2024年高考数学第一轮复习6.3 等比数列（原卷版）

这是一份2024年高考数学第一轮复习6.3 等比数列（原卷版），共11页。试卷主要包含了等比数列的有关概念，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
6.3  等比数列思维导图 知识点总结1．等比数列的有关概念定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列通项公式设{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则通项公式an＝a1qn－1.推广：an＝amqn－m(m，n∈N*)等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab2.等比数列的前n项和公式Sn＝ 典型例题分析考向一 　等比数列基本量的运算
1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　 )A．14       B．12        C．6  D．3解析：选D　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得即解得所以a6＝a1q5＝3，故选D.2．(2023·岳阳模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2a4的值为(　 )A．4        B．5        C．6  D．7解析：选C　根据题意，“浮雕像”从下到上构成公比为2的等比数列，设首项为a1，前n项和为Sn.于是S7＝＝1 016⇒a1＝8，则a4＝8×23＝26⇒log2a4＝log226＝6.故选C.3．(2023·泸州模拟)记Sn为递增的等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝a2，则S4＝______.解析：设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2得，a1＋a2＋a3＝a2，即1＋q2＝q，解得q＝2或q＝，∵{an}是递增数列，∴q＝2，∴S4＝＝24－1＝15.答案：15方法总结等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.　　 考向二   等比数列的判定或证明[典例]　已知数列{an}满足a1＝，a2＝1，an＋2＋4an＝5an＋1(n∈N*)．(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．[解]　(1)证明：∵an＋2＋4an＝5an＋1，n∈N*， ∴an＋2－an＋1＝4(an＋1－an)，n∈N*，∵a1＝，a2＝1，∴a2－a1＝，∴数列{an＋1－an}是以为首项，4为公比的等比数列．(2)由(1)知，an＋1－an＝×4n－1＝22n－3，当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝22n－5＋22n－7＋22n－9＋…＋2－1＋2－1＝＋＝(22n－3＋1)当n＝1时，a1＝(2－1＋1)＝满足上式．所以，an＝(22n－3＋1)(n∈N*)．[方法技巧]　等比数列的判定方法定义法若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列中项公式法若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列通项公式法若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列注意(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可
考向三   等比数列的性质[典例]　(1)(2023·沈阳模拟)在等比数列{an}中，a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，则a3a5a7的值为(　 )A．π        B．－π       C．±π          D．π3(2)(2023·辽宁抚顺市第二中学模拟)若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a10＝9，则log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝(　 )A．6  B．5C．4  D.[解析]　(1)在等比数列{an}中，因为a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，所以a2a8＝π＝a，所以a5＝±，所以a3a5a7＝a＝±π.故选C.(2)log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝log9[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝log995＝5.[答案]　(1)C　(2)B[方法技巧](1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．　　  基础题型训练 一、单选题1．数列{an}的前n项和为Sn，若，且{an}是等比数列，则m＝（    ）A．0 B．3 C．4 D．62．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”则此人第
天走了（    ）A．里 B．里 C．里 D．里3．设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．已知数列的前项和，则确定的最大正整数的值为（    ）A． B． C． D．5．在各项都为正数的等比数列中，，，则公比的值为（    ）A． B． C． D．6．已知数列的前项和为，其中，，，成等差数列，且，则（    ）A． B． C． D． 二、多选题7．已知等比数列是单调数列，设是其前项和，若，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．8．已知函数，则(  )A．，，成等差数列 B．，，成等差数列C．，，成等比数列 D．，，成等比数列 三、填空题9．等比数列中，，，则__________10．等比数列为非常数数列，其前项和是，当时，则公比的值为_____．11．在递增的等比数列中，，，则________．
12．已知数列的前n项和为（其中t为常数），若为等比数列，则t=___________ 四、解答题13．已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)记数列前n项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，请说明理由.14．已知数列满足，．(1)证明：存在等比数列，使；(2)若，求满足条件的最大整数．15．已知等差数列的公差，且，的前项和为.（1）若、、成等比数列，求的值.（2）令，求数列的前项和．16．已知是递增的等差数列，，，，分别为等比数列的前三项.(1)求数列和的通项公式；(2)删去数列中的第项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前n项和.   提升题型训练 
一、单选题1．已知等比数列的前项和为，，且，则（    ）A．40 B．120 C．121 D．3632．记等比数列的前项和为，已知，，则（    ）A．180 B．160 C．210 D．2503．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（　　）A．50 B．100 C．146 D．1284．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（    ）A．40 B．60 C．32 D．505．已知等比数列中，，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前项和为（    ）A． B． C． D．6．已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为（    ）．A．5 B．512C．1024 D．64 二、多选题7．记为数列的前n项和，若，且，，成等比数列，则（    ）A．为等差数列 B．C．，，成等比数列 D．有最大值，无最小值8．以下关于数列的结论正确的是（    ）A．若数列的前n项和，则数列为等差数列B．若数列的前n项和，则数列为等比数列C．若数列满足，则数列为等差数列D．若数列满足．则数列为等比数列
三、填空题9．若等比数列的前n项的和为，且满足，，则=__________.10．已知为等比数列的前项和，，，则的值为______．11．正项等比数列的前项和为，若，则________.12．已知数列满足，，则满足不等式的的值为___________. 四、解答题13．设为等差数列的前项和，已知，，既成等差数列，又成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．14．设等比数列的前项和为，公比，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和为.15．在数列和等比数列中，，，.（1）求数列及的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.16．已知等差数列的前n项和为，，．数列满足．（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前n项和．