）
A．标准状况下气体的摩尔体积为22.4L，可知单个分子体积约为
B．物体间的扩散现象是分子永不停息做无规则运动的结果
C．气体温度越高，气体的压强越大
D．液体中的花粉颗粒不停地做无规则运动，这反映花粉分子运动的无规则性
【答案】B
【解析】A．由于分子之间有间隔，所以在标准状况下气体的摩尔体积为22.4L，可知单个分子体积不是，A错误；
B．物体间的扩散现象是分子永不停息做无规则运动的结果，B正确；
C．由可知，如果气体温度升高，体积变大，气体的压强不一定变大，C错误；
D．液体中的花粉颗粒不停地做无规则运动，这反映液体分子运动的无规则性，D错误。
故选B。
【典例2】（2022·山东淄博·二模）某潜水员在岸上和海底吸入空气的密度分别为1.3kg/m3和2.1kg/m3，空气的摩尔质量为0.029kg/mol，阿伏加德罗常数。若潜水员呼吸一次吸入2L空气，试估算潜水员在海底比在岸上每呼吸一次多吸入空气的分子数约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设空气的摩尔质量为M，在海底和岸上的密度分别为和，一次吸入空气的体积为V，在海底和在岸上分别吸入的空气分子个数为n海和n岸
则有
多吸入的空气分子个数为
数据得
故选B。
考点二 布朗运动与分子热运动
1．分子热运动
分子做永不停息的无规则运动．
2．扩散现象
(1)扩散现象是相互接触的不同物质彼此进入对方的现象．
(2)扩散现象就是分子的运动，发生在固体、液体、气体任何两种物质之间．
(3)温度越高，扩散越快．
3．布朗运动
(1)布朗运动是悬浮在液体(或气体)中的微粒的无规则运动．
(2)布朗运动不是分子的运动，但它反映了液体(或气体)分子的无规则运动．
(3)微粒越小，温度越高，布朗运动越明显．
【典例3】（2022·江苏省昆山中学模拟预测）把墨汁用水稀释后取出一滴放在高倍显微镜下观察，可以看到悬浮在液体中的小炭粒在不同时刻的位置，每隔一定时间把炭粒的位置记录下来，最后按时间先后顺序把这些点进行连线，得到如图所示的图像，对于这一现象，下列说法正确的是（ ）
A．炭粒的无规则运动，说明碳分子运动也是无规则的
B．越小的炭粒，受到撞击的分子越少，作用力越小，碳粒的不平衡性表现得越不明显
C．观察炭粒运动时，可能有水分子扩散到载物片的玻璃中
D．将水的温度降至零摄氏度，炭粒会停止运动
【答案】C
【解析】A．图中的折线是每隔一定的时间炭粒的位置的连线，是由于水分子撞击做无规则运动而形成的，说明水分子的无规则运动，不能说明碳分子运动也是无规则的，A错误；
B．炭粒越小，在某一瞬间跟它相撞的水分子数越少，撞击作用的不平衡性表现得越明显，B错误；
C．扩散可发生在液体和固体之间，故观察炭粒运动时，可能有水分子扩散到载物片的玻璃中，C正确；
D．将水的温度降低至零摄氏度，炭粒的运动会变慢，但不会停止，D错误；
故选C。
【典例4】（2022·北京通州·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．水流速度越大，水分子的热运动越剧烈
B．水凝结成冰后，水分子的热运动停止
C．水的温度越高，水分子热运动的平均动能越大
D．水的温度升高，每个水分子的运动速率都会增大
【答案】C
【解析】A．水流速度是机械运动速度，不能反映热运动情况，A错误；
B．分子在永不停息地做无规则运动，B错误；
CD．水的温度升高，水分子的平均动能增大，并非每一个水分子的运动速率都增大，D错误；C正确。
故选C。
考点三 分子力和内能
1．分子间的作用力
分子间同时存在引力和斥力，且都随分子间距离的增大而减小，随分子间距离的减小而增大，但斥力变化得较快．
2．分子动能与分子势能
(1)分子平均动能
①所有分子动能的平均值．
②温度是分子平均动能的标志．
(2)分子势能
由分子间的相对位置决定的能，在宏观上分子势能与物体体积有关，在微观上与分子间的距离有关．
3．物体的内能
(1)内能：物体中所有分子的热运动动能与分子势能的总和．
(2)决定因素：温度、体积和物质的量．
(3)影响因素：物体的内能与物体的位置高低、运动速度大小无关．
(4)改变物体内能的两种方式：做功和热传递．
4．温度
(1)一切达到热平衡的系统都具有相同的温度．
(2)两种温标
摄氏温标和热力学温标．关系：T＝t＋273.15 K.
1.分子间的作用力、分子势能与分子间距离的关系
分子间的作用力F、分子势能Ep与分子间距离r的关系图线如图所示(取无穷远处分子势能Ep＝0)．
(1)当r＞r0时，分子间的作用力表现为引力，当r增大时，分子间的作用力做负功，分子势能增大．
(2)当r＜r0时，分子间的作用力表现为斥力，当r减小时，分子间的作用力做负功，分子势能增大．
(3)当r＝r0时，分子势能最小.
