2023辽宁省名校联盟高二10月份联合考试数学试题含答案

这是一份2023辽宁省名校联盟高二10月份联合考试数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了在中，，，则，下面四个结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

绝密★启用前
辽宁省名校联盟2023年高二10月份联合考试
数学
命题人：辽宁名校联盟试题研发中心 审题人：辽宁名校联盟试题研发中心
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知i是虚数单位，，复数为纯虚数，则的模等于（ ）
A． B． C．2 D．1
3．已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．下列函数中，值域是且为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素，安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD所成角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

A． B． C． D．
7．已知函数对任意都有，且，当时，，则下列四个结论中正确的个数为（ ）
①函数的图像关于点对称；
②函数的图像关于直线对称；
③当时，；
④函数的最小正周期为2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共４小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下面四个结论正确的是（ ）
A．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
B．已知向量，，则在方向上的投影为
C．若点P，M，A，B四点共面，则存在实数x，y，使
D．已知向量，，，若，，共面，则x的值为1
10．将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的图像关于点对称
C．
D．方程在内的所有实根之和为
11．已知圆，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若圆C关于直线对称，则
B．存在一条定直线与圆C相切
C．当时，不过点C的直线与圆C交于P，Q两点，则△CPQ的面积的取值范围是
D．当时，直线，M为直线l上的动点，过点M作圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则的最小值为4
12．如图，已知在直三棱柱中，F为的中点，E为棱上的动点，，，，，则下列结论正确的是（ ）

A．点到平面AEF的距离的最大值为
B．该直三棱柱的外接球的表面积为
C．当三棱锥的外接球的半径最小时，直线EF与所成角的余弦值为
D．若E是棱的中点，过A，E，F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知定义域为R的函数满足：①；②．则满足条件的的一个解析式为______．
14．已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图的面积为，则该圆锥的内切球的体积为________．
15．在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足，则线段的长度的最大值为______．
16．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化、相对统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”．已知函数是奇函数，且当时，，则时，______；若是圆的太极函数，则实数k的取值范围是______．（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知点，，点A关于直线的对称点为B．
（1）求的外接圆的方程；
（2）过点作的外接圆的切线，求切线方程．
18．（12分）
已知函数的部分图像如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若函数，当时，求的值域．

19．（12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，E，F分别是PC，AD的中点．
（1）求证：平面PFB；
（2）若PB与平面PCD所成角为30°，，求二面角的正弦值．

20．（12分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
（1）求角A的大小；
（2）若，的平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值．
21．（12分）
如图①，在平面四边形ABDC中，，，，，将△BCD沿BC折起，形成如图②所示的三棱锥，且．
（1）证明：平面ABC；
（2）在三棱锥中，E，F，G分别为线段AB，BC，AC的中点，设平面DEF与平面DAC的交线为l，Q为l上的点，求直线DE与平面QFG所成角的正弦值的取值范围．

① ②
22．（12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点，．
（1）若平行于AB的直线l与圆M相交于C，N两点，且，求直线l的方程；
（2）设直线与圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF的两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标．
参考答案及解析
一、选择题
1．D 【解析】，，，则．故选D项．
2．A 【解析】，因为为纯虚数，所以，则的模等于．故选A项．
3．C 【解析】当时，直线与直线，所以，充分性成立；当时，解得，必要性成立．故“”是“”的充要条件．故选C项．
4．D 【解析】因为，，所以M是位于BC上的靠近点B的四等分点，N为AC的中点，．故选D项．
5．B 【解析】由题意得函数不是偶函数，其余3个选项的函数均为偶函数，A项的函数值域为；B项的函数值域为；D项的函数值域为．故选B项．
6．C 【解析】如图，过E作平面ABCD，垂足为O，过E分别作，，
垂足分别为G，M，连接OG，OM．因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为，EO，平面EOG，，所以平面EOG，
因为平面EOG，所以，同理，，所以等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD所成角分别为和，所以．
又，所以四边形OMBG是矩形，所以由得，所以，
所以，所以在中，，
在中，，，
又因为，故该五面体的所有棱长之和为．故选C项．

