江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟八年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．中华姓氏源于上古，每个姓氏都有自己的图腾．下列姓氏图腾是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　）

A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
3．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　　）

A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
4．如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠AEB＝∠ADC，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）

A．AD＝AE B．∠B＝∠C C．BE＝CD D．AB＝AC
5．如图，要判断一张纸带的两边a，b是否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方案：

方案Ⅰ：
沿图中虚线折叠并展开，
测量发现∠1＝∠2．

方案Ⅱ：
先沿AB折叠，展开后再沿CD折叠，
测得AO＝BO，CO＝DO
对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（　　）
A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ，Ⅱ都可行
6．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为，则DF的长度为（　　）

A． B．1 C． D．2
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）
7．在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是 　 　．

8．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是　 　点．

9．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3＝　 　．

10．如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 　 　．

11．已知：如图，P是∠AOB内的一点，P1，P2分别是点P关于OA、OB的对称点，P1P2交于点OA于点M，交OB于点N，若P1P2＝5cm，则△PMN的周长是 　 　cm．

12．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝3，则PD的长的最小值为 　 　．

13．如图，在四边形ABEF中，AB＝4，EF＝6，点C是BE上一点，连接AC、CF，若AC＝CF，∠B＝∠E＝∠ACF，则BE的长为 　 　．
​

14．已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC＝70°，则∠BOC＝　 　．

15．如图是3×3的正方形网格，要在图中再涂黑一个小正方形，使得图中黑色的部分成为轴对称图形，这样的小正方形有 　 　个．

16．在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝20°，则∠BAC＝　 　°．
三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知：如图，△ABC与△ADE的顶点A重合，BC＝DE，∠C＝∠E，∠B＝∠D．
求证：∠1＝∠2．

18．如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．

19．如图，在相同小正方形组成的网格纸上，有三个黑色方块，请你用三种不同的方法分别在图①、图②、图③上再选一个小正方形方块涂黑，使得四个黑色方块组成轴对称图形．

20．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠B＝60°，AB＝9，EH＝2．
（1）求∠F的度数；
（2）求DH的长．

21．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．

22．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2．
请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，
组成一个真命题，并给予证明．
题设：　 　；结论：　 　．（均填写序号）
证明：

23．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．

24．在如图的网格中，
（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于l1对称；
（2）画△A2B2C2，使它与△A1B1C1关于l2对称；
（3）画出△A2B2C2与△ACB的对称轴．

25．如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点．
（1）若△CDE的周长为4，求AB的长；
（2）若∠ACB＝100°，求∠DCE的度数；
（3）若∠ACB＝a（90°＜a＜180°），则∠DCE＝　 　．

26．已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，2m﹣2，n+1．
（1）求m，n的值；
（2）若分别以3，m，n为边长的三角形存在，试确定m，n的值，并说明理由；
（3）当边长n+1小于边长2m﹣2时，在以a，m，n为边长的三角形中，边长为a的边上的中线长度为b，请直接写出b的长度取值范围．


参考答案
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．中华姓氏源于上古，每个姓氏都有自己的图腾．下列姓氏图腾是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
解：A．该图是轴对称图形，故A正确，符合题意；
B．该图不是轴对称图形，故B错误，不符合题意；
C．该图不是轴对称图形，故C错误，不符合题意；
D．该图不是轴对称图形，故D错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　）

A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
【分析】根据点O为AA'、BB'的中点得出OA＝OA'，OB＝OB'，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，从而证得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，问题得证．
解：∵点O为AA'、BB'的中点，
∴OA＝OA'，OB＝OB'，
由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，
在△AOB和△A'OB'中，
，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS），
∴AB＝A'B'，
即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
3．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　　）

A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：B．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
4．如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠AEB＝∠ADC，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）

A．AD＝AE B．∠B＝∠C C．BE＝CD D．AB＝AC
【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
解：由图形可知∠BAE＝∠DAC，
A、根据ASA（∠AEB＝∠ADC，∠BAE＝∠DAC，AD＝AE）能推出△ABE≌△ACD（ASA），故本选项不符合题意；
B、没有边的条件，不能推出△ABE≌△ACD，故本选项符合题意；
C、根据AAS（∠AEB＝∠ADC，∠BAE＝∠DAC，BE＝CD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项不符合题意；
D、根据AAS（∠AEB＝∠ADC，∠BAE＝∠DAC，AB＝AC）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．如图，要判断一张纸带的两边a，b是否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方案：

