2024浙江省余姚中学高二上学期第一次质量检测试卷数学PDF版含答案（可编辑）

高二数学答案

【答案】

1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.       8.   

9.    10.   11.   12.   

13.  

14.  

15.  

16.  

17. 解：每组小矩形的面积之和为，
，
；
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第百分位数为，
由，
得，故第百分位数为；
由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故，
设成绩在中人的分数分别为，，，，
成绩在中人的分数分别为，，，，，
则由题意可得，，，
即，，

，
所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是． 

18. 解：设“甲在第一轮比赛中胜出”，
“甲在第二轮比赛中胜出”，
“乙在第一轮比赛中胜出”，
“乙在第二轮比赛中胜出”，
则“甲赢得比赛”，
．
“乙赢得比赛”，
．
因为，
所以派甲参赛获胜的概率更大．
由知，
设“甲赢得比赛”，“乙贏得比赛”，
则；
．
于是“两人中至少有一人赢得比赛”
． 

19. 解：，

的最小正周期．

由得：，

的单调递增区间为

，

，则，即，

函数在区间上的值域为

由，由，得．

由余弦定理，得

，当且仅当时等号成立．

．

面积的最大值为．

20. 解：设等差数列  的公差为  ，等比数列  公比为  ，

 ，解得：  ，

 ；  ；

由得：  ，

 ，

 ，

两式作差得：    ，

 ．

由得：  ，

则   ．

21. 解：Ⅰ函数，
函数的定义域为．
当时，，
．
当变化时，和的值的变化情况如下表：

由上表可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
极小值是，无极大值．
Ⅱ由，得．
若函数为上的单调增函数，
则在上恒成立，
即不等式在上恒成立．
也即在上恒成立．
令，则．
当时，，
在上为减函数，
．
．
的取值范围为． 

22. 解：依题意，，
当时，，所以在上单调递减，
所以当时，，所以不符合题设；
当时，令，得，
解得，或，
所以当时，，
所以在上单调递减，
此时，所以不符合题设；
当时，，所以，
所以在上单调递增，所以当时，；
综上，实数的取值范围是
由知，当时，取，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极大值点，是的极小值点，
由知，，，，
所以要证，只要证，
因为

，
设，
，，
所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，
即得成立，
所以原不等式成立． 

【解析】

1. 【分析】

本题主要考查了分层随机抽样，属于基础题．
利用分层抽样的性质即可求解方阵乙被抽取的人数．

【解答】
解：由题意，可知方阵乙被抽取的人数：．
故选B．

2. 【分析】

本题考查平均数和方差的计算公式和性质，属于较易题．
方法一，由平均数和方差公式直接计算求解；
方法二，根据平均数和方差的性质可知原数据乘以加上得到一组新数据，则由平均数、方差的性质可知得到的新数据的平均数和方差分别是和，即可求解．

【解答】
解：方法一：平均数为
；
方差为．
方法二：原数据乘以加上得到一组新数据，
则由平均数、方差的性质可知得到的新数据的平均数和方差分别是和．
故选C．

3. 【分析】

本题考查古典概型的概率和对立事件的概率，是基础题．
先求出基本事件总数，再利用列举法求出所得的两个点数和小于包含的基本事件个数，由此能求出所得的两个点数和不小于的概率．

【解答】
解：将骰子先后抛掷次，所有结果的总数如下表：

共种．
因为向上的数之和小于的结果有，，共种，
所以向上的数之和小于的概率，
从而向上的数的和不小于的概率，
故选D．

4. 【分析】

本题考查相互独立事件、古典概型及其概率计算，属于较难题．
根据古典概型的概率公式分别求出、、、、、，结合相互独立事件的定义即可判断三个命题的真假．

【解答】
解：从，，，中取随机选出一个数字，记事件“取出的数字是或”，“取出的数字是或”，“取出的数字是或”，
，，，
，，，
对于命题，，
所以与相互独立，故是真命题；
对于命题，，
所以与相互独立，故是真命题；
对于，，
所以与相互独立，故是真命题．
故选：．

5. 【分析】

本题考查了空间向量的基本定理及应用、共线与共面向量定理及应用、空间向量的加减运算及数乘运算的相关知识，属于基础题．

空间向量共线不代表所在直线平行，且空间任意两向量都共面，即可判断；利用四面体三条侧棱说明即可；根据空间向量基本定理即可判断．

【解答】
解：若向量共线，则向量所在的直线平行或重合，错误；

若向量所在的直线为异面直线，由向量位置的任意性，
空间中两向量可平移至一个平面内，故共面，错误；

若三个向量两两共面，如下图：

显然不共面，错误；

已知空间的三个不共面向量，则对于空间的任意一个向量，
根据空间向量基本定理知：总存在实数使，正确．

只有正确．

故选B．

6. 【分析】

本题考查导数的几何意义和导数的定义，属于基础题．
根据切点处的导数即为切线斜率，即可求得，代入所求即可．

【解答】
解：由已知得曲线在点处切线斜率为，
即，
则．
故选：．

7. 【分析】

本题考查利用导数比较大小，属于中档题．
依题意令，进而根据题意得在上单调递减，故，进而得答案．

【解答】

解：因为满足，令，

则，所以在上单调递减，

所以，即，所以，

所以．

故选A．

8. 【分析】

本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，综合性较强，运算量较大，属于难题．
求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断
求函数的导数，结合函数的单调性，结合函数单调性和零点个数进行判断即可
利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可
令，求函数的导数，研究函数的单调性进行证明即可．

