2023-2024学年浙江省台州市椒江区书生中学八年级（上）第一次段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省台州市椒江区书生中学八年级（上）第一次段考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列各组图形中，表示是中边的高的图形为(    )

A.  B.  C.  D.

3.将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则(    )

A.
B.
C.
D.

4.如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

5.如图，点、点在上，，，添加一个条件，不能证明≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是(    )

 

A.  B.
C.  D.

7.图中表示被撕掉一块的正边形纸片，若，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

8.如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.如图，已知是的角平分线，过点作于点，的面积为，，：：，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.平面直角坐标系中，点与点______ 关于轴对称．

12.如图，≌，，，则 ______ ．

13.如图所示，______．

14.如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为__．
 

15.如图，，，，、、三点在同一条直线上且，，则 ______ ．

16.已知等边的边长是，，，若点在线段上运动，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
如图，是的中点，，求证：．

18.本小题分

如图，已知和是两条公路，，是两个村庄，建立一个车站，使车站到两个村庄距离相等，即，且到，两条公路的距离相等．请用尺规作图法作出点的位置．保留作图痕迹，不写作法

19.本小题分
如图，在中，，过点作，垂足为，延长至点使在边上截取，连接求证：．

20.本小题分

如图，在长度为个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上．
在图中画出与关于直线成轴对称的．
的面积为______．
在直线上找一点在答题纸上图中标出，使的长最短．

21.本小题分

如图，已知，，，与交于点．
求证：≌；
若，求的度数．

22.本小题分
如图，在五边形中，平分，平分．
五边形的内角和为______度；
若，，，求的度数．

23.本小题分
如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于，于．
求证：；
若，，求的长．

 

24.本小题分
如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点点为边上的一个动点．
______ ， ______ ；
若是等腰三角形，求的度数；
若点在线段上，连接、，则的值最小时的长度 ______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，、、选项中的图形都不是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】 

【解析】解：的高是过顶点与垂直的线段，只有选项符合．
故选：．
根据高的定义：”过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线“解答．
本题考查了三角形的高线，属于基础题，熟记概念是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：如图，由题意可知，，，

两个三角板中有刻度的边互相垂直，
，
，
故选：．
如图见解析，先根据三角板可得，，再根据角的和差可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查作图尺规作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
如图，由作图可知，，根据证明≌．
【解答】
解：如图，由作图可知，，．

在和中，
，
≌，
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
当时，利用可得≌，故A不符合题意；
当时，利用可得≌，故B不符合题意；
当时，利用可得≌，故C不符合题意；
当时，无法证明≌，故D符合题意；
故选：．
根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．
首先利用等腰三角形的性质证得，然后根据题意得，即是等腰三角形，根据等腰三角形的性质证得，易证得，即可求解．
【解答】
解：，
，
以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，
，
，
，
．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：如图，延长，交于点，

，
，
正多边形的一个外角为，
．
故选：．
延长、交于点，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数．
本题主要考查多边形的内角和外角和，掌握相关定义是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：，
，
、分别是线段、的垂直平分线，
，，
，，
，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，求出，，再求出，再求出答案即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质得出和是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角，三角形内角和等于．

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

是的平分线，
．
的面积为，：：，
的面积为，的面积为，
，
，
．
故选：．
过点作于点，再根据角平分线的性质和等高三角形的面积比等于底的比即可解得．
本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．

10.【答案】 

【解析】解：分别延长与交于点，作交延长线于点，
平分，，
，三线合一，
，
，
，
，
当点、重合时，最大，最大值为，
，
故选：．
分别延长与交于点，作交延长线于点，求面积最大值转化成求线段的最大值即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三线合一是解本题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：平面直角坐标系中，点与点关于轴对称．
故答案为：．
根据关于轴对称的点性质，横坐标互为相反数，纵坐标相等即可解答．
根据关于轴对称的点性质，横坐标互为相反数，纵坐标相等即可解答．

12.【答案】 

【解析】解：≌，，，
，，
，
故答案为：．
根据全等三角形的性质得出，，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等．

13.【答案】 

【解析】解：如图，

，，，
．
故答案为：．
根据三角形外角性质得到，，根据四边形内角和即可得解．
此题考查了多边形的内角、三角形外角性质，熟记三角形外角性质及四边形的内角和是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：是边上的中线，
，
和周长的差，
的周长为，比长，
周长为：．
故答案为．
根据三角形中线的定义可得，再表示出和的周长的差就是、的差，然后计算即可．
本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边、的长度的差是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
，
故答案为．
先证明≌，得出，再由外角得出，从而得出答案．
本题考查了全等三角形的判定和性质，判断三角形全等的方法：，，，，还有．

16.【答案】 

【解析】解：如图，

作于点，交于点，
是等边三角形，，
，
，
是等边三角形，，
，
，
，
当时，
的值最小，
故答案为：．
可以作于点，交于点，根据是等边三角形，，得，所以，利用勾股定理求出的长，当时，的值最小，由此得到答案．
本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形度角所对的直角边等于斜边的一半，解决本题的关键是找到动点的位置．

17.【答案】证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】先证出，再由平行线证出同位角相等，然后由证明≌，得出对应角相等即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．

18.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】连接，作线段的垂直平分线，作平分，直线交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．

19.【答案】证明：在中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
≌．
． 

【解析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．

20.【答案】解：如图所示，即为所求；

；
连接，交于，点即为所求． 

【解析】【分析】
首先确定、、三点关于轴的对称点位置，再连接即可；
利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可；
连接，于直线的交点就是点位置．
此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点关于对称轴的对称点位置．
【解答】
解：见答案；
，
故答案为；
见答案．

21.【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
≌；
解：，，
，
由知≌，
．
，
． 

【解析】根据证明两个三角形全等；
根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论．
本题考查了全等三角形的性质和判定，尤其是掌握直角三角形特殊的全等判定：，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

22.【答案】解：；
在五边形中，，，，，
，
平分，平分，
，，
，
． 

【解析】本题考查了多边形的内角和外角，能熟记多边形的内角和定理是解此题的关键．
根据多边形内角和公式求出即可；
求出，根据角平分线定义求出，即可求出答案．

23.【答案】证明：连接、，

点在的垂直平分线上，
，
是的平分线，且于，于．
，
在和中，

≌，
；
解：在和中，

≌，
，
，，
，
即，
解得． 

【解析】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可．

24.【答案】     

【解析】解：，，
，
，
点是边的中点，
，
平分，
；
故答案为：，．
平分，
，
当时，
，
；
当时，
；
当时，
；
综上，的度数为或或．
如图，点在上，且，作点关于的对称点，

，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
当点、、三点共线时，的值最小，
又根据垂线段最短，
当时，有最小值，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
根据题意可得，则，即可求出的长，再根据角平分线的性质即可求出的度数．
根据题意可得，分三种情况：当时；当时；当时．再依次根据三角形内角和定理即可求解．
过点作，作点关于的对称点，根据题意可得，，，根据可证明≌，则，，因此，以此得出当点、、三点共线时，的值最小，此时，最后根据解含度角的直角三角形即可得到结果．
本题主要考查轴对称最短路线问题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形、角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，得出当点、、三点共线时，的值最小是解题关键．