备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题31-圆锥曲线中存在性问题的探究

2024高考数学二轮复习

重难点专题31

圆锥曲线中存在性问题的探究

【方法技巧与总结】

解决存在性问题的技巧：

（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．

（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．

【题型归纳目录】

题型一：存在点使向量数量积为定值

题型二：存在点使斜率之和或之积为定值

题型三：存在点使两角度相等

题型四：存在点使等式恒成立

题型五：存在点使线段关系式为定值

【典例例题】

题型一：存在点使向量数量积为定值

例1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由．

例2．已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）已知点为双曲线的左焦点，试问在轴上是否存在一定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．

题型二：存在点使斜率之和或之积为定值

例3．已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且△的周长是6，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线经过椭圆的左焦点且与椭圆交于不同的两点，，试问：直线与直线的斜率的和是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

题型三：存在点使两角度相等

例4．已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，当时，有．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于，两点，试问在轴上是否存在与不重合的定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由．

例5．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在椭圆上，且满足，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

题型四：存在点使等式恒成立

例6．已知椭圆的右焦点为，椭圆上异于顶点的动点满足直线与的斜率之积为．

（1）求椭圆的方程．

（2）过点的直线与椭圆交于，，，两点，其中，点与不重合）在轴上，直线，分别与轴交于，，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．

例7．已知椭圆的右焦点为，离心率．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知动直线过点，且与椭圆交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

题型五：存在点使线段关系式为定值

例8．椭圆经过两点，，，过点的动直线与椭圆相交于，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若椭圆的右焦点是，其右准线与轴交于点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：；

（3）设点是椭圆的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点不同的定点，使得恒成立？只需写出点的坐标，无需证明．

例9．椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合；斜率为的直线过的焦点与交于，，与交于，．

（1）求椭圆及抛物线的方程；

（2）是否存在常数，使为常数，若存在，求的值，若不存在，说明理由．