新高考物理一轮复习专题13.4　电磁感应中的动力学问题、能量问题和动量观点在电磁感应中的应用 精品讲义（含解析）

专题13.4　电磁感应中的动力学问题、能量问题和动量观点在电磁感应中的应用【讲】

【讲核心素养】

1.物理观念：

①物质观：导体棒、斜面、导线框；

②运动观：匀变速直线运动、非匀变速直线运动；

③相互作用观：重力、弹力、摩擦力、安培力；

④能量观：内能、机械能、电能、焦耳热、动能定理。

2.科学思维：电磁感应规律的理解和应用。

能运用运动学、动力学、恒定电流、电磁感应和能量等知识解决导体棒、导线框的运动与能量、动量转化问题。

【讲考点题型】

【知识点一】电磁感应中的平衡和动力学问题

1．安培力的大小

 ⇒F＝

2．安培力的方向

(1)用左手定则判断：先用右手定则判断感应电流的方向，再用左手定则判定安培力的方向．

(2)用楞次定律判断：安培力的方向一定与导体切割磁感线的运动方向相反．

3．电学对象与力学对象的转换及关系

4.题型简述

感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起。解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(共点力的平衡条件、牛顿运动定律、动能定理等)。

2.处理方法

【例1】（2022·新疆·博乐市高级中学（华中师大一附中博乐分校）模拟预测）如图所示，有两根电阻不计、竖直固定的光滑金属导轨（足够长），其间距为d，上端接一阻值为R的电阻，水平虚线CD（足够高）下方区域存在磁感应强度大小为B、方向水平向里的匀强磁场。现将一电阻为R、长度为d的导体棒从虚线CD上方ab处由静止释放，导体棒下落时间t、通过虚线CD时恰好开始匀速进入磁场，此时立即对导体棒施加一个与导体棒所受重力大小相等、方向竖直向上的恒定拉力。已知重力加速度大小为g，导体棒始终与导轨垂直并接触良好，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）

A．导体棒到达虚线CD时的速度大小为

B．导体棒开始下落时距虚线CD的高度为

C．导体棒的质量为

D．导体棒从虚线CD运动到最低点的过程中，导体棒上产生的焦耳热为

【答案】  D

【解析】AB．根据自由落体运动的规律可知，导体棒到达虚线CD时的速度大小

导体棒开始下落时距虚线CD的高度

选项A、B均错误；

C．导体棒刚进入磁场时，切割磁感线产生的感应电动势

通过导体棒的电流

根据物体的平衡条件有

解得

选项C错误；

D．对导体棒施加一个与导体棒所受重力大小相等、方向竖直向上的恒定拉力时，导体棒做在安培力作用下做减速运动，直到最后停止，设导体棒从虚线CD运动到最低点的过程中，回路中产生的总焦耳热为Q，根据功能关系有

该过程中导体棒上产生的焦耳热

解得

选项D正确。

故选D。

【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。

【变式训练1】（2022·江苏省海头高级中学高三期末）如图所示，电阻不计的光滑金属导轨固定放置在倾角的斜面上，两导轨间距为，两侧接有阻值均为的定值电阻，范围内有垂直于斜面向下的磁场，磁感应强度为，质量为的金属棒置于轨道上，金属棒的电阻为，由静止释放金属棒，金属棒经过时间进入磁场，进入磁场后给金属棒施加沿斜面向上的恒力，金属棒恰好静止在，金属棒始终与导轨垂直并接触良好，重力加速度为，下列说法正确的是（　　）

