广东省佛山市S7高质量发展联盟2024届高三上学期10月联考数学试题

这是一份广东省佛山市S7高质量发展联盟2024届高三上学期10月联考数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年上学期佛山市S7高质量发展联盟高三联考试卷数学学科命题人：李兆基中学一、单选题1. 设集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 2. 已知复数（为虚数单位），则（    ）A. 1 B.  C. 3 D. 43. 如图，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，那么（    ）A. 4 B. 2 C.  D. 14. 已知函数是上的偶函数，且满足，当时，，则（    ）A. 1 B. －1 C. －2 D. 25. 已知椭圆C：的离心率为，则C的长轴长为（    ）A.  B.  C.  D. 46. 曲线C：与直线l：有两个交点，则实数m的取值范围（    ）A.  B. C.   D. 7. 已知正项数列的前n项和为，且，，则（    ）A.  B.  C.  D. 8. 如图，某公园有一个半径为2公里的半圆形湖面，其圆心为O，现规划在半圆弧岸边取点C、D、E，且，在扇形AOC区域内种植芦苇，在扇形COD区域内修建水上项目，在四边形ODEB区域内种植荷花，并在湖面修建栈道DE和EB作为观光线路.当最大时，游客有更美好的观赏感受，则的最大值为（    ）A.  B. 4 C.  D. 6二、多选题9. 下列结论正确的有（    ）A. 若随机变量，满足，则B. 若随机变量，且，则C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强D. 按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（    ）A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为B. 若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为D. 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是11. 设函数，，则下列说法正确的有（    ）A. 不等式的解集为B. 函数在单调递增，在单调递减C. 当时，总有恒成立D. 若函数有两个极值点，则实数12. 如图甲，在矩形ABCD中，，，E为AB上一动点（不含端点），且满足将沿DE折起后，点A在平面DCBE上的射影F总在棱DC上，如图乙，则下列说法正确的有（    ）A. 翻折后总有B. 当时，翻折后异面直线AE与BC所成角的余弦值为C. 当时，翻折后四棱锥的体积为D. 在点E运动的过程中，点F运动的轨迹长度为三、填空题13. 在二项式的展开式中，常数项是______.14. 在中，点D是边BC上一点，且，，，，则______.15. 在正四棱锥中，已知，O为底面ABCD的中心，以点O为球心作一个半径为的球，则平面PCD截该球的截面面积为______.16. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为______；若点Q为抛物线E：上的动点，Q在y轴上的射影为H，则的最小值为______.四、解答题17. 已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）设AD是BC边上的高，且，，求的值.18. 如图，四棱柱中，M是棱上的一点，平面ABCD，，，.（1）若M是的中点，证明：平面平面；（2）设四棱锥与四棱柱的体积分别为与，求的值.19. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，；数列满足，.（1）求和；（2）求数列的前n项和.20. 随着《2023年中国诗词大会》在央视持续热播，它将经典古诗词与新时代精神相结合，使古诗词绽放出新时代的光彩，由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情，掀起了学习古诗词的热潮.某省某校为了了解高二年级全部1000名学生学习古诗词的情况，举行了“古诗词”测试，现随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示.（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）若该校高二学生“古诗词”的测试成绩X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定“古诗词”的测试成绩不低于87分的为“优秀”，据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数；（取整数）（3）现该校为迎接该省的2023年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行了一场校内“诗词大会”.该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：三个环节均参与，在前两个环节中获胜得1分，第三个环节中获胜得4分，输了不得分.若学生甲在三个环节中获胜的概率依次为，，，假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的.记学生甲在这次“诗词大会”中的累计得分为随机变量，求的分布列和数学期.（参考数据：若，则，，.21. 已知抛物线E：，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5.（1）求E的标准方程；（2）设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线PA与PB斜率乘积为－4.（i）证明：直线AB过定点；（ii）求的最小值.22. 已知函数，.（1）当时，求函数的极值.（2）是否存在实数a，对任意的m，，且，有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由. 2023-2024学年上学期佛山市S7高质量发展联盟高三联考试卷数学学科参考答案1. B【详解】∵集合，故M为奇数集.