2023-2024学年广东省佛山市S7高质量发展联盟高三（上）数学试卷及参考答案

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1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数为虚数单位，则( )
A. 1B. C. 3D. 4
3.如图，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，那么( )
A. 4B. 2C. D. 1
4.已知函数是R上的偶函数，且满足，当时，，则( )
A. 1B. C. D. 2
5.已知椭圆C：的离心率为，则C的长轴长为( )
A. B. C. D. 4
6.曲线C：与直线l：有两个交点，则实数m的取值范围( )
A. B.
C. D.
7.已知正项数列的前n项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，某公园有一个半径为2公里的半圆形湖面，其圆心为O，现规划在半圆弧岸边取点C、D、E，且，在扇形AOC区域内种植芦苇，在扇形COD区域内修建水上项目，在四边形ODEB区域内种植荷花，并在湖面修建栈道DE和EB作为观光线路.当最大时，游客有更美好的观赏感受，则的最大值为( )
A. B. 4C. D. 6
二、多选题
9.下列结论正确的有( )
A. 若随机变量，满足，则
B. 若随机变量，且，则
C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D. 按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则
10.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是( )
A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B. 若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D. 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
11.设函数，，则下列说法正确的有( )
A. 不等式的解集为
B. 函数在单调递增，在单调递减
C. 当时，总有恒成立
D. 若函数有两个极值点，则实数
12.如图甲，在矩形ABCD中，，，E为AB上一动点不含端点，且满足将沿DE折起后，点A在平面DCBE上的射影F总在棱DC上，如图乙，则下列说法正确的有( )
A. 翻折后总有
B. 当时，翻折后异面直线AE与BC所成角的余弦值为
C. 当时，翻折后四棱锥的体积为
D. 在点E运动的过程中，点F运动的轨迹长度为
三、填空题
13.在二项式的展开式中，常数项是______ .
14.在中，点D是边BC上一点，且，，，，则______ .
15.在正四棱锥中，已知，O为底面ABCD的中心，以点O为球心作一个半径为的球，则平面PCD截该球的截面面积为______.
16.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为______ ；若点Q为抛物线E：上的动点，Q在y轴上的射影为H，则的最小值为______ .
四、解答题
17.已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
求角A的大小；
设AD是BC边上的高，且，，求的值.
18.如图，四棱柱中，M是棱上的一点，平面ABCD，，，
若M是的中点，证明：平面平面；
设四棱锥与四棱柱的体积分别为与，求的值．
19.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，；数列满足，
求和；
求数列的前n项和
20.随着《2023年中国诗词大会》在央视持续热播，它将经典古诗词与新时代精神相结合，使古诗词绽放出新时代的光彩.由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情，掀起了学习古诗词的热潮.某省某校为了了解高二年级全部1000名学生学习古诗词的情况，举行了“古诗词”测试，现随机抽取100名学生，对其测试成绩满分：100分进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示.
根据频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数单位：分；同一组中的数据用该组区间的中点值为代表
若该校高二学生“古诗词”的测试成绩X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定“古诗词”的测试成绩不低于87分的为“优秀”，据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数；取整数
现该校为迎接该省的2023年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行了一场校内“诗词大会”.该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：三个环节均参与，在前两个环节中获胜得1分，第三个环节中获胜得4分，输了不得分，若学生甲在三个环节中获胜的概率依次为，，，假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的.记学生甲在这次“诗词大会”中的累计得分为随机变量，求的分布列和数学期望
参考数据：若，则，，
21.已知抛物线E：，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为
求E的标准方程；
设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线PA与PB斜率乘积为
证明：直线AB过定点；
求的最小值.
22.已知函数
当时，求函数的极值.
是否存在实数a，对任意的m，，且，有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.