高考数学大一轮复习第四章 三角函数、解三角形

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第6节　正弦定理和余弦定理及其应用
考纲要求　1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

知识梳理
1．正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos_A；
b2＝c2＋a2－2cacos_B；
c2＝a2＋b2－2abcos_C
常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin A a≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
4．测量中的几个术语
(1)仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)．

(2)方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)．
(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．
解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解．

1．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B．
3．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔
cos A 诊断自测

1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比．
(3)已知三角时，不可求三边．
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形．


2．在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则cos B＝(　　)
A. B． C． D．
答案　A
解析　由余弦定理知cos B＝＝.
3.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)

A．50 m 　　 B．50 m
C．25 m 　　 D． m
答案　A
解析　在△ABC中，由正弦定理得
＝，
又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，
∴AB＝＝＝50(m)．

4．(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)
A. B． C． D．
答案　C
解析　因为a2＋b2－c2＝2abcos C，
且S△ABC＝，
所以S△ABC＝＝absin C，所以tan C＝1.
又C∈(0，π)，故C＝.
5．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝(　　)
A. B．2 C．4 D．8
答案　C
解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，得AB＝3，所以AB＝BC.过点B作BD⊥AC，交AC于点D，则AD＝AC＝2，BD＝＝，所以tan ∠ABD＝＝＝，
所以tan ∠ABC＝＝4.故选C.
6．(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.
答案　　
解析　如图，易知sin ∠C＝，

cos ∠C＝.
在△BDC中，由正弦定理可得
＝，
∴BD＝＝＝.
由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，
可得cos ∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin ∠CBD
＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]
＝sin(∠C＋∠BDC)
＝sin ∠C·cos ∠BDC＋cos ∠C·sin ∠BDC
＝×＋×＝.

考点一　利用正、余弦定理解三角形
【例1】　(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
(2)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于(　　)
A．2 B．3 C． D．
答案　(1)75°　(2)D
解析　(1)由正弦定理，得sin B＝＝＝，所以B＝45°或135°，因为b (2)由正弦定理及bsin 2A＝asin B，得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B，又sin A≠0，sin B≠0，则cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.
感悟升华　利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断)．
利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
【训练1】　(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　)
A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定
(2)如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则
sin C的值为________．

答案　(1)B　(2)
解析　(1)由正弦定理得＝，∴sin B＝＝＝，∵0° b>a，∴B＝60°或120°，故满足条件的三角形有2个．
(2)设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，
∴AD＝a，BD＝，BC＝.
在△ABD中，cos∠ADB＝＝，
∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.
在△BDC中，＝，
∴sin C＝＝.
考点二　正弦定理、余弦定理的应用
角度1　判断三角形的形状
【例2】　在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是(　　)
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
答案　C
解析　法一　由余弦定理可得a＝2b·，
因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，
从而△ABC为等腰三角形．
法二　由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C，
因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，
故△ABC为等腰三角形．
角度2　三角形面积的计算
【例3】　(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．
答案　6
解析　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得36＝4c2＋c2－2×2c2×，
解得c＝2，所以a＝4，
所以S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝6.

角度3　以平面几何为背景解三角形
【例4】　如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.

(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长．
解　(1)因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，
AB＝3k，k>0.又BD＝，∠DAB＝，
所以在△ABD中，由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝＝＝.
(2)因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
所以sin∠DBC＝，在△BCD中，因为＝，所以CD＝＝.
感悟升华　1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．
2．三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化．
3．求解几何计算问题要注意
(1)根据已知的边角画出图形并在图中标示．
(2)选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．
【训练2】　(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝
asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案　B
解析　由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝，
∴△ABC为直角三角形．
(2)(2021·西安模拟)如图，在锐角△ABC中，D为边BC的中点，且AC＝，AD＝，O为△ABC外接圆的圆心，且cos∠BOC＝－.

①求sin∠BAC的值；
②求△ABC的面积．
解　①如图所示，

∠BOC＝2∠BAC，
∴cos∠BOC＝cos2∠BAC
＝1－2sin2∠BAC＝－，
∴sin2∠BAC＝，sin∠BAC＝.
②延长AD至E，使AE＝2AD，连接BE，CE，
则四边形ABEC为平行四边形，∴CE＝AB，
在△ACE中，AE＝2AD＝3，AC＝，
∠ACE＝π－∠BAC，
cos∠ACE＝－cos∠BAC＝－＝－，
由余弦定理得，
AE2＝AC2＋CE2－2AC·CE·cos∠ACE，
即(3)2＝()2＋CE2－2×·CE×，
解得CE＝3，AB＝CE＝3，
∴S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC
＝×3××＝.
解三角形应用举例
一、测量距离问题
测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达．解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．
【例1】 如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，
∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.

答案　900
解析　由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°，
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，
∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.
又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，
∴PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，
∴P，Q两点间的距离为900 m.
二、测量高度问题
测量高度问题一般涉及方位角、仰角、俯角等，因而所画图形为立体图形．在画图时，要注意运用空间想象力，解题时要尽可能地寻找其中的直角三角形，利用直角三角形中的特征关系解决问题，避免复杂的运算．
【例2】　如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.