2．分析物体内能问题的五点提醒
(1)内能是对物体的大量分子而言的，不存在某个分子内能的说法．
(2)内能的大小与温度、体积、物质的量和物态等因素有关．
(3)通过做功或热传递可以改变物体的内能．
(4)温度是分子平均动能的标志，相同温度的任何物体，分子的平均动能都相同．
(5)内能由物体内部分子微观运动状态决定，与物体整体运动情况无关．任何物体都具有内能，恒不为零．
【典例5】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，设有一分子位于图中的坐标原点O处不动，另一分子可位于x轴上不同位置处，图中纵坐标表示这两个分子间分子力的大小，则（ ）
A．分子在x0左侧受引力作用，在x0右侧受斥力作用
B．分子在x0左侧的受力一定大于在x0右侧的受力
C．分子在x0处加速度为0，速度也为0
D．分子在x0右侧由静止释放，向左运动的过程中速度先增大后减小到0
【答案】D
【解析】AD．在x0处F=0，即x0为平衡位置，则分子在x0左侧受斥力作用，在x0右侧受引力作用，所以在x0右侧由静止释放分子，分子先向左加速后向左减速，直到x0左侧某处速度为0，A错误，D正确；
B．由图可知，分子在x0左侧的受力不一定大于在x0右侧的受力，B错误；
C．分子在x0处受力为0，加速度为0，但速度不一定为0，C错误。
故选D。
【典例6】（2022·江苏盐城·三模）一定质量的理想气体状态变化过程如图所示，则气体从A到B的过程中（ ）
A．体积逐渐增大 B．内能逐渐增大 C．一定吸收热量 D．一定放出热量
【答案】B
【解析】A．图线上从A到B，点与原点连线的斜率逐渐增大，即逐渐增大，根据理想气体状态方程可知体积逐渐减小，故A错误；
B．气体从A到B的过程中温度逐渐升高，内能逐渐增大，故B正确；
CD．外界对气体做功，气体内能增大，根据热力学第一定律可知当时，气体既不吸热也不放热，故CD错误。
故选B。
一、单选题
1．（2022·上海市延安中学高三阶段练习）质量相等的氢气和氧气，温度相同，不考虑分子间的势能，则（ ）
A．氢气的内能较大 B．氧气的内能较大
C．氢气的分子平均动能较大 D．氧气的分子平均动能较大
【答案】A
【解析】质量相等的氢气和氧气，温度相同，分子的平均动能相同，而氢气的分子数多，则氢气的内能较大。
故选A。
2．（2022·全国·高三专题练习）陆游在诗作《村居山喜》中写到“花气袭人知骤暖，鹊声穿树喜新晴”。从物理视角分析诗词中“花气袭人”的主要原因是（ ）
A．气体分子之间存在着空隙 B．气体分子在永不停息地做无规则运动
C．气体分子之间存在着相互作用力 D．气体分子组成的系统具有分子势能
【答案】B
【解析】从物理视角分析诗词中“花气袭人”的主要原因是气体分子在永不停息地做无规则运动，故B正确，ACD错误。
故选B。
3．（2022·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）如图所示四幅图分别对应四种说法，其中正确的是（ ）
A．甲图中微粒运动就是物质分子的无规则热运动，即布朗运动
B．乙图中食盐晶体的物理性质沿各个方向都是一样的
C．丙图中小草上的露珠呈球形的主要原因是液体表面张力的作用
D．丁图中洁净的玻璃板接触水面，要使玻璃板离开水面，拉力必须大于玻璃板的重力，其原因是水分子和玻璃分子之间存在表面张力
【答案】C
【解析】A．甲图中微粒的运动是布朗运动，它是物质分子无规则热运动的反映，故A错误；
B．乙图中食盐晶体的物理性质沿各个方向存在差异，即各向异性，故B错误；
C．丙图中小草上的露珠呈球形的主要原因是液体表面张力的作用，故C正确；
D．丁图中洁净的玻璃板接触水面，要使玻璃板离开水面，拉力必须大于玻璃板的重力，其原因是水分子和玻璃分子之间存在引力，故D错误。
故选C。
4．（2022·全国·高三课时练习）关于分子间相互作用力与分子间势能，下列说法正确的是（ ）
A．在两分子间距离小于的范围内，分子间总存在着相互作用力
B．分子间作用力为零时，分子间的势能一定是零
C．当分子间作用力表现为引力时，分子间的距离越大，分子势能越小
D．两个分子间的距离变大的过程中，分子间作用力变化得越来越慢
【答案】A
【解析】A．在两分子间距离小于的范围内，分子间总存在着相互作用力，A正确；
B．分子间作用力为零时，如果是分子间距离为时，分子间的势能最小，但不为零，B错误；
C．当分子间作用力表现为引力时，随分子间距离的增大，需克服分子力做功，分子势能将增大，C错误；
D．两个分子间的距离从很近逐渐变大的过程中，分子间的作用力从斥力逐渐减小到零，再变成引力逐渐增大到某一最大值，最后又逐渐减小到零，可知分子间相互作用力变化得快慢较复杂，并不是越来越慢，D错误。
故选A。
5．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．铁块熔化成铁水的过程中，温度不变，内能也不变
B．物体运动的速度增大，则物体中分子热运动的平均动能增大，物体的内能增大
C．A、B两物体的质量和温度相同时，它们的内能一定相同
D．A、B两物体的温度相同时，A、B两物体的内能可能不同，分子的平均速率也可能不同
【答案】D
【解析】A．铁块熔化成铁水的过程中，温度不变，分子平均动能不变，体积变化，分子势能改变，故内能改变，A错误；
B．物体中分子热运动的平均动能大小只与物体的温度有关，物体的内能是物体中所有分子的热运动的动能与分子势能的总和，物体运动的速度增大，则物体的动能增大，但物体的温度不一定升高，物体的内能不一定增大，B错误；
CD．A、B两物体的温度相同，则它们的分子平均动能一定相同，但若分子质量不同，则分子的平均速率不同，而物体的内能除与温度有关外，还与体积和物质的量有关，则内能不一定相同，C错误，D正确。
故选D。
6．（2022·福建·漳州立人学校模拟预测）关于分子动理论及理想气体，下列说法正确的是（ ）
A．由图甲可知，状态①的温度比状态②的温度低
B．由图乙可知，气体在状态A的温度大于状态B的温度
C．由图丙可知，当分子间的距离从r0逐渐增大时，分子间的作用力一直减小
