2023-2024学年重庆市南岸区茶园新城中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市南岸区茶园新城中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共34页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年重庆市南岸区茶园新城中学九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．小红有三顶帽子，分别为白色、红色和粉色，有两条围巾，分别为白色和红色．她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　）

A．∠ABD＝∠CBD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AB＝BC
3．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
4．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约有（　　）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
5．一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝4
6．如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）

A．（45﹣2x）（25﹣x）＝625 B．（45﹣x）（25﹣x）＝625
C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625 D．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625
7．如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE＝∠B＝80°，那么∠CDE的度数为（　　）

A．35° B．30° C．25° D．20°
8．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝3，，则FD的长为（　　）

A．1 B．2 C． D．
9．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H．点E是AD上一点，且DE＝AD，点F是DH的中点．点P是线段BD上一动点．点P在运动过程中，PE+PF的最小值为（　　）

A． B． C． D．
10．在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二.填空题（每小题4分，共32分）
11．方程x2+5x＝0的解为　 　．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，AC＝2cm，则BD的长为 　 　cm．

13．已知a是方程x2+3x﹣1＝0的根，则代数式a2+3a+2021的值为 　 　．
14．在一个不透明的口袋中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外其他都相同，随机地从这个袋子中一次摸出两个球，则摸到两个球都是红球的概率是 　 　．
15．设α，β是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个根，则+＝　 　．
16．如图，在四边形ABCD中∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若∠BAD＝56°，则∠BED的度数为 　 　．

17．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣5，且关于y的分式方程的解是整数，则符合条件的所有整数m的和为 　 　．
18．若一个四位正整数满足：a+c＝b+d，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 　 　；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 　 　．
三、解答题（19题8分，其余各题每题10分，共78分）
19．解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．
20．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C．
（1）作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵AE∥BF，
∴　 　，
∵AC平分∠BAE，
∴　 　．
∴∠ACB＝∠BAC，
∴　 　，
同理可证AB＝AD，
∴AD＝BC．
又∵AD∥BC，
∴　 　，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．

21．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝10，BD＝8，求△BCF的面积．

22．2022年虎年新春，中国女足3：2逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军：2022年国庆，中国女篮高歌猛进，时隔28年再夺世界杯亚军，一扫男足、男篮颓势，展现了中国体育的风采！为了培养青少年人才储备，雅礼某初中开展了“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有　 　名；补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是　 　；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．


23．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价1元，其销售量增加12个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？
24．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C匀速运动，到达C点时停止，设点P运动路程为x，△PAC的面积为y（动点P在点A和点C时，△PAC的面积记为0）．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质；
（3）根据图象直接写出当y≤2时x的取值范围．

25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线CD：y＝kx+b（k≠0）交于点P，OC＝OD＝4OA．
（1）求直线CD的解析式；
（2）连接OP、BC，若直线AB上存在一点Q，使得S△PQC＝S四边形OBCP，求点Q的坐标；
（3）将直线CD向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

26．已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．
（1）如图1，点D、点E分别是线段AB上两点，连接CD、CE，若AD＝BE，且∠ECD＝45°，求∠ECB的度数；
（2）如图2，点D、点E分别是线段AB上两点，连接CD、CE，过点B作BF⊥AB交CE延长线于F，连接DF，若∠ECD＝45°，求证：AD+BF＝DF；
（3）如图3，M为射线AC上一点，N为射线CA上一点，且始终满足CM＝AN，过点C作MB的垂线交AB的延长线于点P，连接NP，猜想：NP、MB、CP之间的数量关系并证明你的结论．




参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．小红有三顶帽子，分别为白色、红色和粉色，有两条围巾，分别为白色和红色．她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出恰好为红色帽子和红色围巾的结果数，然后根据概率公式计算．
解：画树状图为：

共有6种等可能的结果，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为1种，
所以恰好为红色帽子和红色围巾的概率＝．
故选：C．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
2．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　）

A．∠ABD＝∠CBD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AB＝BC
【分析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠BDC＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意；
B、∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形，故本选项错误，不符合题意；
D、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．
3．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【分析】根据方程找出对应的a、b、c，再代入到根的判别式中即可求出答案．
解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1，
∴Δ＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式Δ＝b2﹣4ac及相应结果是解题关键．
4．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约有（　　）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出红球出现的频率，然后即可求出总的球的个数，从而可以计算出白球的个数．
解：∵经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，
∴摸到红球的频率稳定在0.6左右，
∵袋中装有若干个白球和15个红球，
∴袋中球的总数为：15÷0.6＝25，
∴袋中白球约有：25﹣15＝10（个），
故选：B．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是求出球的总数．
5．一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝4
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
解：x2﹣6x﹣5＝0，
x2﹣6x＝5，
x2﹣6x+9＝14，
所以（x﹣3）2＝14．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
6．如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）

