2024菏泽单县单县二中高二上学期10月月考数学试题含解析

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单县二中2023－2024学年度第一学期高二慧光部国庆考试数学试题满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、班级和科类填写在答题卡和答题纸规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 直线的倾斜角为（      ）A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°【答案】C【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为，进而根据斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：，所以直线的斜率为，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为.故选：C2. 直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这条直线方程为A.  B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】分直线是否过原点分类讨论，如果不过原点，则可以假设直线方程的截距式为，代入所过的点后可求直线方程.【详解】当直线过原点时，在两坐标轴上的截距都为0，截距相等，则所求直线方程为当直线不过原点时，设直线方程的截距式为又直线过点，所以则方程为故选C【点睛】本题考查直线方程，直线的截距的概念，注意直线的截距式方程中要求截距不为零，此为易错点.3. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是A. （-2，1） B. （2，1） C. （1，-2） D. （1，2）【答案】A【解析】详解】解：对直线方程mx-y+2m+1=0进行变形可得：，∴ 当时，取任意值等式恒成立，即有直线mx-y+2m+1=0经过点，故选A．4. 已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝（    ）A. 2 B. －2 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用直线垂直公式计算得到答案.【详解】因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即-＝1，解得a＝－2.故选：【点睛】本题考查了根据直线垂直计算参数，属于简单题.5. 已知，两点的坐标分别为，，若两平行直线，分别过点A，B，则，间的距离的最大值为（    ）A 1 B.  C. 2 D. 【答案】D【解析】【分析】根据平行线之间的距离转化为一直线上的点到平行线之间的距离，可结合图形分析，间的距离的最大值为，即可求得.【详解】解：由题可知，，如图，两平行直线，分别过点A，B，因为，所以，间的距离即点到直线的距离，由图可知，当，垂直时，，间的距离取最大值，即最大值为，又由两点间的距离公式可知，.故选：D．6. 若圆心坐标为的圆被直线截得的弦长为，则该圆的一般方程为(   )A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为，圆心坐标为，到直线的距离，该圆被直线截得的弦长为，则有，则圆的方程为，变形可得，故选：A.7. 设A为圆上的动点，是圆的切线且，则P点的轨迹方程是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】圆可化为，由题意可得圆心，半径是1，又因为是圆的切线且，可得，从而得出P点的轨迹方程．【详解】圆可化为，由题意可得圆心到P点的距离为，所以点P在以为圆心，为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是．故选：B．【点睛】本题考查圆的切线性质，圆的标准方程及圆的定义，属于基础题．8. 圆上到直线的距离为的点共有A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】C【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.【详解】圆可变为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离，圆上到直线的距离为的点共有个.故选：C.【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（    ）A. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C. 若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为D. 若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为【答案】AD【解析】【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论；【详解】平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A正确；若直线的倾斜角为，而不存在，所以斜率不存在，故B错；若一条直线斜率为，因为，即斜率为，则该直线的倾斜角为，故C错；若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，故D正确；故选：AD.【点睛】本题主要考查斜率与倾斜角的相关概念，属于基础题型.10. 对于直线.以下说法正确的有（    ）A. 的充要条件是B. 当时，C. 直线一定经过点D. 点到直线的距离的最大值为5【答案】BD【解析】【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.【详解】当时， 解得 或，当时，两直线为 ，符合题意；当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；当时，两直线为， ，所以，故B正确；直线即直线，故直线过定点，C错误；因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ，故D正确，故选：BD.11. 已知点是圆上的任意一点，直线，则下列结论正确的是（    ）A. 直线与圆的位置关系只有相交和相切两种B. 圆的圆心到直线距离的最大值为C. 点到直线距离的最小值为D. 点可能在圆上【答案】ACD【解析】【分析】求出直线所过定点的坐标，判断点与圆的位置关系，可判断A选项；利用当直线与圆相切时，圆的圆心到直线距离最大可判断B选项；求出圆心到直线的距离，利用圆的几何性质可判断C选项；判断两圆的位置关系可判断D选项.【详解】对于A选项，因为直线的方程可化为．令解得，所以直线过定点，直线是过点的所有直线中除去直线外的所有直线，圆心到直线的距离为，即直线与圆相交，又点在圆上，所以直线与至少有一个公共点，所以直线与圆的位置关系只有相交和相切两种，A正确；对于B选项，当直线为圆的切线时，点到直线的距离最大，且最大值为，B错误；对于C选项，因为圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线距离的最小值为，C正确；对于D选项，圆的圆心为原点，半径为，因为，所以，圆与圆内切，故点可能在圆上，D正确.故选：ACD.12. 已知圆：，下列说法正确的是（    ）A. 的取值范围是B. 若，过的直线与圆相交所得弦长为，方程为C. 若，圆与圆相交D. 若，，，直线恒过圆的圆心，则恒成立【答案】ACD【解析】【分析】根据圆的一般方程可判断A；利用点到直线的距离为可判断B；时很容易判断C；直线恒过圆的圆心，可得，利用基本不等式可判断D.【详解】对于A，方程表示圆可得，解得，故A正确；对于B，若，可得圆方程：，过的直线与圆相交所得弦长为，则圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，，满足条件，故B不正确；对于C，，，圆心，半径为，故C正确；对于D，直线恒过圆的圆心，可得，，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题  共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡相应题的横线上）13. 