D．由图丁可知，当分子间的距离由r1增加到r2的过程中，分子力做正功
【答案】D
【解析】A．温度越高，分子的平均动能越大，分子的平均速率也越大，图甲中状态①的温度比状态②的温度高，故A错误；
B．由图乙可知状态A与状态B满足
pAVA=pBVB
则状态A与状态B温度相同，故B错误；
C．由图丙可知，当分子间的距离r>r0时，分子力表现为引力，分子间的作用力先增大后减小，故C错误；
D．由图丁可知，当分子间的距离r由r1增加到r2的过程中，分子势能一直在减小，故分子力做正功，故D正确。
故选D。
7．（2022·上海市市西中学二模）某种油剂的密度为8´102kg/m3，取这种油剂0.8g滴在平静的水面上，最终可能形成的油膜最大面积约为（ ）
A．10－10m2 B．104m2 C．107m2 D．1010m2
【答案】B
【解析】由质量与体积公式得
由于，因此形成的最大面积约为
故选B。
8．（2022·福建·模拟预测）一定质量的理想气体从状态a开始，经历三个过程ab、bc、ca回到原状态，其压强p与温度t的关系图像如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．气体在a状态时的体积小于在b状态时的体积
B．气体在状态a时的内能大于它在状态b时的内能
C．气体在过程ab中一定吸收热量
D．气体在过程ca中向外界放出的热量小于外界对气体做的功
【答案】C
【解析】A．由图可知，若横轴用热力学温标，则过程ab对应的p-T图像过原点，即为定值，根据查理定律可知ab为等容过程，所以气体在a、b两状态的体积相等，故A错误；
B．气体在状态a时的温度低于它在状态b时的温度，所以气体在状态a时的内能小于它在状态b时的内能，故B错误；
C．ab为等容过程，W=0，温度升高，气体内能增大，，根据热力学第一定律可知，气体在过程ab中一定吸收热量，故C正确；
D．ca为等压过程，气体温度降低，内能减小，根据盖—吕萨克定律可知气体体积减小，外界对气体做功，根据热力学第一定律可知气体在过程ca中向外界放出的热量大于外界对气体做的功，故D错误。
故选C。
9．（2022·江苏南京·模拟预测）“天宫课堂”中，王亚平将分别挤有水球的两块板慢慢靠近，直到两个水球融合在一起，再把两板慢慢拉开，水在两块板间形成了一座“水桥”。如图甲所示，为我们展示了微重力环境下液体表面张力的特性。“水桥”表面与空气接触的薄层叫表面层，已知分子间作用力F和分子间距r的关系如图乙。下列说法正确的是（ ）
A．能总体反映该表面层里的水分子之间相互作用的是B位置
B．“水桥”表面层中两水分子间的分子势能与其内部水相比偏小
C．“水桥”表面层中水分子距离与其内部水分子相比偏小
D．王亚平放开双手两板吸引到一起，该过程分子力做正功
【答案】D
【解析】AC．在液体内部，分子间的距离在r0左右，分子力约为零，而在表面层，分子比较稀疏，分子间的距离大于r0，因此分子间的作用表现为相互吸引，从而使液体表面绷紧，所以能总体反映该表面层里的水分子之间相互作用的是C位置，故AC错误；
B．分子间距离从大于r0减小到r0左右的过程中，分子力表现为引力，做正功，则分子势能减小，所以“水桥”表面层中水分子距离与其内部水分子相比偏大，故B错误；
D．王亚平放开双手，“水桥”在表面张力作用下收缩，而“水桥”与玻璃板接触面的水分子对玻璃板有吸引力作用，在两玻璃板靠近过程中分子力做正功，故D正确。
故选D。
10．（2022·天津·模拟预测）如图是某种气体在温度分别为T1和T2时的分子速率分布图像，以下选项中错误的是（ ）
A．两条图线的温度关系为T1
C．温度升高时，所有气体分子的速率都变大
D．从图中我们可以直观地体会到温度越高，分子的热运动越剧烈
【答案】C
【解析】AD．温度是分子的平均动能的标志，温度越高，分子的热运动越剧烈，由图可知，温度下，分子速率较大的分子数比较多，则其分子平均动能较大，温度较高，故，AD不符合题意；
BC．温度是分子平均动能的标志，是大量分子运动的统计规律，温度升高时，气体分子中速率大的分子所占的比例会增加，但不是每一个分子的速率都增大，B不符合题意，C符合题意。
故选C。
二、填空题
11．（2022·上海浦东新·模拟预测）疫情期间，医院将氧气瓶由寒冷的室外搬到温暖的室内并放置一段时间。不计氧气瓶体积的变化，与室外相比，该瓶内氧气的内能___________（选填“变大”、“变小”或“不变”），氧气分子在单位时间内对瓶壁单位面积的撞击次数___________（选填“增多”、“减少”或“不变”）。
【答案】 变大 增多
【解析】[1]由于氧气体积不变，所以分子势能不变，而氧气温度升高，所以分子平均动能增大，则氧气的内能变大。
[2]氧气的分子数密度不变，而分子平均速率增大，所以氧气分子在单位时间内对瓶壁单位面积的撞击次数增多。
12．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）宇航员王亚萍太空授课呈现了标准水球，这是由于水的表面张力引起的。如图所示，A位置固定一个水分子甲，若水分子乙放在C位置，其所受分子力为零，则将水分子乙放在如图______（选填“AC之间”或“BC之间”），其分子力与水球表面层分子有相同的作用效果。若空间两个分子间距从无限远逐渐变小，直到小于，则分子势能变化的趋势是______（选填“一直减小”“一直增大”“先减小再增大”或“先增大再减小”）。
【答案】 BC之间 先减小再增大
【解析】[1]分子间作用力表现为较近时为斥力，较远时为引力，因此水分子放在BC之间；
[2]从无限远逐渐变小时，先为引力做正功，后为斥力做负功，因此分子势能先减小后增大。
13．（2022·上海市杨浦高级中学模拟预测）我国的运载火箭使用国产液氢作为燃料，其燃烧效率高，清洁无污染。己知氢的摩尔质量为，时氢气的密度为，时液氢的密度为。估算可得时体积为的氢气中所含分子数约为_________个，时一个液氢分子体积约为__________（阿伏加德罗常数为）。
【答案】
【解析】[1][2]每个氢分子的质量为
时体积为的氢气中所含分子数约为
时一个氢分子体积约为