A．（45﹣2x）（25﹣x）＝625 B．（45﹣x）（25﹣x）＝625
C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625 D．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625
【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为（45﹣2x）cm，宽为（25﹣2x）cm，根据该无盖纸盒的底面积为625cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵剪去小正方形的边长为xcm，
∴该无盖纸盒的底面长为（45﹣2x）cm，宽为（25﹣2x）cm．
依题意得：（45﹣2x）（25﹣2x）＝625．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE＝∠B＝80°，那么∠CDE的度数为（　　）

A．35° B．30° C．25° D．20°
【分析】由菱形的性质得出AD∥BC，AB＝AD，∠ADC＝∠B＝80°，则∠AEB＝∠DAE＝∠B＝80°，得AE＝AB＝AD，再由三角形内角和定理求出∠ADE＝50°，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝AD，∠ADC＝∠B＝80°，
∴∠AEB＝∠DAE＝∠B＝80°，
∴AE＝AB＝AD，
∴∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝（180°﹣80°）＝50°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝80°﹣50°＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
8．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝3，，则FD的长为（　　）

A．1 B．2 C． D．
【分析】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE＝DE＝EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF＝GF；设FD＝x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
解：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE＝EG，AB＝BG，
∴ED＝EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠EGF＝90°，
在Rt△EDF和Rt△EGF中，
，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF＝FG，
设DF＝x，则BF＝3+x，CF＝3﹣x，
在Rt△BCF中，BC2+CF2＝BF2，即（2）2+（3﹣x）2＝（3+x）2，
解得：x＝，
即DF＝；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质；熟记矩形的性质和翻折变换的性质，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H．点E是AD上一点，且DE＝AD，点F是DH的中点．点P是线段BD上一动点．点P在运动过程中，PE+PF的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】在DC上取DI＝DC，由菱形可知DI＝DE，PI＝PE，进一步由菱形面积可得DH，DF的长，再由直角三角形的性质可得DI，FI的长，由此可得答案．
解：如图，在DC上取DI＝DC，
∵四边形ABCD是菱形，为轴对称图形，
∴DI＝DE，PI＝PE，
OD＝，
OC＝，
∴CD＝，
∴AB＝CD＝5，
∵，
∴，
∴DH＝，
∴DF＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠FDI＝∠AHD＝90°，
Rt△FDI中，DI＝，
FI＝＝，
∴PE+PF＝PF+PI≥FI，
∴PE+PF的最小值为，
故选：A．

【点评】此题考查的是菱形的性质，轴对称，勾股定理，两点之间线段最短，添加辅助线，构造轴对称图形是解决此题的关键．
10．在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
解：|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故说法①正确．
若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现﹣x，
显然无论怎么添加绝对值，都无法使x的符号为负号，故说法②正确．
当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y﹣z|﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7种情况；
有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；
需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．
二.填空题（每小题4分，共32分）
11．方程x2+5x＝0的解为　x1＝0，x2＝﹣5　．
【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：分解因式得：x（x+5）＝0，
可得x＝0或x+5＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
故答案为：x1＝0，x2＝﹣5
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，AC＝2cm，则BD的长为 　4　cm．

【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝DO，由勾股定理可求BO，即可求解．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝2cm，
∴AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO＝1cm，
∵AB＝cm，
∵BO＝＝2cm，
∴DO＝BO＝2cm，
∴BD＝4cm，
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
13．已知a是方程x2+3x﹣1＝0的根，则代数式a2+3a+2021的值为 　2022　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将a代入已知方程，即可求得（a2+3a）的值．
解：根据题意，得
a2+3a﹣1＝0，
整理得，a2+3a＝1，
所以a2+3a+2021＝1+2021＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
14．在一个不透明的口袋中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外其他都相同，随机地从这个袋子中一次摸出两个球，则摸到两个球都是红球的概率是 　　．
【分析】根据题意画出树状图列出所有可能情况，然后根据概率公式进行计算即可得解．
解：画出树状图为：

