备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题28-圆锥曲线中三角形与四边形面积问题

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2024高考数学二轮复习重难点专题28圆锥曲线中三角形四边形面积问题【考点预测】1、三角形的面积处理方法（1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）（2）水平宽·铅锤高或（3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．2、三角形面积比处理方法（1）对顶角模型（2）等角、共角模型3、四边形面积处理方法（1）对角线垂直（2）一般四边形（3）分割两个三角形4、面积的最值问题或者取值范围问题一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量．【题型归纳目录】题型一：三角形的面积问题之底·高题型二：三角形的面积问题之分割法题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型题型七：四边形的面积问题之一般四边形【典例例题】题型一：三角形的面积问题之底·高例1．已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切.为坐标原点.(1)若求圆心的轨迹的方程.(2)若直线与曲线交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.              题型二：三角形的面积问题之分割法例2．已知椭圆的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求面积的最大值．                                  题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化例3．椭圆经过点且离心率为；直线与椭圆交于A，两点，且以为直径的圆过原点.(1)求椭圆的方程；(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值.                 题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型例4．已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．                    例5．已知点P（2，）为椭圆C：）上一点，A，B分别为C的左、右顶点，且△PAB的面积为5．(1)求C的标准方程；(2)过点Q（1，0）的直线l与C相交于点G，H（点G在x轴上方），AG，BH与y轴分别交于点M，N，记，分别为△AOM，△AON（点O为坐标原点）的面积，证明为定值．                       题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型例6．已知椭圆的右焦点为F，直线PQ过F交椭圆于P，Q两点，且．(1)求椭圆的长轴和短轴的比值；(2)如图，线段PQ的垂直平分线与PQ交于点M，与x轴，y轴分别交于D，E两点，求的取值范围．                 题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型例7．在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.(1)求轨迹的方程；(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.                   题型七：四边形的面积问题之一般四边形例7．如图,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.(1)求的方程;(2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.