江西省宜春中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题

2026届高一上学期第一次月考数学试卷

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A. B. C. D.

2.下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（    ）

A.矩形的两条对角线垂直 B.对任意a，，都有

C.，  D.至少有一个，使得成立

3.条件，条件，若p是q的充分条件，则n的最小值为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

4.若关于x的不等式解集为，则实数a的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

5.若，，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

6.若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

7.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

8.已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ）

A.2 B. C. D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特引入“”和“”符号，对不等式的发展影响深远.下列说法正确的是（    ）

A.若，，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

10.二次函数的图像与x轴有两个交点且横坐标分别为，，，则下列结论中正确的是（    ）

A.m的取值范围是

B.若，则，

C.当时，

D.二次函数的图象与x轴交点的坐标为和

11.集合，，下列说法正确的是（    ）

A.对任意a，是的子集 B.对任意a，不是的子集

C.存在a，使得不是的子集 D.存在a，使得是的子集

12.已知，，，则下列判断正确的是（    ）

A.的最小值为 B.的最大值为

C.的最小值为6  D.的最大值为8

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13.设全集，集合，则______.

14.已知集合，若，则______.

15.设集合，，若集合，且C的子集有4个，则实数a的取值集合为______.

16.已知关于x的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题10分）

（1）若不等式的解集为，求的值.

（2）不等式的解集为A，求集合A.

18.（本题12分）

已知a、b为正数.

（1）已知，求证：；

（2）若，证明：.

19.（本题12分）

已知命题p：，，命题q：已知，，.

（1）若p为真命题，求a的取值范围；

（2）若“p为真命题”是“q为真命题”的必要不充分条件，求m的取值范围.

20.（本题12分）

设函数.

（1）若当时，，当时，.求的所有取值构成的集合；

（2）若，，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

21.（本题12分）

设函数.

（1）解关于x的不等式；

（2）当，时，记不等式的解集为P，集合.若对于任意正数t，，求的最大值.

22.（本题12分）

已知二次函数，

（1）设函数在范围内的最大值为M，最小值为N，且，求实数m的取值范围；

（2）已知关于x的方程在范围内有解，求实数m的取值范围.

2026届高一上学期第一次月考数学答案

1.B   2.B   3.C   4.B   5.A   6.B   7.A   8.B   9.AB   10.ABD   11.AD   12.ACD

13.    14.1或2；    15.     16.3

17.（1）；（2）.

【详解】（1）由题意得：，3就是方程的两根，

∴，则， ∴；

（2）将不等式转化为，∴或，

∴.

18.【详解】（1）因为，，，

所以，当且仅当，即时等号成立.

故原题得证.

（2）因为，变形得

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

19.（1）或

（2）.

【详解】（1）当，显然不存在使方程成立；

当时，一元二次方程的判别式，

所以，解得或.

（2）若命题为真，则，

因为，所以，即，当且仅当时，等号成立.

设命题p为真时a的取值集合为A，命题q为真时a的取值集合为B，

因为命题p为真是命题q为真的必要不充分条件，所以B是A的真子集，

所以，故.

20.（1）；（2）.

【详解】解：（1）由题意得当时，；则

当时，，则

设，

则有，解得，

所以.

∵， 

∴.

即所有取值构成的集合为.

（2）当，时，.

即在时恒成立，

即在时恒成立.

令，

故该二次函数开口向上，对称轴为直线.

则有或，

解得或.

故的取值范围为.（参变分离做也可，注意要写取等的条件，没写扣1分）

21.（1）答案见解析；（2）.

【详解】（1）由题设，整理得1），

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为；

（2）由，恒有，故，

且，，故开口向上且，故对应一元二次方程恒有两个不等实根，且在y轴两侧，

因为，即在上有解，且，

又区间关于对称，且区间长度，

综上，只需保证，则，且，即，

所以，

当且仅当，即，时等号成立，

故的最大值为.

22.（1）   （2）.

【详解】（1）∵，∴函数的对称轴为，

①当时，即时，当时，y随x增大而增大，

∴，，∴，解得；

②当时，即时，当时，y随x增大而减小，

∴，，∴，解得，

③当时，即时，

，，∴

解得，此时，

④当时，即时，

∴，， ∴，

解得，此时，

综上，m的取值范围为.

（2）原方程即为.设，

当时，.

①若方程在上有一解，只需时，函数的取值为负即可.

∴.解得：.

②若方程在上有两解，则，

即，∴.

综上，m的取值范围为.