2024年数学高考大一轮复习第九章 §9.9　曲线与方程

§9.9　曲线与方程

考试要求　1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想，掌握利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．

知识梳理

1．“曲线的方程”与“方程的曲线”

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

2．坐标法

(1)用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的________________________或轨迹．

(2)用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程________________________表示曲线．

(3)通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质．

3．求动点轨迹方程的步骤

(1)________——建立适当的坐标系．

(2)________——设轨迹上的任一点P(x，y)．

(3)________——列出动点P所满足的关系式．

(4)________——依关系式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程，并化简．

(5)________——证明所得方程即为符合条件的动点轨迹方程．

4．求动点轨迹方程的常用方法

(1)直接法：即根据题目条件，写出关于动点的几何关系并用坐标表示，再进行整理、化简．

(2)定义法：先根据已知条件判断动点的轨迹形状，然后根据曲线的定义直接求动点的轨迹方程．

(3)代入法：也叫相关点法，其特点是动点M(x，y)与已知曲线C上的点(x′，y′)相关联，可先用x，y表示x′，y′，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程．

(4)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标(x，y)，消去参数，即得其普通方程．

常用结论

1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．

2．曲线的交点与方程组的关系

(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解．

(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)方程x2＋xy＝x表示的曲线是一个点和一条直线．(　　)

(2)“f(x0，y0)＝0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上”的充要条件．(　　)

(3)y＝kx与x＝y表示同一条直线．(　　)

(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．(　　)

教材改编题

1．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)

A．双曲线   B．椭圆

C．圆   D．抛物线

2．已知动点M(x，y)到点O(0,0)与到点A(6,0)的距离之比为2，则动点M的轨迹所围成的区域的面积是________．

3．若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴、y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为______________.

题型一　直接法求轨迹方程

例1 已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．

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思维升华 直接法求轨迹方程的思路

直接法求轨迹方程最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这六个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．

跟踪训练1 (1)已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是(　　)

A．直线  B．圆  C．椭圆  D．双曲线

(2)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若·＝1，则C的轨迹为(　　)

A．圆   B．椭圆

C．抛物线   D．直线

题型二　定义法求轨迹方程

例2 (1)已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1(x>3)   D.－＝1(x>4)

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(2)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为________．

听课记录：____________________________________________________________________

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思维升华 (1)定义法的适用范围

若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程．

(2)注意两个易误点

①因为对圆锥曲线定义中的某些特定条件理解不透或忽视某些限制条件而失误．在利用定义法求轨迹方程时一定要正确应用圆锥曲线的定义．

②不会迁移应用已知条件，因而找不到解题思路，无法解题．

跟踪训练2 (1)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　)

A．y2＝2x   B．(x－1)2＋y2＝4

C．y2＝－2x   D．(x－1)2＋y2＝2

(2)(2022·杭州七校质检)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的角平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为(　　)

A．直线   B．圆

C．椭圆   D．双曲线

题型三　相关点法(代入法)求轨迹方程

例3 如图，已知P是椭圆＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于点M.若＝λ.

(1)求点N的轨迹方程；

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(2)当点N的轨迹为圆时，求λ的值．

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思维升华

跟踪训练3 (1)(2022·银川模拟)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是________________________．

(2)设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为________．