高考数学大一轮复习第三章　导数及其应用

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微课4　利用导数研究函数的零点

题型一　判断、证明或讨论函数零点的个数
【例1】(2019·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2sin x－xcos x－x，f′(x)为f(x)的导数.
(1)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点；
(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围.
(1)证明　设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x＋xsin x－1，
g′(x)＝－sin x＋sin x＋xcos x＝xcos x.
当x∈时，g′(x)>0；
当x∈时，g′(x)0，g(π)＝－2，
故g(x)在(0，π)存在唯一零点.
所以f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点.
(2)解　由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0.
由(1)知，f′(x)在(0，π)只有一个零点，设为x0，
当x∈(0，x0)时，f′(x)>0；当x∈(x0，π)时，f′(x)0恒成立，
所以f(x)单调增区间为(－∞，＋∞)，无单调减区间.
当a>0时，令f′(x)ln a，
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞).
(2)由(1)知，f′(x)＝ex－a.
①当a≤1时，f(x)在区间[0，1]上单调递增且f(0)＝0，所以f(x)在区间[0，1]上有一个零点.
②当a≥e时，f(x)在区间[0，1]上单调递减且f(0)＝0，所以f(x)在区间[0，1]上有一个零点.
③当1