上海市东昌中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

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东昌中学2023学年第一学期高二年级数学月考                   2023.10一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分）1．直线的倾斜角为________．2．关于的方程的一个根是，则______．3．若直线经过点，且与圆相切，则直线的方程是___________．4．已知直线，若直线在轴上的截距为2，则实数______．5．已知方程表示圆，则实数______．6．若两个方程，中至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围是______．7．已知向量，，若，则______．8．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是______．9．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为_______________．10．设函数，已知在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是___________．11．曲线围成的图形的面积为__________．12．若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围是___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13题第14题每天4分，第15题第16题每题5分）13．平面内点到、的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D．14．若直线与直线平行，则的值为（    ） A．2或 B． C．或1 D．215．若，下列四个不等式：① ② ③ ④.其中不正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．316．已知点在圆内，直线是以为中点的弦所在直线，直线的方程为，则（    ） A．且与圆相离 B．且与圆相切C．且与圆相交 D．且与圆相离三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分）已知中，，.（1）若，求边上的高所在直线的一般式方程；（2）若点为边的中点，求边所在直线的一般式方程．
18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分）在等差数列中，，.（1）求的通项公式；（2）若，证明：数列为等比数列，并求出的前项和．      19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1题满分7分，第2题满分7分）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系．（1）求的重心的坐标，及点的坐标；（2）求的周长．
20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分）已知直线和圆．（1）直线恒过一定点，求出点坐标；（2）当为何值时，直线被圆所截得的弦长最短，求出弦长；（3）在（2）的前提下，直线是过点且与直线平行的直线，求圆心在直线上，且与圆外切的动圆中半径最小的圆的标准方程．                  21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分）已知圆，定点，，其中为正实数．（1）当时，判断直线与圆的位置关系；（2）当时，若对于圆上任意一点均有成立（为坐标原点），求实数，的值；（3）当，时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围．
参考答案一、填空题1.；    2.；  3.；   4.；  5.； 6.；   7.；            8.；      9.；10.；   11.    12.11．曲线围成的图形的面积为______．【答案】【解析】当时，曲线化为，即；
当时，曲线化为，即；
当时，曲线化为，即；
当时，曲线化为，即.
画出图像：因此曲线围成图形的面积.12．若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】设.
故可以看作点到直线与直线距离之和的5倍.∵的取值与无关，∴这个距离之和与点在圆上的位置无关，如图所示：可知直线平移时，点与直线的距离之和均为之间的距离，即此时圆在两直线内部.
当直线与圆相切时，，化简得，
解得或（舍去），∴，即. 故答案为：.二、选择题13.B         14.B         15.C         16.A15．若，下列四个不等式：① ② ③ ④.不正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由可得，从而，①不正确；，②正确；，则成立，③不正确；，④正确.故不正确的不等式的个数为2，故选C.16．已知点在圆内，直线是以为中点的弦所在直线，直线的方程为，则（    ） A．且与圆相离 B．且与圆相切C．且与圆相交 D．且与圆相离【答案】A【解析】因为点在圆内，则.
因为圆心到直线的距离，故直线与圆相离.
又直线的方程为，即，所以.
故选：A.三．解答题17.（1）；（2）.18.（1）；（2），∴为定值，.19.（1）；（2）.20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分）已知直线和圆．（1）直线恒过一定点，求出点坐标；（2）当为何值时，直线被圆所截得的弦长最短，求出弦长；（3）在（2）的前提下，直线是过点且与直线平行的直线，求圆心在直线上，且与圆外切的动圆中半径最小的圆的标准方程．【答案】（1）；（2）；弦长为；（3）.【解析】（1）证明：由直线得.
联立，解得，所以直线恒过一定点；
（2）要使直线皮圆所截得的弦长最短，则.
由圆得，所以圆心为，则，∴，解得；∴弦长为；（3）由（2）得，直线，即.如图，过与直线垂直的直线方程为，即.
联立，解得.而到直线的距离，故所求圆的半径为.即圆心在直线上，且与圆相外切的动圆中半径最小圆的标准方程为.21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分）已知圆，定点，，其中为正实数．（1）当时，判断直线与圆的位置关系；（2）当时，若对于圆上任意一点均有成立（为坐标原点），求实数和的值；（3）当，时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围．【答案】（1）相离；（2），；（3）.【解析】（1）当时，的半径，圆心.
直线的方程为：，即，所以圆心到直线的距离，故直线与圆相离；（2）设，由题意可得：.∵，所以，化简整理得，也即.∵点是圆上的任意一点，∴，∵均为正数，∴.综上所述，结论是：，；（3）时，直线的方程是：即.
圆心到直线的距离且.∵为线段上的任意一点，∴.设圆心到直线的距离，，∴，∴.综上所述：.