初中数学浙教版八年级上册第2章 特殊三角形2.3 等腰三角形的性质定理优秀同步训练题

2.3等腰三角形的性质定理浙教版初中数学八年级上册同步练习

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图所示，在中，，是的中点．下列结论中，不正确的是．(    )
 

A.  B.  C. 平分 D.

2.如果等腰三角形的一个外角为，则它的底角度数为(    )

A.  B.  C. 或 D.

3.若等腰三角形的一个角为，则该等腰三角形的顶角为(    )

A.  B.  C.  D. 或

4.下列命题中，真命题有(    )
面积相等的两个三角形一定全等；
若，则；
有一边相等的两个等腰直角三角形全等；
以、为两边的两个等腰三角形全等．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，，，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

6.在等腰三角形中，是的高，若，则的底角的度数为(    )

A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或或

7.如图，在中，，，则的度数为
．(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面不计损耗，则该圆锥的底面半径为(    )

A.  B.  C.  D.

9.如图所示，在中，，，垂直平分，交于点，，则等于(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为(    )


 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.如图，在中，，，，分别是边，，上的点，且，若，则的度数为          
 

12.如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是______ ．

13.如图，在中，，点在边上，如果，，那么的度数为          
 

14.如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接若，则的周长为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分

如图，在中，，在延长线上，，是高，试判断与的位置关系，并说明理由．

16.本小题分
如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且．

 

求证：．

若，求的度数．

17.本小题分
如图，在中，，垂直平分，交边于点，交边于点，垂直平分，交于点，连接．
求证：；
求的度数．

18.本小题分
如图，已知，点为上一点，且，分别平分，．
求证：；
求证：．

19.本小题分
如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为秒．
用含的代数式表示的长度．
若点、的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由；
若点、的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？

20.本小题分
如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．
 

已知的周长，求的长

若，，求的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质．
此题需对每一个选项进行验证从而求解．
【解答】
解：中，，是中点
，故A正确
，故B正确
故C正确
无法得到，故D不正确．
故选D．

2.【答案】 

【解析】略

3.【答案】 

【解析】解：若的角是顶角，则底角为：，
此时另外两个角的度数是，；
若的角是底角，则另一底角为，
顶角为：，
此时另外两个角的度数是，．
该等腰三角形的顶角为或．
故选：．
由等腰三角形的一个角是，可以分为若的角是顶角与若的角是底角去分析求解．小心别漏解．
此题考查了等腰三角形的性质．解题的关键是注意分类讨论思想的应用，注意别漏解．

4.【答案】 

【解析】解：面积相等的两个三角形一定全等，不一定全等，是假命题；
若，当时不成立，是假命题；
有直角边与斜边分别相等的两个等腰直角三角形全等，是假命题；
以、为两边的两个等腰三角形全等，是真命题．
故选：．
逐项判断是否是真命题，即可选出正确答案．
此题考查了真命题，解题的关键是掌握真命题的概念．

5.【答案】 

【解析】解：作于，如图：

，是等腰三角形底边上的中线，
，，
平分，，，
，
的面积．
故选：．
作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了含角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏解，分三种情况讨论。
先根据题意分别画出图形，当时，根据已知条件得出，从而得出底角的度数；当时，先求出的度数，再根据，求出底角的度数；当时，根据，，得出，从而得出底角的度数．
【解答】
解：如图，当时，

是的高，
，
，
，
底角为；
如图，当时，

，
，
，
，
底角为．
如图，当时，

，，
，
，
；
底角的度数为或或；
故选D．

7.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质与三角形内角和定理，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
先根据等腰三角形的性质求出的度数，再由平角的定义得出的度数，然后根据等腰三角形的性质与三角形内角和即可求出．
【解答】
解：中，，，
，
，
，
，
故选A．

8.【答案】 

【解析】解：过作于，当点在弧上时，扇形的面积最大
，，
，
，
弧的长，
设圆锥的底面圆的半径为，则，解得．
故选：．
根据等腰三角形的性质得到的长，再利用弧长公式计算出弧的长，设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了线段的垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．能求出的度数和是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．根据线段垂直平分性质求出，求出，进而求出，根据含角的直角三角形的性质求出即可．
【解答】
解：垂直平分，交于点，
，
，
，
，，
，
，
故选A．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到，证明≌，得到，根据三角形的外角的性质求出，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：，
，
在和中，

≌，
，
，
，
．
故选C．

11.【答案】 

【解析】略

12.【答案】或 

【解析】【分析】
根据等腰三角形的性质可以得到各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出的度数即可．
本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用分类讨论的方法解答．
【解答】
解：如图所示，

当点在点的左侧时，
，，                                              
，
，
，
，
；
当点在点的右侧时，
，，
，
，
，
，
；
由上可得，的度数是或，
故答案为：或．

13.【答案】 

【解析】略

14.【答案】 

【解析】【分析】
直接利用基本作图方法得出垂直平分，，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出，即可得出答案．
此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出是解题关键．
【解答】
解：由基本作图方法得出：垂直平分，
则，
可得，，
，
，
的周长为：．
故答案为：．

15.【答案】解：，理由为：
证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
则与的位置关系是垂直． 

【解析】由三角形为等腰三角形且为底边上的高，利用三线合一得到为角平分线，再由，利用等边对等角得到一对角相等，利用外角性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到与平行，进而确定出与垂直．
此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，以及平行线的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．

16.【答案】【小题】

略

【小题】

【解析】 略
 略

17.【答案】证明：垂直平分，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
；
解：设，由得出：，
，
，
，
，
解得：，即． 

【解析】根据垂直平分线的性质，得到，进而得到，再根据三角形的外角性质，得到，最后再利用垂直平分线的性质即可证明结论；
设，则，利用等腰三角形的性质，得到，再根据三角形内角和定理即可得到答案．
本题考查了垂直平分线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．

18.【答案】证明：延长、交于，

，
，
平分，
，
，
，
平分，
．
，平分，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】延长、交于，利用平行线的性质和角平分线的定义可证，又平分，则；
由等腰三角形的性质知，再证明≌即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．

19.【答案】解：，则；
和全等，理由如下：
秒厘米，
厘米，
厘米，点为的中点，
厘米．
，
在和中，
，
≌；
点、的运动速度不相等，
，
又≌，，
，，
点，点运动的时间秒，
厘米秒．
当点的运动速度为厘米秒时，能够使与全等． 

【解析】先表示出，根据，可得出答案；
根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等．
根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度；
此题考查了全等三角形的判定，主要运用了路程速度时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．

20.【答案】解：是线段的垂直平分线， 
， 
同理，， 
的周长为， 
， 
； 
，， 
，， 
， 
， 
 

【解析】本题主要考查的是等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理的有关知识．
根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案； 
根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算即可．