14．（2022·全国·高三专题练习）甲分子固定在坐标原点，乙分子位于轴上，甲、乙分子间的作用力与距离间的关系如图所示（为平衡距离）。当乙分子从轴上处以大小为的初速度沿轴负方向向甲分子运动时，乙分子所受甲分子的引力_________（选填“先增大后减小”“先减小后增大”或“一直增大”），乙分子的分子势能_________（选填“先增大后减小”“先减小后增大”或“一直减小”）；已知乙分子的质量为，取乙分子在处时，分子势能为零，若只考虑分子力的作用，则该过程中乙分子的最大分子势能为_________。
【答案】 一直增大 先减小后增大
【解析】[1]当乙分子向甲分子靠近时，甲、乙间距离减小，分子间的分子斥力和分子引力都在增大，可知乙分子所受甲分子的引力一直增大；
[2] 乙分子从到的过程中，甲、乙两分子间作用力表现为引力，分子力做正功，分子势能减小，从继续靠近甲分子的过程中，甲、乙两分子间作用力表现为斥力，分子力做负功，分子势能增大，故乙分子的分子势能先减小后增大；
[3]在只考虑分子力作用的情况下，由能量守恒定律可得，当乙分子停止运动时，其分子势能最大，最大分子势能为。
三、解答题
15．（2021·全国·高三课时练习）一只保温瓶内水的质量约，其中水分子的数目约为多少？水的摩尔质量为。
【答案】7.3×1025个
【解析】水的质量为：2.2kg=2.2×103g，根据摩尔数可知
水分子数目为
N=n•NA
联立解得
代入数据解得
N≈7.3×1025个
16．（2021·全国·高三课时练习）根据内能的定义，分别比较下列三组中各系统内能的大小，并说明道理。
（1）的水和的水
（2）的水和的水
（3）的水和的水汽
【答案】（1）的水的内能小于的水的内能，理由见解析；（2）的水的内能小于的水的内能，理由见解析；（3）的水的内能小于的水汽的内能，理由见解析
【解析】（1）温度是分子平均动能的量度，温度相同，分子的平均动能相同。的水和的水，分子的平均动能相同，但的水的物质的量小于的水的物质的量，故的水的内能小于的水的内能。
（2）的水的物质的量等于的水的物质的量，但的水的分子平均动能小于的水的分子平均动能，故的水的内能小于的水的内能。
（3）的水和的水汽温度相同，物质的量相同，但的水变为的水汽需要吸热，故的水的内能小于的水汽的内能。
17．（2021·全国·高三专题练习）（1）1 mol的物质内含有多少个分子？用什么表示？
（2）若某种物质的摩尔质量为M，摩尔体积为Vmol，则一个分子的质量为多大？假设分子紧密排列，一个分子的体积为多大？（已知阿伏加德罗常数为NA）
（3）Vmol＝NAV0（V0为一个分子的体积，Vmol为摩尔体积），对于任何固体、液体、气体都成立吗？
【答案】（1）6.02×1023个，NA；（2）， （3）Vmol＝NAV0仅适用于固体和液体，不适用于气体
18．（2022·全国·高三课时练习）一间教室长，宽，高，假设教室里的空气处于标准状况。为了估算出教室空气中气体分子的数目，有两位同学各自提出了一个方案：
方案1 取分子直径，算出分子体积，根据教室内空气的体积，算得分子数
方案2 根据化学知识，空气在标准状况下的体积。由教室内空气的体积，可算出教室内空气的摩尔数。再根据阿伏伽德罗常量，算得空气中气体分子数
请对这两种方案做一评价，并估算出你们教室空气中气体分子的数目。
【答案】方案1把教室空气中的气体分子看成是一个个紧挨在一起的，没有考虑分子之间的空隙，不符合实际情况。通常情况下气体分子间距的数量级为，因此分子本身体积只是气体所占空间的极小一部分，常常可以忽略不计。方案2的计算方法是正确的。
【解析】方案1把教室空气中的气体分子看成是一个个紧挨在一起的，没有考虑分子之间的空隙，不符合实际情况。通常情况下气体分子间距的数量级为，因此分子本身体积只是气体所占空间的极小一部分，常常可以忽略不计。方案2的计算方法是正确的。
19．（2022·重庆市第七中学校高三阶段练习）唐同学的篮球容积大约，正常使用时篮球内气压应为1.6个标准大气压。若篮球表壳刚好变软但尚未有明显形变时，他用打气筒给篮球打气，每打一次都把压强为1个标准大气压、温度为、体积为的空气打进篮球。打气过程中篮球大小几乎不变，球内气体温度不变，已知空气在1个标准大气压、时的体积为，阿伏加德罗常数为。求：
（i）唐同学至少要打多少次气才能正常使用该篮球；
（ⅱ）该气筒每打一次气时，进入篮球内空气分子的个数。（计算结果保留两位有效数字）
【答案】（i）9次；（ⅱ）个
【解析】（i）设大气压强为p0，篮球内部容积为V，打气筒每打一次气的体积为，根据玻意耳定律，有
解得
故唐同学至少要打9次气才能正常使用该篮球。
（ⅱ）根据等压变化
其中
，，
得
则该气筒每打一次气时，进入篮球内空气分子的个数为
故该气筒每打一次气时，进入篮球内空气分子的个数为个。
20．（2022·全国·高三课时练习）金刚石俗称“金刚钻”，也就是我们常说的钻石，它是一种由碳元素组成的矿物，也是自然界中最坚硬的物质。已知金刚石的密度ρ=3 560 kg/m3，碳原子的摩尔质量为1.2×10-2 kg/mol，阿伏加德罗常数为6.02×1023 mol-1。现有一块体积V=7×10-8 m3的金刚石，则:（计算结果保留2位有效数字）
（1）它含有多少个碳原子?
（2）假如金刚石中碳原子是紧密地堆在一起的，把金刚石中的碳原子看成球体，试估算碳原子的直径。
【答案】（1）1.3×1022个；（2）2.2×10-10 m
【解析】（1）金刚石的质量
m=ρV
碳的物质的量
n=
这块金刚石所含碳原子数
N=n·NA==1.3×1022（个）
（2）一个碳原子的体积
V0=
把金刚石中的碳原子看成球体，则由公式
V0=d3
可得碳原子直径为
d==2.2×10-10 m
专题33 分子动理论 内能
1.掌握分子模型的构建与分子直径的估算方法，了解分子动理论的基本观点.
2.了解扩散现象并能解释布朗运动.
3.知道分子力随分子间距离变化的图像.
4.了解物体内能的决定因素．
考点一 微观量估算的两种“模型”
1．分子的大小
(1)分子的直径(视为球模型)：数量级为10－10 m；
(2)分子的质量：数量级为10－26 kg.