共有12种等可能情况，其中两个球都是红球的有2种情况，
所以P（两个球都是红球）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，利用树状图列出所有可能情况是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．设α，β是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个根，则+＝　　．
【分析】根据x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝−，x1x2＝，得α+β＝﹣1，αβ＝﹣6，分式通分后相加，再把两根之和与两根之积的结果代入，计算即可．
解：根据题意得α+β＝﹣1，αβ＝﹣6，
+＝＝；
故答案为：．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
16．如图，在四边形ABCD中∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若∠BAD＝56°，则∠BED的度数为 　112°　．

【分析】由直角三角形斜边中线的性质得到DE＝BE＝AE，推出∠DAE＝∠ADE，∠BAE＝∠ABE，得到∠ADE+∠ABE＝∠BAD＝56°，由三角形外角的性质得到∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠BEC＝∠BAE+∠ABE，即可推出∠BED＝∠BAD+∠ADE+∠ABE＝56°+56°＝112°．
解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，
∴DE＝AC，BE＝AC，
∴DE＝BE＝AE，
∴∠DAE＝∠ADE，∠BAE＝∠ABE，
∴∠ADE+∠ABE＝∠DAE+∠BAE＝∠BAD＝56°，
∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠BEC＝∠BAE+∠ABE，
∴∠DEC+∠BEC＝∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABE，
∴∠BED＝∠BAD+∠ADE+∠ABE＝56°+56°＝112°．
故答案为：112°．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质得到DE＝BE＝AE，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质即可求解．
17．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣5，且关于y的分式方程的解是整数，则符合条件的所有整数m的和为 　﹣8　．
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出m的范围，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有整数解确定出整数m的值，进而求出之和即可．
解：解不等式组，
得：，
由不等式组的解集为x＜﹣5，得到m≥﹣5，
∵分式方程，
去分母得：2﹣my﹣5＝﹣3×（3﹣y），
解得：y＝，
∵分式方程有整数解，得到m＝﹣5，﹣4，﹣2，0，3，
∴所有整数m的和为：﹣4﹣2﹣5+3+0＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，掌握各自的性质是解本题的关键．
18．若一个四位正整数满足：a+c＝b+d，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 　1001　；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 　8778　．
【分析】根据最小的正整数是1，最大的一位数是9解答；根据题意得到：a2﹣b2＝15，c+d＝5k（k是正整数），a+c＝b+d，联立方程组，解答即可．
解：a取最小的正整数1，c取最小的整数0，
则a+c＝b+d，b＝0，d＝1．
∴最小的“交替数”是1001；
根据题意知：a2﹣b2＝15，c+d＝5k（k是正整数），a+c＝b+d．
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝15＝15×1＝5×3，且0≤a≤9，0≤b≤9，
∴或，
解得或，
∵a+c＝b+d．
∴c﹣d＝b﹣a，
∴c﹣d＝﹣1或c﹣d＝﹣3，
∵c+d＝5k（k是正整数），
∴c+d＝5或10或15，
∴或或或或或，
解得或或（舍去）或（舍去）或或，
∴a＝8，b＝7，c＝2，d＝3，即8723；
或a＝4，b＝1，c＝1，d＝4，即4114；
或a＝8，b＝7，c＝7，d＝8，即8778；
或a＝4，b＝1，c＝6，d＝9，即4169．
故所有的“交替数”是8723或4114或8778或4169，
最大的“交替数”为8778，
故答案为：1001，8778．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
三、解答题（19题8分，其余各题每题10分，共78分）
19．解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，
x2﹣6x＝4，
x2﹣6x+9＝4+9，即（x﹣3）2＝13，
∴x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4，
3x（x﹣2）＝2（x﹣2），
3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
∴（3x﹣2）（x﹣2）＝0，
∴x1＝，x2＝2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C．
（1）作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵AE∥BF，
∴　∠DAC＝∠ACB　，
∵AC平分∠BAE，
∴　∠DAC＝∠BAC　．
∴∠ACB＝∠BAC，
∴　AB＝BC　，
同理可证AB＝AD，
∴AD＝BC．
又∵AD∥BC，
∴　四边形ABCD是平行四边形　，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．

【分析】（1）根据作角平分线的基本作法作图；
（2）根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明．
【解答】（1）解：如图：BD即为所求；