两条平行直线与间距离为______【答案】【解析】【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式，可求得直线与之间的距离.【详解】两条平行直线与之间的距离为.故答案为：.14. 圆心为直线与直线的交点，且过原点的圆的标准方程是________．【答案】．【解析】【分析】由，求得圆心，再根据圆过原点，求得半径即可.【详解】由，可得，即圆心为，又圆过原点，所以圆的半径，故圆的标准方程为．故答案为：【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，属于基础题.15. 已知圆，圆，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数__________.【答案】或0【解析】【分析】根据题意，分两圆内切与外切，即可得到结果.【详解】∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，当两圆内切时，可得，当两圆外切时，可得，∴或0.故答案为：或016. 已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为_____________．【答案】【解析】【分析】根据两圆外切可得(a＋b)2＝(2＋1)2并结合基本不等式计算即可.【详解】由两圆外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，即(a＋b)2＝(2＋1)2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤，当且仅当a＝b时取等号，即ab的最大值是．故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且分别与直线2x－y－1＝0：(1)平行的直线方程；(2)垂直的直线方程．【答案】(1)2x－y＋1＝0.(2)x＋2y－7＝0.【解析】【分析】由题意，联立方程组，解得与的交点为．(1)设所求直线方程为，把点，代入直线方程，解得，即可求解；(2)设所求直线方程为，把点，代入直线方程，解得，即可求解；【详解】由题意，联立方程组，解得，即与的交点为．(1)设与直线平行的直线方程为，把点，代入直线方程，得，解得，∴所求直线方程为2x－y＋1＝0.(2)设与直线垂直直线方程为，把点，代入直线方程，得，解得，即所求直线方程为x＋2y－7＝0.【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，以及直线方程的求解，其中解答中牢记两条直线的位置关系，合理设出所求的直线方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.18. 已知圆的圆心在直线上，且与直线：相切于点.（1）求圆的方程；（2）求过点与圆相切的直线方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）先得到过点且与直线：垂直的直线方程，与联立求得圆心即可；（2）若过点的直线斜率不存在，即直线是判断，若过点的直线斜率存在，设直线方程为，再根据直线与圆相切求解.【详解】（1）过点与直线：垂直的直线的斜率为，所以直线的方程为，即.由，解得.所以.故圆的方程为：.（2）①若过点的直线斜率不存在，即直线是，与圆相切，符合题意；②若过点的直线斜率存在，设直线方程为，即，若直线与圆相切，则有，解得.此时直线的方程为，即.综上，切线的方程为或.19. 已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线．（1）判断点P是否在圆上，并证明你的结论；（2）若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程．【答案】（1）点P不在圆上，证明见解析    （2）x＝0或3x＋4y－8＝0．【解析】【分析】(1)将点的坐标导入圆的方程与1比较大小即可.(2)已知弦长，求直线方程，求出圆心到直线的距离，用垂径定理，解直角三角形即可，特别要注意斜率不为0的情况.【小问1详解】点P不在圆上．证明如下：∵，∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上；【小问2详解】由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0，综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．20. 已知圆：和：（1）求证：圆和圆相交；（2）求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．【答案】（1）证明见解析    （2），【解析】【分析】（1）由圆心距与两圆半径的和、差比较可得；（2）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，由勾股定理求弦长．【小问1详解】标准方程是，，，标准方程是，，，，显然，所以两圆相交．【小问2详解】两圆方程相减得，即为公共弦所在直线方程，到直线的距离为，所以公共弦长．21. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在直线l：x－y－1＝0上．（1）求圆C的方程； （2）设P是圆D：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0上任意一点，过点P作圆C的两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标．【答案】(1) x2＋y2－4x－2y＝0 (2) S最小10，P(－3，1)【解析】【详解】试题分析：（1）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，根据条件得，即可得解；（2）依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC ＝，当PC最小时，S最小，求PC最小即可.试题解析：（1）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为(－，－)．因为圆C经过点A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在直线l：x－y－1＝0上，所以                   解得所求圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0．             （2）由（1）知，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC ＝×．所以当PC最小时，S最小．                    因为圆M：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0，所以M(－4，1)，半径为1．因为C(2，1)，所以两个圆的圆心距MC＝6．因为点P∈M，且圆M的半径为1，所以PCmin＝6－1＝5．     所以Smin＝×＝10．                    此时直线MC：y＝1，从而P(－3，1)．22. 已知直线方程为.（1）证明：直线恒过定点；（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少?（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）时，距离最大，最大值为；（3）面积的最小值为，此时直线方程为.【解析】【分析】（1）整理直线方程可得方程组，解方程组可求得定点坐标；（2）易知当定点与连线垂直时，点到直线距离最大；求出方程后，利用直线垂直关系可构造方程求得；利用两点间距离公式可求得最大值；（3）利用直线方程可坐标，并确定的取值范围，利用表示出，可得一个分式型的函数，通过换元法可表示出，由二次函数最值的求解方法可求得所求面积最小值，并求得的值，由此可得直线方程.【详解】（1）由直线方程整理可得：，由得：，直线恒过定点；（2）由（1）知：直线恒过定点，则当与直线垂直时，点到直线距离最大，又所在直线方程为：，即，当与直线垂直时，，解得：；则最大值；（3）由题意知：直线斜率存在且不为零，令得：，即；令得：，即；又位于轴的负半轴，，解得：；，令，则，，，，，则当，即时，，，此时直线的方程为：.