四川省宜宾市第四中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

宜宾市四中2023年秋期高一第一学月考试

数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

第I卷 选择题（60分）

一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意结合集合的交、并运算以及集合间的关系可得答案.

【详解】由集合，，则

，

选项A.  由，则,故不正确.

选项B.  显然，故不正确.

选项C.  ，故不正确.

选项D. ，故正确.

故选：D

2. 下列各组对象不能构成集合的是（    ）

A. 1~10之间的所有奇数 B. 北方学院2022级大学一年级学生

C. 滑雪速度较快的人 D. 直线上的所有的点

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合元素满足确定性可得出结论．

【详解】由于集合中的元素满足确定性，

ABD选项中的对象均满足确定性，而C选项中，滑雪速度的快慢没有确切的标准，所以这组对象不能构成集合.，

故选：C．

3. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题判断即可.

【详解】解：命题“”为全称量词命题，

其否定为：；

故选：D

4. 如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分析出阴影部分为和的子集，从而选出正确答案.

【详解】题图中的阴影部分是的子集，不属于集合S，故属于集合S的补集，即是的子集，则阴影部分所表示的集合是

故选：C

5. 不等式：成立的一个必要不充分条件是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出不等式的解集，再借助集合的包含关系及必要不充分条件的定义判断作答.

【详解】解不等式，得，

对于A，真包含于，A是；

对于B，，B不是；

对于C，真包含于，C不是；

对于D，与互不包含，D不是.

故选：A

6. 已知实数x，y满足，，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求得，再根据题中条件即可求得范围.

【详解】设

，

则，

所以，

又，，

则，

所以，

故选：

7. 已知集合，则的真子集的个数为（    ）

A. 4 B. 8 C. 15 D. 16

【答案】C

【解析】

【分析】解出集合，进而可得集合,根据集合中元素的个数即可求解.

【详解】由题，，

当时，或或或，

所以，

则集合真子集的个数为个，

故选：

8. 若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】原不等式即为，结合解集中有3个整数可得，利用求根公式求出不等式的解后可得关于的不等式，从而可求其范围.

【详解】已知不等式化为，

若，则不等式为，此时解集中有无数个整数；

若，则不等式为，此时解集中有无数个整数；

故，即.

此时不等式的解为，即，

而，为使解集中的整数恰有3个，则必须且只需满足，

解得，所以实数的取值范围是.

故选：D.

二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 设A为非空实数集，若对任意x，，都有，，且，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为（    ）

A. 集合为封闭集 B. 集合为封闭集

C. 封闭集一定是无限集 D. 若A为封闭集，则一定有

【答案】BD

【解析】

【分析】由封闭集的定义逐一判断即可求解

【详解】对于A，在集合中，

不在集合A中，集合A不是封闭集，故A错误；

对于B，集合，

设x，，则，，，，

，，，

集合为封闭集，故B正确；

对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误；

对于D，若A为封闭集，则取得，故D正确．

故选：BD

10. 下列结论正确的是（    ）

A. 若a>b，则ac2>bc2 B. 若a>b，则a2>ab

C. 若a>b>0，则ab>b2 D. 若|a|>|b|，则a2>b2

【答案】CD

【解析】

【分析】根据不等式性质分析判断.

【详解】对A：若，则，A错误；

对B：若，则，B错误；

对C：若a>b>0，根据不等式性质可得：ab>b2，C正确；

对D：若，根据不等式性质可得：a2>b2

故选：CD.

11. 已知集合，，若，则实数可能的取值为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】分和两种情况讨论，结合可求得实数的取值.

【详解】当时，成立；

当时，则，

，或，解得或.

综上所述，实数可能的取值为、、.

故选：ABC.

【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数值，求解时不要忽略了对空集的讨论，考查计算能力，属于基础题.

12. 若x，．且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意，由基本不等式和不等式的性质依次分析选项，综合可得答案．

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A，若，，，当且仅当时等号成立，A正确；

对于B，，

，，B正确；

对于C，，当且仅当时等号成立，C错误；

对于D，，则有，变形可得，

故，当且仅当时，取等号，故D正确；

故选：ABD．

第II卷 非选择题

三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设全集，集合，，且，则实数______．

【答案】3或-1##-1或3

【解析】

【分析】根据集合相等得到，解出m即可得到答案.

【详解】由题意，或m=-1.

故答案为：3或-1.

14. 已知全集U，集合，，，则集合___________.

【答案】

【解析】

【分析】

由，求得全集，从而可求得答案.

【详解】因为，所以，因为，所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查集合的补集运算，根据集合和集合的补集的关系求得全集是解决问题的关键，属于基础题.

15. 若不等式的解集是或，则不等式的解集是_________

【答案】

【解析】

【分析】由题设可得和是方程的两根，利用韦达定理，求得，把不等式转化为不等式，即可求解.

