备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题17-向量中的范围与最值问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题17

向量中的范围和最值问题

【考点预测】

一．平面向量范围与最值问题常用方法：

（1）定义法

第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步:得出结论

（2）坐标法

第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步: 将平面向量的运算坐标化

第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

（3）基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

（4）几何意义法

第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹

第二步: 根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

二．极化恒等式

（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

证明：不妨设 ，则，

   ①

   ②

①②两式相加得：

（2）极化恒等式：

上面两式相减，得：————极化恒等式

①平行四边形模式：

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.

②三角形模式：（M为BD的中点）

三.矩形大法

矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：。

【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，

则，设，则

四.等和线

（1）平面向量共线定理

已知，若，则三点共线；反之亦然。

（2）等和线

平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。

①当等和线恰为直线时，；

②当等和线在点和直线之间时，；

③当直线在点和等和线之间时，；

④当等和线过点时，；

⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；

【题型归纳目录】

题型一：三角不等式

题型二：定义法

题型三：基底法

题型四：几何意义法

题型五：坐标法

题型六：极化恒等式

题型七：矩形大法

题型八：等和线

【典型例题】

题型一：三角不等式

例1．已知圆C的半径为2，点A满足，E，F分别是C上两个动点，且，则的取值范围是（       ）

A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]

【答案】C

【解析】

【分析】

借助于垂径定理处理，结合向量整理可得，再根据向量的加法可得．

【详解】

取EF的中点M，连接CM，则，

，

又，所以，

所以，

当且仅当向量与共线同向时，取得最大值22；向量与共线反向时，取得最小值6，

故选：C．

题型二：定义法

例2．如图，正六边形的边长为2，动点从顶点出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点，若的最大值和最小值分别是，，则（       ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】D

【解析】

【分析】

连接，根据正六边形的特征可得，从而可得，再根据当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，即可求得，，从而得出答案.

【详解】

解：连接，在正六边形中，，

∴，

∵正六边形的边长为2，∴，

因为当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，

所以当在上运动时，取得最大值，为，

当移动到点时，取得最小值，为0．

∴，，∴．

故选：D.

题型三：基底法

例3．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定条件探求出，结合转化为二次函数并求函数的最小值即可.

【详解】

在△ABC中，M为边BC上任意一点，则，

于是得，而，且与不共线，

则，即有，因此，，

当且仅当时取“=”，此时M为BC中点，

所以的最小值为.

故选：C

题型四：几何意义法

例4．已知直线与圆：相交于不同两点，，点为线段的中点，若平面上一动点满足，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意，判断得点在线段外，从而得是直角三角形，进而表示出，可得，由，可得的取值范围.

【详解】

因为，所以，，三点共线，

且点在线段外，因为点为线段的中点，

所以，即是直角三角形，

所以，由数量积的定义可得：

，

因为，所以，即，

故选:C.

【点睛】

求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

题型五：坐标法

例5．已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

先判断出，再以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系：然后利用平面向量数量积的坐标表示求出，再根据圆心到直线的距离小于等于半径可求出结果.

【详解】

因为，又，所以，所以，

以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系：

则，，设，则，

，，

所以，

设，即，

依题意直线与圆有交点，

所以，得，

所以的最小值为.

故答案为：

例6．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则的最小值是（       ）

A．－1 B．1 C．－3 D．3

【答案】C

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，利用坐标法表示，结合三角函数的知识求得正确答案.

【详解】

以为原点，为轴的正方形建立平面直角坐标系，

则，设，

，

所以当时，取得最小值.

故选：C

题型六：极化恒等式

例7．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

【分析】

设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，计算可得出，计算出的取值范围，即可得解.

【详解】

如下图所示：

设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，

，

当为正方形的某边的中点时，，

当与正方形的顶点重合时，，即，

因此，.

故答案为：.

例8．如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ .   

【答案】

【解析】

【分析】

首先在上取一点，使得，取的中点，连接，，根据题意得到，再根据的最值求解即可.

【详解】

在上取一点，使得，取的中点，连接，，

如图所示：

则，，，

，即.

，

当时，取得最小值，此时，

所以.

当与重合时，，，

则，

当与重合时，，，

则，

所以，即的取值范围为.

故答案为：

题型七：矩形大法

例9．设向量，，满足，，，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】

建立坐标系，以向量，的角平分线所在的直线为轴，使得，的坐标分别为，，设的坐标为，由已知可得，表示以为圆心，为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求

【详解】

解：建立坐标系，以向量，的角平分线所在的直线为轴，使得，的坐标分别为，，设的坐标为，

因为，

所以，化简得，

表示以为圆心，为半径的圆，

则的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，

因为圆到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为，

故选：B

【点睛】

此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题

题型八：等和线

例10．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（       ）

A． B．2 C． D．1

【答案】A

【解析】

【分析】

等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.

【详解】

作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，

设，则，

∵BC//EF，∴设，则

∴，

∴

∴

故选：A.

例11．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量（m，n为实数），则m＋n的最大值为______．

【答案】5

【解析】

【分析】

根据及得到，根据平面向量知识得到，利用可求出结果.

【详解】

在边长为的正六边形中，，，

所以，当且仅当与重合时，等号成立，

又，即，当时，是的延长线与圆的交点，此时，由可知，.

因为，且，

所以

 ，

所以，

结合图形可知，，由，得，即，即，当且仅当时等号成立，

所以，

所以，又，时，等号成立，

所以，当且仅当时，等号成立.

即m＋n的最大值为.

故答案为：.