【解答】
解：函数的定义域为，
函数的导数，在上，，函数单调递减，在上，，函数单调递增，
是的极小值点，即错误；
， ，
函数在上单调递减，
且，，
函数有且只有个零点，即正确；
若，可得，令，则，
令，则，
在上，，函数单调递增，上，，函数单调递减，
，，
在上函数单调递减，函数无最小值，
不存在正实数，使得恒成立，即不正确；
令，则，，
令，
则，
在上单调递减，
则，
令，
由，得，
则，
当时，显然成立，
对任意两个正实数，，且，若，则，正确，
故正确的是，
故选：．

9.【分析】

本题考查命题真假的判断，平均数、极差、中位数、方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用平均数、极差、中位数、方差的定义直接判断各选项即可．

【解答】
解：对于，这组数据的平均数是，故A正确；
对于，这组数据的极差是，故B正确；
对于，这组数据从小到大为，，，，，，
这组数据的中位数是，故C错误；
对于，这组数据的方差是，故D错误．
故选：．

10. 【分析】

本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概念，属于中档题．
根据互斥事件的概率计算公式以及相互独立事件的概念，结合概率的基本性质，即可逐项判断出结果．

【解答】
解：因为，．
选项A：如果，那么，，故A错误；
选项B：如果与互斥，说明事件与不可能同时发生，那么，，故B正确；
选项C：如果与相互独立，说明事件的发生与否与事件的发生与否互不影响，那么，
，故C错误；
选项D：如果与相互独立，说明事件的发生与否与事件的发生与否互不影响，
那么，，故D正确．
故选BD．

11. 【分析】

本题考查函数模型的应用，属于一般题．
根据已知条件写出利润关于瓶子半径的函数式，由于是的三次函数，所以可利用导数来分析和处理并回答问题．

【解答】
解：由已知，每个瓶子的利润

，
当时，，函数单调递减，A错误；
又当时，，函数单调递增，
，
当时，函数取得最大值，B正确；
当时，函数取得最小值，C正确；
又，D正确．
故选BCD．

12. 【分析】

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数比较大小，属于较难题．
易知，构造，利用导数可得，从而可判断；构造函数，利用导数推出可判断；取可得，从而可判断消去可得，令，则，构造，，利用导数即可判断．

【解答】
解：，，
，，，
构造，则，
所以函数在上单调递增，所以，
所以．
，
，故A正确；
令，
则，
所以函数在上单调递增，所以，
所以，
所以，
，故B正确；
当时，则，，，
，故C错误；
，，，
令，则，，，
设，，
，
令，，则，
可知函数在上单调递增，，
则，
在上单调递增，，
，故D正确．

13. 【分析】

本题考查频率分布直方图，属于基础题．
首先计算成绩不低于的两个小矩形的面积之和，即成绩不低于的学生的频率，再乘以即可．

【解答】
解：由频率分布直方图成绩不低于的学生的频率为：
，
所以成绩不低于分的学生数是．
故答案为：．

14. 【分析】

本题考查相互独立事件，互斥事件和对立事件的概率公式，属于基础题目．
根据题意可得，代入数值即可得解．

【解答】解：

，
即，
解得．
故答案为．

15. 【分析】

本题考查利用导数研究函数性质的应用．
将不等有且只有个正整数解，转化为有且只有个正整数解，令，利用导数研究其性质，作出图象分析即可得到答案．

【解答】
解：不等式即，
令，则，
当时，，为单调增函数，
当时，，为单调减函数，
表示过点的直线，
画出图象如下：

由题意可知：，解得：，
故答案为．

16. 【分析】
本题考查导数几何意义应用，属中档题．
依题意，设切点，求导得切线斜率，写出切线方程，将代入化简得，
则方程又两个不同的实数解，求解即可．
【解答】
解：设切点，直线斜率为，
，则，
所以切线方程为，
将代入化简得，
所以方程又两个不同的实数解，

得或，即实数的取值范围为．

17. 本题考查频率分布直方图、百分位数、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
由频率分布直方图列出方程能求出；
由频率分布直方图列出方程能求出第百分位数；
由频率分布直方图中数据结合方差计算公式即可解答．

18. 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”利用相互独立事件概率乘法公式分别求出相应的概率，能求出派甲参赛赢得比赛的可能性最大；
设“甲赢得比赛”，“乙贏得比赛”，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出至少有一人赢得比赛的概率．

19. 本题考查三角函数化简计算，辅助角公式运用，单调性，值域和解三角形求面积最值问题，属于中档题．
应用二倍角余弦公式、辅助角公式可得，根据正弦函数的性质即可求最小正周期、递增区间；

由给定区间可知，根据正弦函数性质求区间值域即可．

由题设可得，应用余弦定理及三角形面积公式，结合基本不等式求面积的最大值．

20. 本题考查等差、等比数列的通项公式，错位相减法、裂项相消法，分组求和，属于综合题．
假设公差  和公比  ，由等差和等比数列通项与求和公式可构造方程求得  ，由等差和等比通项公式可求得结果；

由可得  ，利用错位相减法可求得结果；

由可得  ，利用分组求和的方法，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果．

21. 本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，属于中档题．
Ⅰ函数的定义域为当时，，由此利用导数性质能求出函数的单调区间和极值
Ⅱ由，得，令，则，由此利用导数求出最值能得出的取值范围．

22. 本题考查利用导数求解或证明不等式，考查利用导数研究函数的极值问题，属于难题．
对函数进行求导，再分、、三种情况进行讨论即可；
结合中的结论可知，是的极大值点，是的极小值点，且，，，所以转化为证明，而，接下来利用换元法构造新函数进行求解即可．