答案　30＋30
解析　在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，
sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝，由正弦定理得＝，所以PB＝＝30(＋)，
所以树的高度为PB·sin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)(m)．
三、测量角度问题
与距离问题和高度问题不同，角度问题求解的方向为角，解决角度问题的关键仍在于将实际问题转化为具体的解
三角形问题，即确定所求角，找出三角形中已知的边和角，利用正、余弦定理将这些边、角联系起来从而求解．
【例3】　如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)

A．30° B．45° C．60° D．75°
答案　B
解析　依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，
又CD＝50 m，
所以在△ACD中，由余弦定理得
cos∠CAD＝＝
＝＝，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.


A级　基础巩固
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c＝(　　)
A．1 B．2 C．4 D．6
答案　C
解析　∵a2＝c2＋b2－2cbcos A，
∴13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，
即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)．
2．已知△ABC，a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　)
A．2 B． C．2或 D．均不正确
答案　C
解析　∵＝，
∴sin B＝＝·sin 30°＝.
∵b>a，∴B＝60°或120°.
若B＝60°，则C＝90°，∴c＝＝2.
若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c＝.
3．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　)
A. B． C． D．
答案　A
解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，所以AB＝3，所以cos B＝＝＝.故选A.
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
答案　A
解析　由 又B∈(0，π)，所以sin B>0，
所以sin C 即sin(A＋B) 所以sin Acos B<0，
因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
5．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，则B，C两点间的距离是(　　)
A．10海里 B．10海里
C．20海里 D．20海里
答案　A
解析　如图所示，易知，

在 △ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
在△ABC中，
根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里)．
6．(2021·郑州调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝(　　)
A. B． C． D．
答案　B
解析　由题意得A＝B＋，所以sin A＝sin＝cos B，又a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，故cos B＝sin B，所以tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－－＝.
二、填空题
7．(2021·北京西城区模拟改编)在锐角三角形ABC中，若a＝2，b＝3，A＝，则cos B＝________.
答案　
解析　由正弦定理＝，得sin B＝＝＝，又△ABC为锐角三角形，所以cos B＝＝＝.
8.如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD＝，则cos A＝________.

答案　0
解析　设BD＝x(x>0)，
则AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x，
易知cos∠ADC＝－cos∠BDC.
∴＝－，
解得x＝，故AD＝1，AC＝1，
∴cos A＝＝0.
9．(2020·长春二模改编)在△ABC中，C＝30°，cos A＝－，AC＝－2，则AC边上的高为________．
答案　
解析　依题意得sin A＝＝，则sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×－×＝.
由正弦定理得＝，得BC＝，所以AC边上的高为BC·sin C＝＝＝.
三、解答题
10．(2020·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
(2)若sin A＋sin C＝，求C.
解　(1)由题设及余弦定理，
得28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°，
解得c＝－2(舍去)或c＝2，从而a＝2.
因此△ABC的面积为×2×2×sin 150°＝.
(2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，
所以sin A＋sin C＝sin(30°－C)＋sin C
＝sin(30°＋C)，
故sin(30°＋C)＝.
而0° 所以30°＋C＝45°，故C＝15°.
11．(2021·成都诊断)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a－c)sin(A＋B)＝(a－b)(sin A＋sin B)．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝4，求a＋c的最大值．
解　(1)在△ABC中，∵sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
∴(a－c)sin C＝(a－b)(sin A＋sin B)．
由正弦定理，得(a－c)c＝(a－b)(a＋b)，
整理，得c2＋a2－b2＝ac.
∴＝，∴cos B＝.
又0 (2)∵b＝4，∴a2＋c2－16＝ac，
即(a＋c)2－16＝3ac.
∵ac≤2，∴(a＋c)2－16≤32，
∴(a＋c)2≤16，
∴a＋c≤8，当且仅当a＝c时等号成立．
∴a＋c的最大值为18.
B级　能力提升
12．(2021·西安一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋b＝＋，则角C＝(　　)
A. B． C． D．
答案　D
解析　∵a＋b＝＋，
∴a＋b＝＋，
由正弦定理得sin A＋sin B＝＋，
即sin A－cos A＝cos B－sin B，
∴sin＝sin，
∴A－＝－B或A－＋－B＝π，即A＋B＝或A－B＝π(舍)，∴C＝，故选D.
13．(2020·太原调研)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆面积为16π，且cos2C－cos2B＝sin2A＋sin Asin C，则a＋c的最大值为________．
答案　8
解析　由cos2C－cos2B＝sin2A＋sin Asin C，
得(1－sin2C)－(1－sin 2B)＝sin2A＋sin Asin C，
即sin2B－sin2C＝sin2A＋sin Asin C，
结合正弦定理，得b2－c2＝a2＋ac，即a2＋c2－b2＝－ac，
所以由余弦定理，得cos B＝＝－.
因为0 则A＋C＝π－B＝，C＝－A，且0 设△ABC的外接圆半径为R，则由条件得πR2＝16π，
解得R＝4，所以由正弦定理，得＝＝2R＝8，
所以a＝8sin A，c＝8sin C，
所以a＋c＝8sin A＋8sin C＝8sin A＋8sin＝8sin A＋8
＝4sin A＋4cos A＝8sin.
因为 即A＝时，a＋c取得最大值8.
14．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cos B＝，求△ABC中线AD的长．
解　(1)f(x)＝－cos 2x＋sin 2x＝2sin.
∴T＝＝π.∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，
∵在△ABC中f(A)＝2，
∴sin＝1，
∴2A－＝，∴A＝.又cos B＝且B∈(0，π)，
∴sin B＝，
∴sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝，
在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，
∴a＝7，∴BD＝.
在△ABD中，由余弦定理得，
AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B
＝52＋2－2×5××＝，
因此△ABC的中线AD＝.