人教版七年级数学上册 第三章 一元一次方程 复习题 教案
展开习题课----一道综合题的探究
五十七中学 贺文琦惠
一． 设计思路：
初一第一学期学完了前三章代数的知识，这道综合题是2014年1月海淀区初一第一学期期末的最后一道压轴题，综合性确实非常强，涉及的知识点很多，不仅要对多种情况进行分类，而且还要进行取舍。题中出现了三个数，而且都是字母的形式，用到了方程的思想，把两个字母用含有a的代数式先进行表示，再列方程。虽然有难度，但是我还是很喜欢这道题，我觉得可以借助这道题教会孩子思考综合题的方法，从哪些方面来考虑。
二． 教学过程：
一个字母可以表示什么数呢?可以是正数，负数或零，自从负数引入到有理数这个大家庭中后，数的运算就变得丰富多彩起来。本节课我们通过一道综合题的探究，看看最后大家都会有哪些收获。
（一）对问题的初步认识：
探究题目：在数轴上，点向右移动1个单位长得到点， 点向右移动n+1（n为正整数）个单位长得到点，点、、分别表示有理数、、．
（1）当n=1时，A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为正数。
①数轴上原点的位置可能是（ ）
A、在点A左侧或在A、B两点之间
B、在点C右侧或在A、B两点之间
C、在点A左侧或在B、C两点之间
D、在点C右侧或在B、C两点之间
问题1：题目中的关键词是什么？你能得到什么结论?
第一个关键词是n=1，如果这时没答这个也没关系，对本题不影响。第二个是a、b、c三个数的乘积为正数，即abc>0,根据乘法的运算法则，积为正，则负因数的个数为偶数个，所以是0个或2个，即3个正数，或2负1正两种情况。所以原点应该在点A左侧或在B、C两点之间，选c。 老师板书+++，--+。
问题2：如何用含有a 的式子表示b和c呢？
因为n=1，且点B在点A的右侧，所以b=a+1，同理c=a+3。这样题目中的数b,c就换成了a的代数式。用含有字母a的的代数式来表示数b 和c。一道题中，字母越少越好。
（二）对问题的进一步认识：
探究题目：在数轴上，点向右移动1个单位长得到点， 点向右移动n+1（n为正整数）个单位长得到点，点、、分别表示有理数、、．
（1） 当n=1时，A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为正数。
②若这三个数之和与其中的一个数相等，则a= ；
问题1： 如何理解这三个数之和与其中的一个数相等 ？
与其中一个数相等，可以是a,也可以是b，也可以是c，所以有三种情况，要分类讨论，列出三个方程，解方程。
1）a+b+c=a,a+(a+1)+(a+3)=a 解得a=-2
2）a+b+c=b,a+(a+1)+(a+3)=a+1解得a=-1.5
3）a+b+c=c,a+(a+1)+(a+3)=a+3解得a=-0.5
问题2：这三个解，三个a值都合适吗？为什么？
题目中还有一个条件，即abc>0，所以要用这个条件来对a值进行取舍，不能忽视。
如：当a=-0.5时，a+1=0.5，a+3=2.5，此时abc<0，矛盾，所以舍去。而另外两个都是符合题意的。所以首先要把题目中的条件弄清楚共有几个，其次答案不唯一时要思考进行取舍。
问题3：对于这道题目，你还有别的想法或方法吗？
有，这三个数之和与其中的一个数相等，它的隐含意思是其中两个数的和为零，这样三个方程就可以简化为：
1）b+c=0,(a+1)+(a+3)=0，解得a=-2
2）a+c=0,a+(a+3)=0，解得a=-1.5
3）a+b=0,a+(a+1)=0， 解得a=-0.5
然后再进行取舍，这样方程解起来稍微简单一点儿。
问题4：我们刚才挖掘出了第②问的隐含意思是其中两个数的和为零，如果再结合数轴，你能怎样解决第②问呢？
两个数的和为零，就是两个数互为相反数，因为a,b,c三个数都不相等，所以不可能是零和零的情况，只能是一个正数和一个负数。共有三种情况：
1） a与b互为相反数，则原点O在AB中点处，可是这样就出现了a为负数，b,c为正数,abc<0,就和题目条件矛盾了，所以直接舍去；