A．金属棒刚进入磁场中的速度为

B．金属棒刚进入磁场时两端的电压为

C．整个过程流过金属棒的电荷量为

D．整个过程，电路中一个电阻R上产生的热量为

【答案】  C

【解析】A．由于金属棒未进入磁场时只受重力，有

金属棒速度

解得

A错误；

B．金属棒刚进入磁场的电动势

金属棒两端的电压

B错误；

C．金属棒进入磁场

金属棒在磁场中所受合力为安培力，由动量定理

解得

C正确；

D．由于金属棒最终静止在，由能量守恒

电路中其中一个电阻产生的热量

D错误。

故选C。

【技巧总结】用“四步法”分析电磁感应中的动力学问题

【知识点二】电磁感应中的动力学和能量问题

1．电磁感应中的能量转化

2．求解焦耳热Q的三种方法

3．求解电磁感应现象中能量问题的一般步骤

(1)在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源。

(2)分析清楚有哪些力做功，就可以知道有哪些形式的能量发生了相互转化。

(3)根据能量守恒列方程求解。

解决电磁感应能量问题的策略是“先源后路、先电后力，再是运动、能量”，即

【例2】（多选）（2022·湖南·高三开学考试）如图1所示为汽车在足够长水平路面上以恒定功率P启动的模型，假设汽车启动过程中所受阻力F阻恒定；如图2所示为一足够长的水平的光滑平行金属导轨，导轨间距为L，左端接有定值电阻R，导轨处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，将一质量为m的导体棒垂直搁在导轨上并用水平恒力F向右拉动，导体棒和导轨的电阻不计且两者始终接触良好。图3、图4分别是汽车、导体棒开始运动后的v ­ t图像。则下列关于汽车和导体棒运动的说法中正确的是（　　）

A．

B．

C．若图3中的t1已知，则根据题给信息可求出汽车从启动到速度达到最大所运动的距离x1＝

D．若图4中的t2已知，则根据题给信息可求出导体棒从开始运动到速度达到最大所运动的距离

【答案】  ABD

【解析】AB．vm代表的是匀速运动的速度，也就是平衡时物体的运动速度，对汽车启动问题，有

得

对导体棒问题，有

得

故AB正确；

C．由动能定理可知

由于题中没有给出汽车的质量，故无法求出x1的大小，故C错误；

D．由

得，在导体棒从开始运动到速度达到最大过程中

由欧姆定律可知

故

由动量定理可知

计算可知

故D正确。

故选ABD。

【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。

【变式训练2】（2022·福建·泉州五中模拟预测）如图（甲）所示，光滑的平行水平金属导轨MN、PQ相距l，在M点和P点间连接一个阻值为R的电阻，一质量为m、电阻为r、长度也刚好为l的导体棒垂直搁在导轨上a、b两点间，在a点右侧导轨间加一有界匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面，宽度为d0，磁感应强度为B，设磁场左边界到ab距离为d。现用一个水平向右的力F拉导体棒，使它从a、b处静止开始运动，棒离开磁场前已做匀速直线运动，与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，水平力F-x的变化情况如图（乙）所示，F0已知。求：

（1）棒ab离开磁场右边界时的速度v；

（2）棒ab通过磁场区域的过程中电阻R产生的焦耳热Q；

（3）d满足什么条件时，棒ab进入磁场后一直做匀速运动。

【答案】  （1）；（2）；（3）

【解析】（1）设棒ab离开磁场右边界时的速度为v，产生的感应电动势为

感应电流为

根据平衡条件得

解得

（2）全程根据动能定理得

根据功和能的关系得

解得

（3）棒在磁场中做匀速运动，进入磁场时的速度为v，根据动能定理得

解得

【规律方法】

电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功来实现的。安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程；外力克服安培力做功的过程，则是其他形式的能转化为电能的过程。

解题步骤

(1)确定研究对象(导体棒或回路)。

(2)弄清电磁感应过程中，哪些力做功，哪些形式的能量相互转化。

(3)根据能量守恒定律或功能关系列式求解。

【知识点三】会正确运用动量定理处理电磁感应中的问题

用动量定理解决电磁感应问题的常见模型及分析

【例3】（2022·江苏·二模）如图所示，两光滑平行长直导轨，间距为d，放置在水平面上，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨平面垂直，两质量都为m、电阻都为r的导体棒、垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，两棒两导体棒距离足够远，静止，以初速度向右运动，不计导轨电阻，忽略感生电流产生的磁场，则（　　）

A．导体棒的最终速度为 B．导体棒产生的焦耳热为

C．通过导体棒横截面的电量为 D．两导体棒的初始距离最小为

【答案】  D

【解析】A．根据楞次定律，导体棒、最终以相同的速度匀速直线运动，设共同速度为，水平向右为正方向，根据动量守恒定律可得

解得

故A错误；

B．设导体棒、在整个过程中产生的焦耳热为，根据能量守恒定律可得

解得

导体棒、的电阻都为r，因此导体棒产生的焦耳热为

故B错误；

C．对导体棒，由动量定理得

因为，故

因此通过导体棒横截面的电量为

故C错误；

D．当导体棒、速度相等时距离为零，则两棒初始距离最小，设最小初始距离为l，则通过导体棒横截面的电量

解得

故D正确。

故选D。

【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。

【变式训练3】（2022·山东聊城一中高三开学考试）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ间距L = 1m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成θ = 30°角，N、Q两端接有R = 1Ω的电阻。一金属棒ab垂直导轨放置，ab两端与导轨始终有良好接触，已知ab的质量m = 0.2kg，电阻r = 1Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B = 1T。ab在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度v1= 0.5m/s沿导轨向上开始运动，可达到最大速度v = 2m/s。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度g = 10m/s2。