2．阿伏加德罗常数
(1)1 mol的任何物质都含有相同的粒子数．通常可取NA＝6.02×1023 mol－1；
(2)阿伏加德罗常数是联系宏观物理量和微观物理量的桥梁．
1．微观量与宏观量
(1)微观量：分子质量m0、分子体积V0、分子直径d等．
(2)宏观量：物体的质量m、摩尔质量M、物体的密度ρ、物体的体积V、摩尔体积Vmol等．
2．分子的两种模型
(1)球模型：V0＝πd3，得直径d＝(常用于固体和液体)．
(2)立方体模型：V0＝d3，得边长d＝(常用于气体)．
3．几个重要关系
(1)一个分子的质量：m0＝.
(2)一个分子的体积：V0＝(注意：对于气体，V0表示一个气体分子占有的空间)．
(3)1 mol物体的体积：Vmol＝.
【典例1】（2021·辽宁朝阳·高三期末）关于分子动理论，下列说法正确的是（ ）
A．标准状况下气体的摩尔体积为22.4L，可知单个分子体积约为
B．物体间的扩散现象是分子永不停息做无规则运动的结果
C．气体温度越高，气体的压强越大
D．液体中的花粉颗粒不停地做无规则运动，这反映花粉分子运动的无规则性
【答案】B
【解析】A．由于分子之间有间隔，所以在标准状况下气体的摩尔体积为22.4L，可知单个分子体积不是，A错误；
B．物体间的扩散现象是分子永不停息做无规则运动的结果，B正确；
C．由可知，如果气体温度升高，体积变大，气体的压强不一定变大，C错误；
D．液体中的花粉颗粒不停地做无规则运动，这反映液体分子运动的无规则性，D错误。
故选B。
【典例2】（2022·山东淄博·二模）某潜水员在岸上和海底吸入空气的密度分别为1.3kg/m3和2.1kg/m3，空气的摩尔质量为0.029kg/mol，阿伏加德罗常数。若潜水员呼吸一次吸入2L空气，试估算潜水员在海底比在岸上每呼吸一次多吸入空气的分子数约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设空气的摩尔质量为M，在海底和岸上的密度分别为和，一次吸入空气的体积为V，在海底和在岸上分别吸入的空气分子个数为n海和n岸
则有
多吸入的空气分子个数为
数据得
故选B。
考点二 布朗运动与分子热运动
1．分子热运动
分子做永不停息的无规则运动．
2．扩散现象
(1)扩散现象是相互接触的不同物质彼此进入对方的现象．
(2)扩散现象就是分子的运动，发生在固体、液体、气体任何两种物质之间．
(3)温度越高，扩散越快．
3．布朗运动
(1)布朗运动是悬浮在液体(或气体)中的微粒的无规则运动．
(2)布朗运动不是分子的运动，但它反映了液体(或气体)分子的无规则运动．
(3)微粒越小，温度越高，布朗运动越明显．
【典例3】（2022·江苏省昆山中学模拟预测）把墨汁用水稀释后取出一滴放在高倍显微镜下观察，可以看到悬浮在液体中的小炭粒在不同时刻的位置，每隔一定时间把炭粒的位置记录下来，最后按时间先后顺序把这些点进行连线，得到如图所示的图像，对于这一现象，下列说法正确的是（ ）
A．炭粒的无规则运动，说明碳分子运动也是无规则的
B．越小的炭粒，受到撞击的分子越少，作用力越小，碳粒的不平衡性表现得越不明显
C．观察炭粒运动时，可能有水分子扩散到载物片的玻璃中
D．将水的温度降至零摄氏度，炭粒会停止运动
【答案】C
【解析】A．图中的折线是每隔一定的时间炭粒的位置的连线，是由于水分子撞击做无规则运动而形成的，说明水分子的无规则运动，不能说明碳分子运动也是无规则的，A错误；
B．炭粒越小，在某一瞬间跟它相撞的水分子数越少，撞击作用的不平衡性表现得越明显，B错误；
C．扩散可发生在液体和固体之间，故观察炭粒运动时，可能有水分子扩散到载物片的玻璃中，C正确；
D．将水的温度降低至零摄氏度，炭粒的运动会变慢，但不会停止，D错误；
故选C。
【典例4】（2022·北京通州·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．水流速度越大，水分子的热运动越剧烈
B．水凝结成冰后，水分子的热运动停止
C．水的温度越高，水分子热运动的平均动能越大
D．水的温度升高，每个水分子的运动速率都会增大
【答案】C
【解析】A．水流速度是机械运动速度，不能反映热运动情况，A错误；
B．分子在永不停息地做无规则运动，B错误；
CD．水的温度升高，水分子的平均动能增大，并非每一个水分子的运动速率都增大，D错误；C正确。
故选C。
考点三 分子力和内能
1．分子间的作用力
分子间同时存在引力和斥力，且都随分子间距离的增大而减小，随分子间距离的减小而增大，但斥力变化得较快．
2．分子动能与分子势能
(1)分子平均动能
①所有分子动能的平均值．
②温度是分子平均动能的标志．
(2)分子势能
由分子间的相对位置决定的能，在宏观上分子势能与物体体积有关，在微观上与分子间的距离有关．
3．物体的内能
(1)内能：物体中所有分子的热运动动能与分子势能的总和．
(2)决定因素：温度、体积和物质的量．
(3)影响因素：物体的内能与物体的位置高低、运动速度大小无关．
(4)改变物体内能的两种方式：做功和热传递．
4．温度
(1)一切达到热平衡的系统都具有相同的温度．
(2)两种温标
摄氏温标和热力学温标．关系：T＝t＋273.15 K.
1.分子间的作用力、分子势能与分子间距离的关系
分子间的作用力F、分子势能Ep与分子间距离r的关系图线如图所示(取无穷远处分子势能Ep＝0)．
(1)当r＞r0时，分子间的作用力表现为引力，当r增大时，分子间的作用力做负功，分子势能增大．
(2)当r＜r0时，分子间的作用力表现为斥力，当r减小时，分子间的作用力做负功，分子势能增大．
(3)当r＝r0时，分子势能最小.