【详解】由题意，不等式的解集是或，

可得和是方程的两根，

所以，解得，

则不等式可化为，即，

因为，所以不等式等价于，

解得，即不等式的解集为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及二次式之间的关系，其中解答中根据三个二次式之间的关系，利用韦达定理求得的关系，结合一元二次不等式的解法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

16. 已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】由可得，然后利用基本不等式可求出的最小值，从而可求出的最大值为1，进而解不等式可得结果

【详解】由，得.

因为，

所以，

所以，则，

当且仅当时，等号成立，故.

因为恒成立，

所以，解得或.

故答案为

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知集合，，.

（1）求，；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1），   

（2）或.

【解析】

【分析】（1）根据集合的交并运算求得，；

（2）根据是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围.

【小问1详解】

，，

∴，.

【小问2详解】

，

当时，，∴．

当时，，∴．

综上所述，或.

18. 在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若______，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）代入，然后根据交、并、补集进行计算.

（2）选①，可知，分，计算；选②可知，分，计算即可；选③，分，计算.

【小问1详解】

当时，集合，，

∴或，

所以；

小问2详解】

若选择①，则，因为，

时，，即，；

时，

所以实数a的取值范围是．

若选择②，“”是“”的充分不必要条件，则，

因为，时，，即，；

时，；

所以实数a的取值范围是．

若选择③，，因为，

时，，即，；

时，或，解得

所以实数a的取值范围是或．

19. 已知命题，使为假命题．

（1）求实数的取值集合B；

（2）设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由条件可得关于的方程无解，然后分、两种情况讨论即可；

（2）首先由为非空集合可得，然后由条件可得且，然后可建立不等式求解.

【小问1详解】

因命题，使为假命题，

所以关于的方程无解，

当时，有解，故时不成立，

当时，，解得，

所以

【小问2详解】

因为为非空集合，所以，即，

因为是的充分不必要条件，所以且，

所以，即，

综上：实数的取值范围为.

20. 已知，且.

（1）证明：；

（2）证明：.

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由，，利用基本不等式求解即可.

（2）由，两边同时平方，结合基本不等式求的最小值.

【小问1详解】

，

当且仅当时取等号，

所以.

【小问2详解】

由，得，

又由基本不等式可知当a，b，c均为正数时，，，，

当且仅当时，上述不等式等号均成立，

所以，

即，

所以，当且仅当时等号成立.

21. 已知关于的不等式的解集为或

（1）求的值;

（2）解关于x的不等式

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）由题中条件，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解出即可；（2）先化简不等式，因式分解后，讨论的范围得到解集.

【小问1详解】

根据题意，得方程的两个根为和，

∴由根与系数的关系得，

解之得

【小问2详解】

由（1）得关于的不等式

即，因式分解得

①当时，原不等式的解集为;

②当时，原不等式解集为;

③当时，原不等式的解集为;

22. 山东省于2015年设立了水下考古研究中心，以此推动全省的水下考古、水下文化遗产保护等工作;水下考古研究中心工作站，分别设在位于刘公岛的中国甲午战争博物院和威海市博物馆．为对刘公岛周边海域水底情况进行详细了解，然后再选择合适的时机下水探摸、打捞，省水下考古中心在一次水下考古活动中，某一潜水员需潜水米到水底进行考古作业，其用氧量包含以下三个方面：

①下潜平均速度为米/分钟，每分钟的用氧量为升；

②水底作业时间范围是最少10分钟最多20分钟，每分钟用氧量为0.4升；

③返回水面时，平均速度为米/分钟，每分钟用氧量为0.32升.

潜水员在此次考古活动中的总用氧量为升.

（Ⅰ）如果水底作业时间是分钟，将表示为的函数；

（Ⅱ）若，水底作业时间为20分钟，求总用氧量取值范围.

【答案】（Ⅰ）(； （Ⅱ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ）依题意，知下潜时间分钟，返回时间分钟，再由题意可得y关于x的函数；

（Ⅱ）由（Ⅰ）及x∈[6，12]，利用基本不等式求y的最小值，再由结合函数单调性求得最大值，则答案可求

【详解】（Ⅰ）依题意，知下潜时间分钟，返回时间分钟，

  则有 ()，

整理，得(.

（Ⅱ）由（Ⅰ）及题意，得 ()，

   ∴（）.

当且仅当，即时“=”成立.

∴当时，；

∵y′=，易求得x∈[6，8]时，y ′ ，x∈(8，10]时 y ′>0,

函数在x∈[6，8]是减函数，x∈(8，10]是增函数，

又当时，；当时，.

所以，总用氧量的取值范围是.

【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，考查了基本不等式的实际应用,涉及了根据导数判断函数的单调性；根据实际问题抽象出函数解析式后，可利用基本不等式求最值，但一定要在定义域内求解.