（1）求拉力的功率P；

（2）ab开始运动后，经t = 0.09s速度达到v2= 1.5m/s，此过程中电阻R中产生的焦耳热为0.03J，求该过程中ab沿导轨的位移大小x；

（3）金属棒速度达到v2后，立即撤去拉力，棒回到出发点时速度大小v3= 1.0m/s，求该过程中棒运动的时间t1。

【答案】  （1）4W；（2）0.1m；（3）0.55s

【解析】（1）在ab运动过程中，由于拉力功率恒定，ab做加速度逐渐减小的加速运动，速度达到最大时，加速度为零，设此时拉力的大小为F，安培力大小为FA，有

F－mgsinθ－FA = 0

设此时回路中的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律，有

E = BLv

设回路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律，有

受到的安培力

FA = ILB

由功率表达式，有

P = Fv

联立上述各式，代入数据解得

P = 4W

（2）ab从速度v1到v2的过程中，此过程中ab克服安培力做功

W = 2QR = 0.06J

由动能定理，有

代入数据解得

x = 0.1m

（3）该过程中通过导体横截面的电荷量

沿斜面向下为正，由动量定理得

解得

t1 = 0.55s

【方法提炼】在电磁感应中，动量定理应用于单杆切割磁感线运动，可求解变力的作用时间、速度、位移和电荷量．

(1)求速度或电荷量：BlΔt＝mv2－mv1，q＝Δt.

(2)求位移：－＝0－mv0，即－＝0－mv0

(3)求时间：①－BlΔt＋F其他t＝mv2－mv1

即－Blq＋F其他t＝mv2－mv1

已知电荷量q，F其他为恒力，可求出变加速运动的时间．

②＋F其他t＝mv2－mv1，Δt＝x.

若已知位移x，F其他为恒力，也可求出变加速运动的时间．

【知识点四】会正确运用动量守恒定律处理电磁感应中的问题

1．在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便．

2．双棒模型

【例4】（2022·黑龙江·佳木斯一中三模）如图、长L=1m、电阻r=1Ω的金属棒OA与竖直金属圆环接触良好并能随手柄一起转动，同一水平面内有两条足够长且电阻不计、间距也为L=1m的平行金属导轨、，导轨上PQ两处有极小的断点，导轨左端分别与环和O点相连接。在圆环中有水平向右、PQ左侧有竖直向下磁感应强度大小均为B=1T的匀强磁场，边界PQ右侧有长为2L的光滑区。现有长L=1m、质量m=1kg、电阻R=2Ω的金属杆a垂直于磁场置于导轨上，杆a和导轨间动摩擦因数为μ=0.2。另有边长仍为L=1m，质量为M=3kg、每条边电阻均为R=2Ω的正方形金属框EFGH置于导轨上，其FG边与光滑区右边界对齐，不计金属框的摩擦作用。当杆a能运动后越过PQ后一段时间，与金属框发生瞬间碰撞并粘连在一起，随即杆a与金属框向右再运动2L停在粗糙区。（不考虑框架中的电流产生的磁场影响，最大静摩擦力和滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g=10m/s2）。求：

