天津南开中学2022届高三第一次月考数学试卷

这是一份天津南开中学2022届高三第一次月考数学试卷，共6页。试卷主要包含了本卷共11小题，共105分等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷１至３页，第II卷４至６页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案填涂在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将答题卡交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ｉ卷
注意事项：
每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
本卷共９小题，每小题５分，共45分。
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合，，则
（2）“”是“”的
（3）下列函数中，在定义域上单调递增且为奇函数的是
（4）某部门为了了解一批树苗的生长情况，在棵树苗中随机抽取棵，统计这棵树苗的高度，将所得个高度数据分为组：，，，，，，，并绘制了频率分布直方图（如图），那么根据该图可推测，在这棵树苗中高度小于cm的树苗棵数是
（5）函数在的图象大致为
（6）已知，，，则
（7）设函数，则下列结论中错误的是
（8）以下区间为函数的一个单调递增区间的是
（9）已知函数若方程有个相异实根，则实数的取值范围是
第II卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共11小题，共105分。
二．填空题：本大题共6小题，每小题５分，共30分．
（10）若复数满足（是虚数单位），则____________．
（11）的展开式中，常数项为____________．
（12）若函数的值域是，则实数的取值范围是____________．
（13）若，，且，则的最小值是____________．
（14）已知，．若，，则的最小值为____________．
（15）设函数则函数的零点个数为____________ ；若，且函数有偶数个零点，则实数的取值范围是____________．
三．解答题：本大题共５小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分14分）
求下列关于的不等式的解集：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
（17）（本小题满分15分）
设函数（，且）是定义域为的奇函数，且的图象过点．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）若，，求实数的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数，使函数在区间上的最大值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（18）（本小题满分15分）
如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点是棱的中点，点在棱上，．
（Ⅰ）证明：直线平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面与平面的夹角的余弦值．
（19）（本小题满分15分）
设椭圆：的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，分别为椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，两点，且，求的值．
（20）（本小题满分16分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若，设，
（ⅰ）证明：函数在区间内有唯一的一个零点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的零点为，证明：当时，.
（A）
（B）
（C）
（D）
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分又不必要条件
（A）
（B）
（C）
（D）
（A）
（B）
（C）
（D）
（A）
（B）
（C）
（D）
（A）
（B）
（C）
（D）
（A）的图象关于点对称
（B）在其定义域上单调递增
（C）的值域为
（D）函数有且只有一个零点
（A）
（B）
（C）
（D）
（A）
（B）
（C）
（D）