方案Ⅰ：
沿图中虚线折叠并展开，
测量发现∠1＝∠2．

方案Ⅱ：
先沿AB折叠，展开后再沿CD折叠，
测得AO＝BO，CO＝DO
对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（　　）
A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ，Ⅱ都可行
【分析】根据“内错角相等，两直线平行”可对方案Ⅰ进行判断；对于方案Ⅱ，先证△OAC和△OBD全等，从而得∠OAC＝∠OBD，进而根据平行线的判定可对方案Ⅱ进行判断．
解：对于方案Ⅰ，
∵∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴方案Ⅰ可行；
对于方案Ⅱ，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，
∴AC∥BD，
即：a∥b，
∴方案Ⅱ可行，
综上所述：方案Ⅰ，Ⅱ都可行．
故选：D．
【点评】此题主要考查了图形的折叠变换，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握平行线的判定，难点是正确理解图形的折叠变换．
6．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为，则DF的长度为（　　）

A． B．1 C． D．2
【分析】根据折叠的性质，先求出△ABD的面积，再根据三角形的面积公式求出即可．
解：∵DG＝GE，
∴，
∴S△ADE＝5，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，

∴S△ABD＝S△ADE＝5，∠BFD＝90°，
∴，
∴，
∴DF＝1，
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）
7．在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是 　21：05　．

【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
解：由图分析可得题中所给的“20：15”与“21：05”成轴对称，这时的时间应是21：05．
故答案为：21：05．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
8．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是　Q　点．

【分析】利用到角的两边的距离相等的点在角的平分线上进行判断．
解：点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是Q点．
故答案为Q．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
9．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3＝　90°　．

【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，利用这一关系可解此题．
解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，
∴∠1＝∠DBE，
又∵∠DBE+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°．
故答案为：90°．

【点评】本题考查了全等图形，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
10．如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 　3　．

【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝8，计算即可．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝8，
∴EF＝8，
∵EC＝5，
∴CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
11．已知：如图，P是∠AOB内的一点，P1，P2分别是点P关于OA、OB的对称点，P1P2交于点OA于点M，交OB于点N，若P1P2＝5cm，则△PMN的周长是 　5　cm．

【分析】根据轴对称的性质进行等量代换，便可知P1P2与△PMN的周长是相等的，即可求解．
解：∵P1，P2分别是点P关于OA、OB的对称点，
∴PM＝MP1，PN＝NP2；
∴P1M+MN+NP2＝PM+MN+PN＝P1P2＝5cm，
∴△PMN的周长为5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题．
12．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝3，则PD的长的最小值为 　3　．

【分析】根据垂线段最短可知，当PD⊥OB时最短，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PD＝PC，进而求解．
解：过点P作PD′⊥OB，垂足为点D′．
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD′⊥OB，
∴PD′＝PC，
∵PC＝3，
∴PD′＝PC＝3，
即当点D运动到点D′的位置时，PD长度最短，最小值为3．
故答案为：3．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，确定出PD最小时的位置是解题的关键．
13．如图，在四边形ABEF中，AB＝4，EF＝6，点C是BE上一点，连接AC、CF，若AC＝CF，∠B＝∠E＝∠ACF，则BE的长为 　10　．
​

【分析】先证明∠BAC＝∠FCE，再证明△ABC≌∠CEF，即可作答．
解：∵∠B+∠BAC＝∠ACE＝∠FCE+∠ACF，∠B＝∠ACF，
∴∠BAC＝∠FCE，
在△ABC和∠CEF中，
，
∴△ABC≌∠CEF（AAS），
∴AB＝CE，BC＝EF，
∵AB＝4，EF＝6，
∴CE＝4，BC＝6，
∴BE＝BC+CE＝6+4＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键．
14．已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC＝70°，则∠BOC＝　140°　．