（1）某时刻杆a开始向右运动时，手柄的角速度大小；

（2）杆a碰撞前、后的速度；

（3）杆从PQ离开到最终停下所用时间；

（4）若金属框和杆a碰瞬间后，立即在FG右侧加一竖直向下磁感应强度B1=1T的匀强磁场，碰撞后瞬间整体的加速度大小，和碰后杆a上生成的焦耳热。

【答案】  （1）12rad/s；（2），；（3）3.25s；（4），

【解析】（1）金属棒OA产生的电动势为

回路电流为

当杆a开始向右运动，有

联立解得

（2）设a杆碰前速度大小为，碰后速度大小为，对框和棒整体碰撞后根据动能定理可得

解得

由动量守恒有

解得

（3）杆a从PQ到碰前做匀速直线运动，则有

杆a碰撞后与框在距离内做匀速直线运动，则有

杆a碰撞后与框在距离内做匀减直线运动，则有

所以，杆从PQ离开到最终停下所用时间为

（4）碰后金属框刚进入磁场时，框的右边切割生电动势为

杆a与金属框形成的总电阻为

框的右边流过电流为

所以整体加速度为

从金属框刚进入磁场到整个框进入磁场过程，根据动量定理有

又

联立解得

之后金属框全部进入磁场不再产生焦耳热，所以根据能量守恒可得

其中杆a的焦耳热为

【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。

【变式训练4】（2022·安徽·合肥一中高三开学考试）如图所示，两条间距为L、电阻不计的光滑平行金属导轨，固定在水平绝缘平台上。左侧圆弧部分处于竖直面内，右侧平直导轨端点与平台边缘对齐且水平导轨处于竖直向上磁感应强度大小为B的匀强磁场中。将金属棒垂直于导轨放置，在外力作用下静止于圆弧轨道上距平台高度为处，放在距轨道右端距离为的水平轨道上保持静止。将由静止释放，一段时间后两棒分别脱离轨道，且从脱离轨道至落地两棒沿水平方向的位移之比为。两棒末发生碰撞，导体棒ab、cd，质量分别为2m、m，有效电阻均为，重力加速度为，忽略空气阻力。求：

（1）导体棒脱离轨道时速度的大小；

（2）导体棒在轨道上运动的最小加速度；

（3）导体棒在导轨上运动的时间。

【答案】  （1）；（2）；（3）

【解析】（1）棒由静止沿光滑圆弧轨道下滑至水平轨道的过程中，只有重力做功机械能守恒，故有

解得

随后，棒进入匀强磁场切割磁感线产生感应电流，在安培力作用下，棒做加速度减小的减速运动，棒做加速度减小的加速运动。由题意可知，棒脱离轨道前两棒并未共速，设棒脱离轨道时的速度为，棒脱离轨道时的速度为，应有，因棒脱离轨道后做平抛运动，故有

又因两棒在水平轨道上相互作用的过程中，系统动量守恒。所以

联立上述各式，解得

（2）棒切割磁感线产生的感应电动势分别为

由右手定则可知，与的方向相反。所以，回路的电动势为

由闭合电路欧姆定律可知，回路中电流为

故，棒所受安培力向右，大小为

受力分析可知，所受合外力即其受到的安培力。所以，在离开轨道一刻加速度最小为

方向水平向右。

（3）金属棒在水平轨道运动的过程中，系统动量守恒

随时间的积累，则有

如图所示

且知

设棒在轨道上运动的时间为，则在水平轨道上棒相对棒的位移为

由可得，整个过程中通过金属棒横截面的电荷量为

棒在轨道上运动，所受安培力即合外力，对其运用动量定理有

联立上述两式，即可解得

【规律总结】1.问题特点

对于双导体棒运动的问题，通常是两棒与导轨构成一个闭合回路，当其中一棒在外力作用下获得一定速度时必然在磁场中切割磁感线，在该闭合回路中形成一定的感应电流；另一根导体棒在磁场中在安培力的作用下开始运动，一旦运动起来也将切割磁感线产生一定的感应电动势，对原来电流的变化起阻碍作用。

2.方法技巧

解决此类问题时通常将两棒视为一个整体，于是相互作用的安培力是系统的内力，这个变力将不影响整体的动量守恒。因此解题的突破口是巧妙选择系统，运用动量守恒(动量定理)和功能关系求解。

【方法总结】

感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起.解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(牛顿运动定律、动量守恒定律、动量定理、动能定理等).解决这类问题的方法：

(1)选择研究对象.即是哪一根导体棒或几根导体棒组成的系统.

(2)分析其受力情况.安培力既跟电流方向垂直又跟磁场方向垂直.

(3)分析研究对象所受的各力做功情况和合外力情况，选定所要应用的物理规律.

(4)分析研究对象(或系统)是否符合动量守恒的条件.

(5)运用物理规律列方程求解.注意：加速度a＝0时，速度v达到最大值.