2．分析物体内能问题的五点提醒
(1)内能是对物体的大量分子而言的，不存在某个分子内能的说法．
(2)内能的大小与温度、体积、物质的量和物态等因素有关．
(3)通过做功或热传递可以改变物体的内能．
(4)温度是分子平均动能的标志，相同温度的任何物体，分子的平均动能都相同．
(5)内能由物体内部分子微观运动状态决定，与物体整体运动情况无关．任何物体都具有内能，恒不为零．
【典例5】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，设有一分子位于图中的坐标原点O处不动，另一分子可位于x轴上不同位置处，图中纵坐标表示这两个分子间分子力的大小，则（ ）
A．分子在x0左侧受引力作用，在x0右侧受斥力作用
B．分子在x0左侧的受力一定大于在x0右侧的受力
C．分子在x0处加速度为0，速度也为0
D．分子在x0右侧由静止释放，向左运动的过程中速度先增大后减小到0
【答案】D
【解析】AD．在x0处F=0，即x0为平衡位置，则分子在x0左侧受斥力作用，在x0右侧受引力作用，所以在x0右侧由静止释放分子，分子先向左加速后向左减速，直到x0左侧某处速度为0，A错误，D正确；
B．由图可知，分子在x0左侧的受力不一定大于在x0右侧的受力，B错误；
C．分子在x0处受力为0，加速度为0，但速度不一定为0，C错误。
故选D。
【典例6】（2022·江苏盐城·三模）一定质量的理想气体状态变化过程如图所示，则气体从A到B的过程中（ ）
A．体积逐渐增大 B．内能逐渐增大 C．一定吸收热量 D．一定放出热量
【答案】B
【解析】A．图线上从A到B，点与原点连线的斜率逐渐增大，即逐渐增大，根据理想气体状态方程可知体积逐渐减小，故A错误；
B．气体从A到B的过程中温度逐渐升高，内能逐渐增大，故B正确；
CD．外界对气体做功，气体内能增大，根据热力学第一定律可知当时，气体既不吸热也不放热，故CD错误。
故选B。
一、单选题
1．（2022·上海市延安中学高三阶段练习）质量相等的氢气和氧气，温度相同，不考虑分子间的势能，则（ ）
A．氢气的内能较大 B．氧气的内能较大
C．氢气的分子平均动能较大 D．氧气的分子平均动能较大
【答案】A
【解析】质量相等的氢气和氧气，温度相同，分子的平均动能相同，而氢气的分子数多，则氢气的内能较大。
故选A。
2．（2022·全国·高三专题练习）陆游在诗作《村居山喜》中写到“花气袭人知骤暖，鹊声穿树喜新晴”。从物理视角分析诗词中“花气袭人”的主要原因是（ ）
A．气体分子之间存在着空隙 B．气体分子在永不停息地做无规则运动
C．气体分子之间存在着相互作用力 D．气体分子组成的系统具有分子势能
【答案】B
【解析】从物理视角分析诗词中“花气袭人”的主要原因是气体分子在永不停息地做无规则运动，故B正确，ACD错误。
故选B。
3．（2022·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）如图所示四幅图分别对应四种说法，其中正确的是（ ）
A．甲图中微粒运动就是物质分子的无规则热运动，即布朗运动
B．乙图中食盐晶体的物理性质沿各个方向都是一样的
C．丙图中小草上的露珠呈球形的主要原因是液体表面张力的作用
D．丁图中洁净的玻璃板接触水面，要使玻璃板离开水面，拉力必须大于玻璃板的重力，其原因是水分子和玻璃分子之间存在表面张力
【答案】C
【解析】A．甲图中微粒的运动是布朗运动，它是物质分子无规则热运动的反映，故A错误；
B．乙图中食盐晶体的物理性质沿各个方向存在差异，即各向异性，故B错误；
C．丙图中小草上的露珠呈球形的主要原因是液体表面张力的作用，故C正确；
D．丁图中洁净的玻璃板接触水面，要使玻璃板离开水面，拉力必须大于玻璃板的重力，其原因是水分子和玻璃分子之间存在引力，故D错误。
故选C。
4．（2022·全国·高三课时练习）关于分子间相互作用力与分子间势能，下列说法正确的是（ ）
A．在两分子间距离小于的范围内，分子间总存在着相互作用力
B．分子间作用力为零时，分子间的势能一定是零
C．当分子间作用力表现为引力时，分子间的距离越大，分子势能越小
D．两个分子间的距离变大的过程中，分子间作用力变化得越来越慢
【答案】A
【解析】A．在两分子间距离小于的范围内，分子间总存在着相互作用力，A正确；
B．分子间作用力为零时，如果是分子间距离为时，分子间的势能最小，但不为零，B错误；
C．当分子间作用力表现为引力时，随分子间距离的增大，需克服分子力做功，分子势能将增大，C错误；
D．两个分子间的距离从很近逐渐变大的过程中，分子间的作用力从斥力逐渐减小到零，再变成引力逐渐增大到某一最大值，最后又逐渐减小到零，可知分子间相互作用力变化得快慢较复杂，并不是越来越慢，D错误。
故选A。
5．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．铁块熔化成铁水的过程中，温度不变，内能也不变
B．物体运动的速度增大，则物体中分子热运动的平均动能增大，物体的内能增大
C．A、B两物体的质量和温度相同时，它们的内能一定相同
D．A、B两物体的温度相同时，A、B两物体的内能可能不同，分子的平均速率也可能不同
【答案】D
【解析】A．铁块熔化成铁水的过程中，温度不变，分子平均动能不变，体积变化，分子势能改变，故内能改变，A错误；
B．物体中分子热运动的平均动能大小只与物体的温度有关，物体的内能是物体中所有分子的热运动的动能与分子势能的总和，物体运动的速度增大，则物体的动能增大，但物体的温度不一定升高，物体的内能不一定增大，B错误；
CD．A、B两物体的温度相同，则它们的分子平均动能一定相同，但若分子质量不同，则分子的平均速率不同，而物体的内能除与温度有关外，还与体积和物质的量有关，则内能不一定相同，C错误，D正确。
故选D。
6．（2022·福建·漳州立人学校模拟预测）关于分子动理论及理想气体，下列说法正确的是（ ）
A．由图甲可知，状态①的温度比状态②的温度低
B．由图乙可知，气体在状态A的温度大于状态B的温度