【分析】由点O为三边垂直平分线交点，得到点O为△ABC的外心，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到结果．
解：∵已知点O为三边垂直平分线交点，
∴点O为△ABC的外心，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∵∠BAC＝70°，
∴∠BOC＝140°，
故答案为：140°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外心的性质，解答本题关键熟练掌握圆周中同一弧线所对应的圆周角是圆心角的一半．
15．如图是3×3的正方形网格，要在图中再涂黑一个小正方形，使得图中黑色的部分成为轴对称图形，这样的小正方形有 　5　个．

【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
解：如图所示：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将1，2，3，4，5处涂黑，都是符合题意的图形．
故答案为：5．

【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
16．在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝20°，则∠BAC＝　80°或100　°．
【分析】当∠BAC为锐角时，如图1，设∠BAG＝α，∠CAE＝β，根据线段垂直平分线性质可得：∠ABC＝∠EAB＝20°+α，∠C＝∠CAG＝β+20°，再运用三角形内角和定理即可求得答案．当∠BAC为钝角时，如图2，根据线段垂直平分线性质可得：∠B＝∠EAB，∠C＝∠CAG，∠BAC＝∠B+20°+∠C，再结合三角形内角和定理即可求得答案．
解：当∠BAC为锐角时，如图1，设∠BAG＝α，∠CAE＝β，
∵∠EAG＝20°，
∴∠EAB＝∠EAG+∠BAG＝20°+α，∠CAG＝∠CAE+∠EAG＝β+20°，∠BAC＝α+β+20°，

∵DE、FG分别垂直平分AB、AC，
∴∠ABC＝∠EAB，∠C＝∠CAG，
∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，
∴α+β+20°+20°+α+β+20°＝180°，
∴α+β＝60°，
∴∠BAC＝α+β+20°＝60°+20°＝80°；
当∠BAC为钝角时，如图2，

∵DE、FG分别垂直平分AB、AC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠CAG，
∴∠BAC＝∠EAB+∠EAG+∠CAG＝∠B+20°+∠C，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+20°+∠C+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣80°＝100°；
综上所述，∠BAC＝80°或100°．
故答案为：80°或100°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知：如图，△ABC与△ADE的顶点A重合，BC＝DE，∠C＝∠E，∠B＝∠D．
求证：∠1＝∠2．

【分析】利用ASA证明△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质及角的和差求解即可．
【解答】证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴∠CAB＝∠EAD，
∴∠CAB﹣∠EAB＝∠EAD﹣∠EAB，
即∠1＝∠2．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
18．如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．

【分析】连接PB，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
解：PA＝PC．
理由：∵直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，
∴PA＝PB，PC＝PB，
∴PA＝PC．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解答此题的关键．
19．如图，在相同小正方形组成的网格纸上，有三个黑色方块，请你用三种不同的方法分别在图①、图②、图③上再选一个小正方形方块涂黑，使得四个黑色方块组成轴对称图形．

【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确把握定义是解题关键．
20．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠B＝60°，AB＝9，EH＝2．
（1）求∠F的度数；
（2）求DH的长．

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠C的度数，根据全等三角形的性质解答即可求出∠F的度数；
（2）根据全等三角形的性质求出DE的长，计算即可．
【解答】解（1）在△ABC中，
∵∠A＝80°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝40°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠ACB＝40°；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴DE＝AB＝9，
∵DH＝DE﹣EH，EH＝2，
∴DH＝7．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
21．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．

【分析】（1）由AB＝CB，∠ABC＝90°，AE＝CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB＝CB，∠ABC＝90°，即可求得∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF＝∠BCF+∠ACB即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝45°，
又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°，
由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+15°＝60°．
【点评】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
22．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2．
请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，
组成一个真命题，并给予证明．
题设：　可以为①②③　；结论：　④　．（均填写序号）
证明：

【分析】此题可以分成三种情况：情况一：题设：①②③；结论：④，可以利用SAS定理证明△ABC≌△DEF；情况二：题设：①③④；结论：②，可以利用AAS证明△ABC≌△DEF；情况三：题设：②③④；结论：①，可以利用ASA证明△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的性质可推出结论．
【解答】情况一：题设：①②③；结论：④．
证明：∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠1＝∠2；