而，故N为整数集，∴.故选：B.2. A【详解】因为复数（为虚数单位），则，因此，.故选：A.3. B【详解】，因为，故.而E为CD的中点，故，故.故选：B.4. A【详解】由题可知是以4为周期的周期函数，，，∴.故选：A.5. B【详解】依题意，因为椭圆C的离心率为，所以，得，故长轴长为.6. B【详解】由可知，得到，即，，作出曲线C：的图像如下：当直线l：经过点时，直线与曲线有两个交点，此时，解得；当直线与曲线相切时，圆心到直线的距离，解得或；因为直线可化为，由截距得，则，此时直线与曲线只有一个交点；故满足条件的实数m的取值范围为.故选：B.7. C【详解】由题设，则，又都为正项，则，故，所以，所以，故.故选：C.8. C【详解】设，则，，，，，，则、为正数.在三角形ODE中，连接DE，由余弦定理得：，在三角形BOE中，由余弦定理得：，所以，由于，所以当时，取得最大值，也即时，取得最大值为.故选：C.9. BC【详解】对于A，由方差的性质可得，故A错误；对于B，由正态分布的图象的对称性可得，故B正确；对于C，由相关系数知识可得：线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故C正确；对于D，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为，乙组：第30百分位数为n，第50百分位数为，则，解得，故，故D错误；故选：BC.10. AD【详解】对于A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，A正确；对于B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，B错误；对于C，先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，C错误；对于D，①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有种安排方法，D正确.故选：AD.11. AC【详解】由题意得，则，对于A：由，可得，解得，所以解集为，故A正确；对于B：，令，解得，所以当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，故B错误；对于C：当时，若，则，所以，即，令，，则，，当时，，函数为增函数，又，所以在是恒成立，所以，为减函数，又，所以在是恒成立，所以当时，总有恒成立，故C正确；对于D：若函数有两个极值点，则有两个根，即在有两个根，令，则，所以当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，又当时，，当时，，，所以，解得，故D错误.故选：AC.12. ACD【详解】在图乙中，因为点A在平面DCBE上的射影F在棱DC上，所以平面DCBE，又平面DCBE，所以，又，，AF，平面ADC，所以平面ADC，又平面ADC，所以，故A正确；如图，在图乙中作于P，连接AP，则，所以AE与BC所成角即为AE与EP所成角，又由平面ADC可得平面ADC，所以而，，则，即AE与BC所成角余弦值为，故B错误；如上图，在图乙中作于G，连接AG，则由平面DCBE可得，又，FG，平面AGF，所以平面AGF，又平面AGF，则，在图甲中，如图，作，则A，G，F三点共线，设，，则由可得，即，又在图乙中有，所以，所以，而，所以，，，故D正确；当时，，则，所以，则，故C正确.故选：ACD.13. /－10.514. 3【详解】在中，，可得.又由余弦定理，，可得.在中，，由此可得，由已知可得，代入可得，所以，所以.故答案为：3.15. 【详解】由正棱锥性质知：平面ABCD，取CD中点E，连接PE，作，垂足为G，∴平面ABCD，平面ABCD，∴，∵O，E分别为AC，CD中点，∴，又，∴，∵PO，平面POE，，平面POE，又平面POE，∴，又，CD，平面PCD，，∴平面PCD，则由球的性质可知：G为平面PCD截球O所得截面圆的圆心，设H为该截面圆与PE的一个交点，连接OH，∵，∴，，∴，∴，又，∴；∵，∴，即截面圆的半径，∴截面圆的面积.16. ；/【详解】设点，∴，∴.抛物线的焦点为点F，由题意知，，∵，∴.故答案为：；.17.【详解】（1）解：在中，由正弦定理，可得，即，即，整理得，因为，所以，则，又因为，所以……5分（2）解：由（1）及已知，可得，又由，可得，所以，由余弦定理，可得，即，即，所以.……10分18.【详解】（1）因为平面ABCD，所以，又，，所以平面，又平面，所以.因为，所以，同理，所以，又，所以平面AMB，又平面，故平面平面.……6分（2）设，则四棱锥的底面的面积，高为，所以四棱锥的体积.四棱柱的底面ABCD的面积，高为，所以四棱柱的体积，所以.……12分19.【详解】（1）设等比数列的公比为，由，，解得或（舍），又，∴，解得，∴，，……2分∴，∴时，，∴，整理得，又，∴数列是首项为1的常数列，∴，∴，……6分（2）设，……8分∴……12分20.【详解】（1）由频率分布直方图估计平均数为：（分）……2分（2）由题意可得测试成绩X近似服从正态分布，所以，则，所以人，故该校高二年级学生中成绩为优秀的人数约为159人；……5分（3）随机变量的所有可能取值为：0，1，2，4，5，6，，，，，，，所以的分布列如下：012456P数学期望.……12分21.【详解】（1）由题可知，解得.所以E的标准方程为；……2分（2）（i）由（1）知，，且，解得，所以.设，，则，同理可得，，则，即.当直线AB斜率存在时，直线AB的方程为，整理得.所以，即，所以直线AB过定点；当直线AB的斜率不存在时，可得，.综上，直线AB过定点.……7分（ii）设，，当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，与抛物线E联立得，消去x得，由题意，所以，.所以，所以当，时，的最小值为；当直线AB斜率不存在时，.由抛物线定义知.故的最小值为.……12分22.【详解】（1）当时，，，令，解得或，当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，极小值为；……4分（2）假设存在实数a，对任意的m，，且，都有恒成立，不妨设，若，即，令，显然只要在为增函数即成立，因为，要使在为增函数则在恒成立，即只需，则，所以存在满足题意.……12分