（2）证明：∵AE∥BF，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠DAC＝∠BAC．
∴∠ACB＝∠BAC，
∴AB＝BC，
同理可证AB＝AD，
∴AD＝BC．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：∠DAC＝∠ACB，∠DAC＝∠BAC，AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形．

【点评】本题考查了基本作图，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
21．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝10，BD＝8，求△BCF的面积．

【分析】（1）证明△AEB≌△DEF（AAS），得AB＝DF，则四边形ABDF是平行四边形，再由∠BDF＝90°，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得BF＝AD＝10，再由勾股定理得DF＝6，然后由平行四边形的性质得CD＝AB＝6，则CF＝CD+DF＝12，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DFE，
∵AE＝DE，∠AEB＝∠DEF，
∴△AEB≌△DEF（AAS），
∴AB＝DF，
∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF＝90°，
∴平行四边形ABDF是矩形．
（2）解：由（1）得：四边形ABDF是矩形，AB＝DF，
∴BF＝AD＝10，
∴，
则AB＝DF＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6，
∴CF＝CD+DF＝6+6＝12，
∵∠BDF＝90°，
∴BD⊥CF，
∴S△BCF＝CF•BD＝×12×8＝48．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
22．2022年虎年新春，中国女足3：2逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军：2022年国庆，中国女篮高歌猛进，时隔28年再夺世界杯亚军，一扫男足、男篮颓势，展现了中国体育的风采！为了培养青少年人才储备，雅礼某初中开展了“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有　100　名；补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是　18°　；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．


【分析】（1）用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．
（2）用选择“排球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360°即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）本次被调查的学生人数为30÷30%＝100（名）．
选择“足球”的人数为35%×100＝35（名）．
补全条形统计图如下：

故答案为：100．

（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为 ．
故答案为：18°．

（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价1元，其销售量增加12个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？
【分析】（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，根据1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，列一元二次方程，求解即可；
（2）设这种台灯售价应定为m元，根据商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，列一元二次方程，求解即可．
解：（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，
根据题意，得400（1+x）2＝576，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），
答：2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为20%；
（2）设这种台灯售价应定为m元，
根据题意，得（m﹣30）[576+（40﹣m）]＝4800，
解得m1＝38，m2＝80，
∵售价在35元至40元范围内，
∴m＝38，
答：这种台灯售价应定为38元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立相应的等量关系是解题的关键．
24．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C匀速运动，到达C点时停止，设点P运动路程为x，△PAC的面积为y（动点P在点A和点C时，△PAC的面积记为0）．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质；
（3）根据图象直接写出当y≤2时x的取值范围．

【分析】（1）求出BC＝＝3，分两种情况：当P在边AB上，即0≤x≤4时，y＝AP•BC＝x×3＝x；当P在边BC（不含B）上，即4＜x≤7时，y＝CP•AB＝（7﹣x）×4＝﹣2x+14；
（2）描点作出函数图象，再写出一条性质即可；
（3）根据函数图象即可得到答案．
解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，
∴BC＝＝3，
当P在边AB上，即0≤x≤4时，如图：

y＝AP•BC＝x×3＝x；
当P在边BC（不含B）上，即4＜x≤7时，如图：

y＝CP•AB＝（7﹣x）×4＝﹣2x+14；
∴y＝；
（2）当x＝0时y＝0，当x＝4时y＝6，当x＝7时y＝0，
画出函数图象如下：

由图象可知，当0≤x≤4时，y随x的增大而增大；y的最大值为6（写出一条即可）；
（3）根据函数图象可得，当y≤2时x的取值范围是0≤x≤或6≤x≤7．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及一次函数图象及性质，解题的关键是读懂题意，应用分类讨论思想写出函数关系式．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线CD：y＝kx+b（k≠0）交于点P，OC＝OD＝4OA．
（1）求直线CD的解析式；
（2）连接OP、BC，若直线AB上存在一点Q，使得S△PQC＝S四边形OBCP，求点Q的坐标；
（3）将直线CD向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先求出OA，然后求出点C和点D的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点B和点P的坐标，然后求出四边形OBCP的面积，然后分类讨论：当点Q在点B的下方时；当点Q在点P的上方时；分别求出三角形PQC的面积，即可求出点Q的坐标；
（3）先求出直线l为y＝﹣x+3，然后得到OE＝3，然后分情况进行分析：当OE＝3作为矩形OEMN的边时；当OE＝3作为矩形OEMN的对角线时；分别求出两种情况的点M的坐标即可．
解：（1）∵直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴令y＝0，则x＝1，
∴点A为（1，0），
∴OA＝1，
∵OC＝OD＝4OA＝4，
∴点C为（4，0），点D为（0，4），
设直线CD的解析式为y＝kx+b；
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4；
（2）解：在y＝2x﹣2中，令x＝0，则y＝﹣2，
∴点B为（0，﹣2），
∵，
解得，
∴点P的坐标为（2，2）；
∴；
∵点Q在直线AB上，则设点Q为（x，2x﹣2），则
当点Q在点B的下方时，如图：
∵AC＝3，点P的坐标为（2，2），
∴，
∵S△PQC＝S四边形OBCP，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴点Q的坐标为；
当点Q在点P的上方时，如图：
，
∴，
∴
解得：，
∴，
∴点Q的坐标为；
综合上述，点Q的坐标为或；
（3）解：∵直线CD向下平移1个单位长度得到直线l，
∴直线l为y＝﹣x+3，
令y＝0，则x＝3，
∴点E的坐标为（3，0），
即OE＝3；
当OE＝3作为矩形OEMN的边时，如图：

