高考数学第一轮复习第五章 §5.3　平面向量的数量积

这是一份高考数学第一轮复习第五章 §5.3　平面向量的数量积，共21页。试卷主要包含了向量数量积的运算律等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b0，
又a，b不共线，
所以a，b的夹角为锐角，故A错误；
对于B，设向量a，b的夹角为θ，
则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,\r(5)×\r(2))＝eq \f(\r(10),10)，
所以向量a在b上的投影为
|a|cs θ＝eq \r(5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，故B错误；
对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，
则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，故C正确；
对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，
得mn＝eq \f(1,2)(2m·n)≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2m＋n,2)))2＝2，当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，故D错误．
7．(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________.
答案 －eq \f(10,3)
解析 c＝(3,1)＋(k,0)＝(3＋k,1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－eq \f(10,3).
8．(2020·全国Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
答案 eq \r(3)
解析 将|a＋b|＝1两边平方，
得a2＋2a·b＋b2＝1.
∵a2＝b2＝1，
∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1.
∴|a－b|＝eq \r(a－b2)＝eq \r(a2－2a·b＋b2)
＝eq \r(1－－1＋1)＝eq \r(3).
9．(2022·长沙模拟)在△ABC中，BC的中点为D，设向量eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b.
(1)用a，b表示向量eq \(AD,\s\up6(→))；
(2)若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，求eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))的值．
解 (1)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.
(2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b))
＝eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)a·b
＝eq \f(1,2)×32＋eq \f(1,2)×3×2×cs 60°＝6，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝6.
10．(2022·南昌模拟)已知向量m＝(eq \r(3)sin x，cs x－1)，n＝(cs x，cs x＋1)，若f(x)＝m·n.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在Rt△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A＝90°，f(C)＝0，c＝eq \r(3)，CD为∠BCA的角平分线，E为CD的中点，求BE的长．
解 (1)f(x)＝m·n
＝eq \r(3)sin x·cs x＋cs2x－1
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x－eq \f(1,2)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－eq \f(1,2).
令2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，
则x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递增区间为
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．
(2)f(C)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C＋\f(π,6)))－eq \f(1,2)＝0，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，又C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以C＝eq \f(π,3).
在△ACD中，CD＝eq \f(2\r(3),3)，
在△BCE中，
BE＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2－2×2×\f(\r(3),3)×\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(21),3).
11．(2022·恩施质检)圆内接四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))等于( )
A．12 B．－12
C．20 D．－20
答案 B
解析 如图所示，由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(BD,\s\up6(→))|cs∠BDA－|eq \(DC,\s\up6(→))||eq \(BD,\s\up6(→))|cs∠BDC
＝|eq \(AD,\s\up6(→))|2－|eq \(DC,\s\up6(→))|2＝4－16＝－12.
12．在△ABC中，已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
答案 A
解析 eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)，eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)分别为与eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)所在的直线为∠BAC的角平分线．
因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
所以∠BAC的角平分线垂直于BC，
所以AB＝AC.
又eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·cs∠BAC＝eq \f(1,2)，
所以cs∠BAC＝eq \f(1,2)，∠BAC＝60°.
所以△ABC为等边三角形．
13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，|F1|＝|F2|＝10eq \r(2) N，则物体的重力大小为________ N.
答案 20
解析 如图所示，∵|F1|＝|F2|＝10eq \r(2) N，
∴|F1＋F2|＝10eq \r(2)×eq \r(2)＝20 N，
∴物体的重力大小为20 N.
14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))|的值为________；(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·eq \(DA,\s\up6(→))的最小值为________．
答案 1 eq \f(11,20)
解析 设BE＝x，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，
∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，
∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝eq \r(3)x，
DC＝1－2x，
∵DF∥AB，∴△DFC为边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，
∴(2eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))2＝4eq \(BE,\s\up6(→))2＋4eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))2＝4x2＋4x(1－2x)×cs 0°＋(1－2x)2＝1，
∴|2eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))|＝1，
∵(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·eq \(DA,\s\up6(→))＝(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→)))＝eq \(DE,\s\up6(→))2＋eq \(DF,\s\up6(→))·eq \(EA,\s\up6(→))＝(eq \r(3)x)2＋(1－2x)×(1－x)＝5x2－3x＋1＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,10)))2＋eq \f(11,20)，
∴当x＝eq \f(3,10)时，(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·eq \(DA,\s\up6(→))的最小值为eq \f(11,20).
15．定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b，当a，b不共线时，,|a－b|，当a，b共线时))(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，正确的是( )
A．a⊗b＝b⊗a
B．λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)
C．(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c
D．若e是单位向量，则|a⊗e|≥|a|＋1
答案 A
解析 当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故A正确；
当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故B错误；
当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故C错误；
当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|