情况二：题设：①③④；结论：②．
证明：在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC＝EF，
∴BC﹣FC＝EF﹣FC，
即BF＝EC；

情况三：题设：②③④；结论：①．
证明：∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，此题为开放性题目，需要同学们有较强的综合能力，熟练应用全等三角形的全等判定才能正确解答．
23．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．

【分析】（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE＝DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD＝CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE＝CF；
（2）首先证得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后设BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝3+x，解方程即可求得答案．
【解答】（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；

（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．

【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．
24．在如图的网格中，
（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于l1对称；
（2）画△A2B2C2，使它与△A1B1C1关于l2对称；
（3）画出△A2B2C2与△ACB的对称轴．

【分析】（1）分别画出A、B、C关于l1对称点A1、B1、C1即可．
（2）分别画出A1、B1、C1即可关于l2的对称点A2、B2、C2即可．
（3）画出线段AA2的垂直平分线即可．
解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2，如图所示；
（3）画出△A2B2C2与△ACB的对称轴l3如图所示；

【点评】本题考查轴作图﹣对称变换、解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，属于基础题，中考常考题型．
25．如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点．
（1）若△CDE的周长为4，求AB的长；
（2）若∠ACB＝100°，求∠DCE的度数；
（3）若∠ACB＝a（90°＜a＜180°），则∠DCE＝　2α﹣180°　．

【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到DC＝DA，EC＝EB，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据三角形内角和定理求出∠A+∠B的度数，根据等腰三角形的性质求出∠DCA+∠ECB，根据题意计算即可；
（3）根据（2）的方法解答．
解：（1）∵D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点，
∴DC＝DA，EC＝EB，
∵△CDE的周长＝DC+DE+EC＝4，
∴DA+DE+EB＝4，即AB的长为4；
（2）∵∠ACB＝100°，
∴∠A+∠B＝80°，
∵DC＝DA，∴∠DCA＝∠A，
∵EC＝EB，∴∠ECB＝∠B，
∴∠DCA+∠ECB＝80°，
∴∠DCE＝100°﹣80°＝20°；
（3）∵∠ACB＝α，
∴∠A+∠B＝180°﹣α，
∵DC＝DA，∴∠DCA＝∠A，
∵EC＝EB，∴∠ECB＝∠B，
∴∠DCA+∠ECB＝180°﹣α，
∴∠DCE＝α﹣180°+α＝2α﹣180°，
故答案为：2α﹣180°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
26．已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，2m﹣2，n+1．
（1）求m，n的值；
（2）若分别以3，m，n为边长的三角形存在，试确定m，n的值，并说明理由；
（3）当边长n+1小于边长2m﹣2时，在以a，m，n为边长的三角形中，边长为a的边上的中线长度为b，请直接写出b的长度取值范围．
【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等可得，或，解方程组即可；
（2）根据三角形三边关系定理判断即可；
（3）根据边长n+1小于边长2m﹣2，可得m＝6，n＝7，画出以a，6，7为边长的△ABC，将中线与两条已知边转化到同一个三角形中，利用三角形三边关系定理求解．
解：（1）由题意可得，或，
解得，或，
故m＝5，n＝9或m＝6，n＝7；
（2）当m＝6，n＝7时，以3，m，n为边长的三角形存在．理由如下：
如果m＝5，n＝9，
∵3+5＝8＜9，
∴以3，5，9为边长的三角形不存在，舍去；
如果m＝6，n＝7，
∵3+6＝9＞7，
∴以3，6，7为边长的三角形存在，符合题意；
∴m＝6，n＝7；
（3）∵n+1＜2m﹣2，
∴m＝5，n＝9舍去，m＝6，n＝7符合题意，
此时三边为a，6，7；
如图，已知△ABC中，BC＝a，AC＝6，AB＝7，AD为BC边的中线，
延长AD至M，使DM＝AD，连接CM．
∵AD为中线，
∴DB＝CD，
在△ABD和△MCD中，
，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴CM＝AB＝7．
在△ACM中，CM﹣AC＜AM＜CM+AC，
即7﹣6＜2AD＜7+6，
∴0.5＜AD＜6.5，
即0.5＜b＜6.5．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路．