∴点N的坐标为（0，3），
∴点M的坐标为（3，3）；
当OE＝3作为矩形OEMN的对角线时，如图：

∴点F的坐标为，
∵tan∠OEN＝|﹣1|＝1，
∴∠OEN＝45°，
∵ON⊥NE，
∴△ONE是等腰直角三角形，
∴ON＝NE，
∴四边形ONEM是正方形，
∴MN⊥OE，MN＝OE，
∴，
∴点M的坐标为；
综合上述，则点M的坐标为（3，3）或；

【点评】本题考查了矩形的性质，一次函数的图象和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题．
26．已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．
（1）如图1，点D、点E分别是线段AB上两点，连接CD、CE，若AD＝BE，且∠ECD＝45°，求∠ECB的度数；
（2）如图2，点D、点E分别是线段AB上两点，连接CD、CE，过点B作BF⊥AB交CE延长线于F，连接DF，若∠ECD＝45°，求证：AD+BF＝DF；
（3）如图3，M为射线AC上一点，N为射线CA上一点，且始终满足CM＝AN，过点C作MB的垂线交AB的延长线于点P，连接NP，猜想：NP、MB、CP之间的数量关系并证明你的结论．


【分析】（1）由“SAS”可证∠ACD＝∠BCE，即可求解；
（2）由“SAS”可证△ACH≌△BCF，可得CF＝CH，∠ACH＝∠BCF，可得△CDH≌△CDF，可得DH＝DF，可得结论；
（3）过点A作AQ⊥AC交PC的延长线于Q．证明△ACQ≌△CBM（ASA），推出CQ＝BM，AQ＝CM，由“SAS”可证△PAN≌△PAQ，可得PN＝PQ，可得结论．
【解答】（1）解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
又∵AD＝BE，AC＝BC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠ECD＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝∠ACD＝22.5°；
（2）证明：延长BA至H，使BF＝AH，连接CH，

∵∠ECD＝45°，
∴∠ACD+∠BCF＝45°，
∵BF⊥AB，∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴∠CBF＝∠CAH＝135°，
又∵AC＝BC，BF＝AH，
∴△ACH≌△BCF（SAS），
∴CF＝CH，∠ACH＝∠BCF，
∴∠FCH＝∠BCA＝90°，
∵∠ECD＝45°，
∴∠HCD＝∠ECD＝45°，
又∵CD＝CD，CF＝CH，
∴△CDH≌△CDF（SAS），
∴DH＝DF，
∴BF+AD＝DF；
（3）解：PN＝MB+PC，理由如下：
过点A作AQ⊥AC交PC的延长线于Q．

∵∠CAQ＝∠BCQ＝∠ACB＝90°，PC⊥BM，
∴∠ACQ+BCP＝90°，∠BCP+∠CBM＝90°，
∴∠ACQ＝∠CBM，
在△ACQ和△CBM中，
，
∴△ACQ≌△CBM（ASA），
∴CQ＝BM，AQ＝CM，
∵AN＝CM，
∴AN＝AQ，
∵∠BAC＝45°，∠CAQ＝90°，
∴∠PAN＝∠PAQ＝135°，
在△PAN和△PAQ中，
，
∴△PAN≌△PAQ（SAS），
∴PN＝PQ，
∵PQ＝PC+CQ＝PC+BM，
∴PN＝MB+PC．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．