2024年数学高考大一轮复习第九章 §9.13　圆锥曲线中定点与定值问题

1．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)与圆O：x2＋y2＝12相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点M，N作抛物线C的切线l1，l2，P(x0，y0)是l1，l2的交点，求证：点P在定直线上．

2．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，且过点P(3，)．

(1)求C的方程；

(2)设Q(1,0)，直线x＝t(t∈R)不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，证明：直线AD过定点M.

3．(2023·吉林模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－，0)，B(，0)，动点E(x，y)满足直线AE与BE的斜率之积为－，记E的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过点D(2,0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x＝3的垂线，垂足为G，过点O作OM⊥QG，垂足为M.证明：存在定点N，使得|MN|为定值．

4.(2022·杭州质检)如图，已知椭圆C1：＋＝1，椭圆C2：＋＝1，A(－2,0)，B(2,0)，P为椭圆C2上的动点且在第一象限，直线PA，PB分别交椭圆C1于E，F两点，连接EF交x轴于Q点，过B点作BH交椭圆C1，C2于G，H点，且BH∥PA.

(1)证明：kBF·kBG为定值；

(2)证明：直线GF过定点，并求出该定点；

(3)若记P，Q两点的横坐标分别为xP，xQ，证明：xPxQ为定值．