2） a与c互为相反数，则原点O在AC中点处，且在B的右边，∵AC=3,∴OC=1.5，∴ a+3=1.5,a=-1.5 且两负一正符合题意；
3） b与c互为相反数，则原点O在BC中点处，BC=2，OC=1，a+3=1,a=-2, 且两负一正 符合题意。
以上问题都请学生思考后回答讲解，其他同学补充，老师最后点拨。
小结：由上面可知，先挖掘出隐含意义，把三个量的关系变成两个量的关系，再结合数轴分析很容易就淘汰了一种情况，不用列方程计算了，这样整个过程就变得很简洁。
（三）对问题的更深入认识：
探究题目：在数轴上，点向右移动1个单位长得到点， 点向右移动n+1（n为正整数）个单位长得到点，点、、分别表示有理数、、．
（2）将点C向右移动n+2个单位长得到点，点表示有理数d． 若、、、d四数之积为正数，且这四个数的和与其中两数之和相等，则a=_____________________________(a用含n的代数式表示)
问题1：此时b,c,d如何用a的代数式表示呢？
问题2：、、、d四数之积为正数，可以得到什么结论？
共有三种情况：1)++++; 2)- - ++; 3)- - - - .所以原点的位置也有三种：在点A左侧，在B，C之间，在点D右侧。
问题3：这四个数的和与其中两数之和相等的隐含意义是什么？
隐含意义是 另外两个数的和为零，也就是互为相反数。所以有6种情况。
1)a与b互为相反数； 2)a与c互为相反数； 3)a与d互为相反数；
4)b与c互为相反数； 5)b与d互为相反数； 6)c与d互为相反数；
问题4：请大家结合数轴，你还有什么想法呢？
∵、、、d四数之积为正数, 所以原点的位置有三种：在点A左侧，在B，C之间，在点D右侧。
1) 当a与b互为相反数时，原点在AB中点，此时一负三正，乘积为负，不合题意，舍去；
2) 当a与c互为相反数时，原点在AC中点，且在B的右侧，此时可以；
3) 当a与d互为相反数时，原点在AD中点，此时恰好是点C，∵c≠0，∴点C不可能是原点，矛盾，舍去；
4) 当b与c互为相反数时，原点BC中点，此时可以；
5) 当b与d互为相反数时，原点在BD中点，且在点C右侧，三负一正，乘积为负，不合题意，舍去；
6) 当c与d互为相反数时，原点在CD中点，也是三负一正，乘积为负，不合题意，舍去；
通过结合数轴分析，最后6种情况只剩下了2种符合题意，所以我们只要解两个小方程就可以了，问题一下子变得很简洁了，计算量大大较少了。所以这一问更加突显了数轴的作用，更好地体现了数形结合的重要性。
也就是①a+c=0,a+(a+n+2)=0，解得a=-
②b+c=0,(a+1)+(a+n+2)=0, 解得a=-
所以a=-或 a=-
问题5：请大家思考，如果不借助数轴，而是纯代数方法，直接解6个方程，最后再用4个数乘积为正去淘汰，具体过程是怎样呢？留给大家课后完成，与我们课上讲的方法进行比较，看看哪个更好？
三．课后反思
由于这节课包含的信息量太大，知识点太多，而且方法多样，难点较多，课上我主要是让孩子们独立思考，逐步分析挖掘，交流讨论，互相质疑，从而完成了本节课。有少部分孩子善于利用数轴解决问题，分析得很是清楚。这节课孩子们还是有很多收获的。
1，通过这节课，他们知道首先要好好读题审题，抓住每一个重要条件，多个结论要进行取舍，其次还要善于看到条件背后隐含的信息，从而简化过程，另外很多孩子还不太适应借助图形--数轴来对问题进行研究。
通过本节课的学习，孩子们会学着从形的角度去解决问题，会非常简单。
由于这节课包含的信息量太大，知识点太多，所以还是很有难度和深度的，课还是有点紧，进行得有点赶，应该再多给孩子门一些探讨交流和梳理的时间，及时消化的时间，可能学习效果会更好些。
对于这节课，北师大的朱文芳教授也做了充分的肯定，说题目虽然很难，但是孩子们表现得非常好，思维很活跃，各种想法，她听了很震撼。不过朱教授也指出此题难度还是过大，今后的趋势会是难度下降，所以以后上课要适当地降低难度。
