24届天津南开中学高三月考数学试卷（无答案）

南开中学2024届高三第一次月检测

数学学科试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.

第Ｉ卷

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合，，则（    ）

（A） （B） （C） （D）

2．“”是“”的（    ）

（A）充要条件 （B）充分不必要条件

（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

3．函数的部分图象可能是（    ）

（A） （B）

（C） （D）

4．下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（    ）

（A） （B）

（C） （D）

5．计算：的值（    ）

（A） （B） （C） （D）

6．已知，，，则（    ）

（A） （B） （C） （D）

7．已知，则（    ）

（A） （B） （C） （D）

8．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，有下列命题：

①函数的图象关于直线对称 ②函数的图象关于点对称

③函数在上单调递增 ④函数在上恰有5个极值点

其中正确的命题个数为（    ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

9．设函数有7个不同的零点，则正实数的取值范围为（    ）

（A）     （B）       （C）       （D）

第II卷

二、填空题（本大题共6小题，每小题５分，共30分．）

10. 已知是虚数单位，化简的结果为            ．

11．在二项式的展开式中，常数项为             ．

12．函数的部分图象如图所示，则          ．

13.在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排点和最后一排点的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为            米．

14.已知定义在上的函数，当时，，且对任意的实数（），都有，若函数有且仅有五个零点，则的取值范围          .

15.记（）在区间（为正数）上的最大值为，若，则实数的最大值为          .

三、解答题（本大题共５小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

16. （本小题满分14分）

已知函数.

（Ⅰ）求的最小正周期及对称轴方程；

（Ⅱ）当时，求的最大值和最小值.

17. （本小题满分15分）

在中，角所对的边分别为，其中，已知.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求面积的最大值.

18. （本小题满分15分）

如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点.

（Ⅰ）证明：面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求点到平面的距离.

19. （本小题满分15分）

已知椭圆（）的离心率为，短轴长为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，经过椭圆左顶点且斜率为()的直线与交于两点，交轴于点，点为线段的中点，若点关于轴的对称点为，过点作与(为坐标原点)垂直的直线交直线于点，且面积为，求的值．

20．（本小题满分16分）

已知函数.

（Ⅰ）设函数，当时，证明：当时，；

（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若使有两个不同的零点，证明：.