C．由图丙可知，当分子间的距离从r0逐渐增大时，分子间的作用力一直减小
D．由图丁可知，当分子间的距离由r1增加到r2的过程中，分子力做正功
【答案】D
【解析】A．温度越高，分子的平均动能越大，分子的平均速率也越大，图甲中状态①的温度比状态②的温度高，故A错误；
B．由图乙可知状态A与状态B满足
pAVA=pBVB
则状态A与状态B温度相同，故B错误；
C．由图丙可知，当分子间的距离r>r0时，分子力表现为引力，分子间的作用力先增大后减小，故C错误；
D．由图丁可知，当分子间的距离r由r1增加到r2的过程中，分子势能一直在减小，故分子力做正功，故D正确。
故选D。
7．（2022·上海市市西中学二模）某种油剂的密度为8´102kg/m3，取这种油剂0.8g滴在平静的水面上，最终可能形成的油膜最大面积约为（ ）
A．10－10m2 B．104m2 C．107m2 D．1010m2
【答案】B
【解析】由质量与体积公式得
由于，因此形成的最大面积约为
故选B。
8．（2022·福建·模拟预测）一定质量的理想气体从状态a开始，经历三个过程ab、bc、ca回到原状态，其压强p与温度t的关系图像如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．气体在a状态时的体积小于在b状态时的体积
B．气体在状态a时的内能大于它在状态b时的内能
C．气体在过程ab中一定吸收热量
D．气体在过程ca中向外界放出的热量小于外界对气体做的功
【答案】C
【解析】A．由图可知，若横轴用热力学温标，则过程ab对应的p-T图像过原点，即为定值，根据查理定律可知ab为等容过程，所以气体在a、b两状态的体积相等，故A错误；
B．气体在状态a时的温度低于它在状态b时的温度，所以气体在状态a时的内能小于它在状态b时的内能，故B错误；
C．ab为等容过程，W=0，温度升高，气体内能增大，，根据热力学第一定律可知，气体在过程ab中一定吸收热量，故C正确；
D．ca为等压过程，气体温度降低，内能减小，根据盖—吕萨克定律可知气体体积减小，外界对气体做功，根据热力学第一定律可知气体在过程ca中向外界放出的热量大于外界对气体做的功，故D错误。
故选C。
9．（2022·江苏南京·模拟预测）“天宫课堂”中，王亚平将分别挤有水球的两块板慢慢靠近，直到两个水球融合在一起，再把两板慢慢拉开，水在两块板间形成了一座“水桥”。如图甲所示，为我们展示了微重力环境下液体表面张力的特性。“水桥”表面与空气接触的薄层叫表面层，已知分子间作用力F和分子间距r的关系如图乙。下列说法正确的是（ ）
A．能总体反映该表面层里的水分子之间相互作用的是B位置
B．“水桥”表面层中两水分子间的分子势能与其内部水相比偏小
C．“水桥”表面层中水分子距离与其内部水分子相比偏小
D．王亚平放开双手两板吸引到一起，该过程分子力做正功
【答案】D
【解析】AC．在液体内部，分子间的距离在r0左右，分子力约为零，而在表面层，分子比较稀疏，分子间的距离大于r0，因此分子间的作用表现为相互吸引，从而使液体表面绷紧，所以能总体反映该表面层里的水分子之间相互作用的是C位置，故AC错误；
B．分子间距离从大于r0减小到r0左右的过程中，分子力表现为引力，做正功，则分子势能减小，所以“水桥”表面层中水分子距离与其内部水分子相比偏大，故B错误；
D．王亚平放开双手，“水桥”在表面张力作用下收缩，而“水桥”与玻璃板接触面的水分子对玻璃板有吸引力作用，在两玻璃板靠近过程中分子力做正功，故D正确。
故选D。
10．（2022·天津·模拟预测）如图是某种气体在温度分别为T1和T2时的分子速率分布图像，以下选项中错误的是（ ）
A．两条图线的温度关系为T1
C．温度升高时，所有气体分子的速率都变大
D．从图中我们可以直观地体会到温度越高，分子的热运动越剧烈
【答案】C
【解析】AD．温度是分子的平均动能的标志，温度越高，分子的热运动越剧烈，由图可知，温度下，分子速率较大的分子数比较多，则其分子平均动能较大，温度较高，故，AD不符合题意；
BC．温度是分子平均动能的标志，是大量分子运动的统计规律，温度升高时，气体分子中速率大的分子所占的比例会增加，但不是每一个分子的速率都增大，B不符合题意，C符合题意。
故选C。
二、填空题
11．（2022·上海浦东新·模拟预测）疫情期间，医院将氧气瓶由寒冷的室外搬到温暖的室内并放置一段时间。不计氧气瓶体积的变化，与室外相比，该瓶内氧气的内能___________（选填“变大”、“变小”或“不变”），氧气分子在单位时间内对瓶壁单位面积的撞击次数___________（选填“增多”、“减少”或“不变”）。
【答案】 变大 增多
【解析】[1]由于氧气体积不变，所以分子势能不变，而氧气温度升高，所以分子平均动能增大，则氧气的内能变大。
[2]氧气的分子数密度不变，而分子平均速率增大，所以氧气分子在单位时间内对瓶壁单位面积的撞击次数增多。
12．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）宇航员王亚萍太空授课呈现了标准水球，这是由于水的表面张力引起的。如图所示，A位置固定一个水分子甲，若水分子乙放在C位置，其所受分子力为零，则将水分子乙放在如图______（选填“AC之间”或“BC之间”），其分子力与水球表面层分子有相同的作用效果。若空间两个分子间距从无限远逐渐变小，直到小于，则分子势能变化的趋势是______（选填“一直减小”“一直增大”“先减小再增大”或“先增大再减小”）。
【答案】 BC之间 先减小再增大
【解析】[1]分子间作用力表现为较近时为斥力，较远时为引力，因此水分子放在BC之间；
[2]从无限远逐渐变小时，先为引力做正功，后为斥力做负功，因此分子势能先减小后增大。
13．（2022·上海市杨浦高级中学模拟预测）我国的运载火箭使用国产液氢作为燃料，其燃烧效率高，清洁无污染。己知氢的摩尔质量为，时氢气的密度为，时液氢的密度为。估算可得时体积为的氢气中所含分子数约为_________个，时一个液氢分子体积约为__________（阿伏加德罗常数为）。
【答案】
【解析】[1][2]每个氢分子的质量为
时体积为的氢气中所含分子数约为
时一个氢分子体积约为
14．（2022·全国·高三专题练习）甲分子固定在坐标原点，乙分子位于轴上，甲、乙分子间的作用力与距离间的关系如图所示（为平衡距离）。当乙分子从轴上处以大小为的初速度沿轴负方向向甲分子运动时，乙分子所受甲分子的引力_________（选填“先增大后减小”“先减小后增大”或“一直增大”），乙分子的分子势能_________（选填“先增大后减小”“先减小后增大”或“一直减小”）；已知乙分子的质量为，取乙分子在处时，分子势能为零，若只考虑分子力的作用，则该过程中乙分子的最大分子势能为_________。
【答案】 一直增大 先减小后增大
【解析】[1]当乙分子向甲分子靠近时，甲、乙间距离减小，分子间的分子斥力和分子引力都在增大，可知乙分子所受甲分子的引力一直增大；
[2] 乙分子从到的过程中，甲、乙两分子间作用力表现为引力，分子力做正功，分子势能减小，从继续靠近甲分子的过程中，甲、乙两分子间作用力表现为斥力，分子力做负功，分子势能增大，故乙分子的分子势能先减小后增大；
[3]在只考虑分子力作用的情况下，由能量守恒定律可得，当乙分子停止运动时，其分子势能最大，最大分子势能为。
三、解答题
15．（2021·全国·高三课时练习）一只保温瓶内水的质量约，其中水分子的数目约为多少？水的摩尔质量为。
【答案】7.3×1025个
【解析】水的质量为：2.2kg=2.2×103g，根据摩尔数可知
水分子数目为
N=n•NA
联立解得
代入数据解得
N≈7.3×1025个
16．（2021·全国·高三课时练习）根据内能的定义，分别比较下列三组中各系统内能的大小，并说明道理。
（1）的水和的水
（2）的水和的水
（3）的水和的水汽
【答案】（1）的水的内能小于的水的内能，理由见解析；（2）的水的内能小于的水的内能，理由见解析；（3）的水的内能小于的水汽的内能，理由见解析
【解析】（1）温度是分子平均动能的量度，温度相同，分子的平均动能相同。的水和的水，分子的平均动能相同，但的水的物质的量小于的水的物质的量，故的水的内能小于的水的内能。
（2）的水的物质的量等于的水的物质的量，但的水的分子平均动能小于的水的分子平均动能，故的水的内能小于的水的内能。
（3）的水和的水汽温度相同，物质的量相同，但的水变为的水汽需要吸热，故的水的内能小于的水汽的内能。
17．（2021·全国·高三专题练习）（1）1 mol的物质内含有多少个分子？用什么表示？
（2）若某种物质的摩尔质量为M，摩尔体积为Vmol，则一个分子的质量为多大？假设分子紧密排列，一个分子的体积为多大？（已知阿伏加德罗常数为NA）
（3）Vmol＝NAV0（V0为一个分子的体积，Vmol为摩尔体积），对于任何固体、液体、气体都成立吗？
【答案】（1）6.02×1023个，NA；（2）， （3）Vmol＝NAV0仅适用于固体和液体，不适用于气体
18．（2022·全国·高三课时练习）一间教室长，宽，高，假设教室里的空气处于标准状况。为了估算出教室空气中气体分子的数目，有两位同学各自提出了一个方案：
方案1 取分子直径，算出分子体积，根据教室内空气的体积，算得分子数
方案2 根据化学知识，空气在标准状况下的体积。由教室内空气的体积，可算出教室内空气的摩尔数。再根据阿伏伽德罗常量，算得空气中气体分子数
请对这两种方案做一评价，并估算出你们教室空气中气体分子的数目。
【答案】方案1把教室空气中的气体分子看成是一个个紧挨在一起的，没有考虑分子之间的空隙，不符合实际情况。通常情况下气体分子间距的数量级为，因此分子本身体积只是气体所占空间的极小一部分，常常可以忽略不计。方案2的计算方法是正确的。
【解析】方案1把教室空气中的气体分子看成是一个个紧挨在一起的，没有考虑分子之间的空隙，不符合实际情况。通常情况下气体分子间距的数量级为，因此分子本身体积只是气体所占空间的极小一部分，常常可以忽略不计。方案2的计算方法是正确的。
19．（2022·重庆市第七中学校高三阶段练习）唐同学的篮球容积大约，正常使用时篮球内气压应为1.6个标准大气压。若篮球表壳刚好变软但尚未有明显形变时，他用打气筒给篮球打气，每打一次都把压强为1个标准大气压、温度为、体积为的空气打进篮球。打气过程中篮球大小几乎不变，球内气体温度不变，已知空气在1个标准大气压、时的体积为，阿伏加德罗常数为。求：
（i）唐同学至少要打多少次气才能正常使用该篮球；
（ⅱ）该气筒每打一次气时，进入篮球内空气分子的个数。（计算结果保留两位有效数字）
【答案】（i）9次；（ⅱ）个
【解析】（i）设大气压强为p0，篮球内部容积为V，打气筒每打一次气的体积为，根据玻意耳定律，有
解得
故唐同学至少要打9次气才能正常使用该篮球。
（ⅱ）根据等压变化
其中
，，
得
则该气筒每打一次气时，进入篮球内空气分子的个数为
故该气筒每打一次气时，进入篮球内空气分子的个数为个。
20．（2022·全国·高三课时练习）金刚石俗称“金刚钻”，也就是我们常说的钻石，它是一种由碳元素组成的矿物，也是自然界中最坚硬的物质。已知金刚石的密度ρ=3 560 kg/m3，碳原子的摩尔质量为1.2×10-2 kg/mol，阿伏加德罗常数为6.02×1023 mol-1。现有一块体积V=7×10-8 m3的金刚石，则:（计算结果保留2位有效数字）
（1）它含有多少个碳原子?
（2）假如金刚石中碳原子是紧密地堆在一起的，把金刚石中的碳原子看成球体，试估算碳原子的直径。
【答案】（1）1.3×1022个；（2）2.2×10-10 m
【解析】（1）金刚石的质量
m=ρV
碳的物质的量
n=
这块金刚石所含碳原子数
N=n·NA==1.3×1022（个）
（2）一个碳原子的体积
V0=
把金刚石中的碳原子看成球体，则由公式
V0=d3
可得碳原子直径为
d==2.2×10-10 m
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