7．A 【解析】因为，所以，
故，所以的周期为4．
又，所以，故的图像关于直线对称，
又当时，，且，所以，
所以当时，故作出的部分图像如下图所示：

函数的图像关于点不中心对称，故①错误；
函数的图像不关于直线对称，故②错误；
当时，，则，故③错误；
由图像可知的最小正周期为4，又，故的最小正周期为2，故④正确．故选A项．
8．C 【解析】，
所以，所以的图像关于直线对称．
又因为，
由复合函数单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减．
又，
所以，所以（也可以，）．
又因为，，
，，所以．故选C项．
二、选择题
9．AB 【解析】A项：是空间的一组基底，，与，均不共面，所以也是空间的一组基底，故A项正确；
B项：因为，，所以在方向上的投影为，故B项正确；
C项：若与共线，与，不共线，则不存在实数x，y，使，故C项错误；D项：若，，共面，则存在实数λ，μ，使，所以，，所以x的值为1或，故D项错误．故选AB项．
10．BCD 【解析】，，故C项正确；
当时，，单调递减，故A项错误；
当时，，，故B项正确；
，当时，，
由得，方程有两个实根，且，
所以，故D项正确．故选BCD项．
11．BCD 【解析】A项：由题意得圆心在直线上，所以，解得，
又，所以，故A项错误；
B项：圆，令，，联立解得，，所以圆C过定点，又因为圆心，所以直线与圆C相切，故B项正确；
C项：当时，圆，由直线得，令且，得，，所以直线过定点，设圆心C与直线的距离为d，则d的最大值为，，
因为，所以，所以，所以，故C项正确；
D项：当时，圆，
四边形MACB的面积，
又的最小值为，所以的最小值为2，故的最小值为4，故D项正确．故选BCD项．
12．ACD 【解析】A项：因为，所以三棱锥的体积为定值．设点到平面AEF的距离为d，若d最大，则的面积最小，即点E到边AF的距离最小，其最小值为异面直线AF与的距离，即为与平面的距离，即为B与平面的距离，记为h，由，得，所以，所以，故A项正确；
B项：外接球的球心O是上、下底面外接圆的圆心连线的中点，设上底面外接圆圆心为，外接圆半径为r，在中，由余弦定理可得，所以，，所以，设外接球的半径为R，则，所以外接球的表面积为，故B项错误；
C项：作，垂足为H，作，垂足为H1，易证棱在平面上的射影为，则点E在平面上的射影在线段上，在中可求得，，则，设AF的中点为，外接球的球心为O，半径为R，则平面，即，在中，①，又因为②，由①②可得，所以当取最小值时，最小，即R最小，此时，因为是AF的中点，则是的中点，则E是棱的中点．因为，所以直线EF与所成角即为直线EF与所成角．由B项中，再由余弦定理可得，因为，所以，，故C项正确；
D项：延长AF，交于点P，连接PE交于点M，则四边形AEMF是截面，且点F是AP的中点，点M是上靠近的三等分点，可求得，，，所以为直角，，易知，所以四边形AEMF的面积为，故D项正确．故选ACD项．
三、填空题
13． 【解析】由，可知符合该性质的函数可以为指数函数（且），又因为，解得，所以满足条件的的一个解析式为．
14． 【解析】设母线长为l，圆锥的高为h，由题意得，解得，所以，设内切球半径为R，则，解得，所以体积．
15．6 【解析】以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，，，，因为，得，令，，解出边界点为（0，2，0），令，，解出边界点为（4，0，0），当点P为（0，2，0）时，，当点P为（4，0，0）时，，显然B1P的最大值在边界处取得，所以B1P的最大值为6．
16． 【解析】当时，，
所以，所以．
圆O的圆心为（0，0），函数为奇函数，如图，若是圆O的太极函数，则必然有点在圆内，即，解得．

四、解答题
17．解：（1）设点，由题意解得即B（1，0），（2分）
所以，所以的外接圆是以线段AB为直径的圆，
因为，AB的中点为（0，1），（4分）
所以的外接圆方程是．（5分）
（2）当切线斜率不存在时，切线方程为；（6分）
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，（7分）
由题意得，解得，（8分）
所以切线方程为．（9分）
综上，切线方程为或．（10分）
18．解：（1）由图知．，（1分）
则，
又，所以，
又，所以，（2分）
由，可得，，
所以，，
又，所以，
所以当时，，（4分）
综上，．（5分）
（2）由题意得，（6分）
又，（7分）
所以令，
所以当时，，
则，（9分）
所以且，
对称轴为直线，所以，（10分）
所以，（11分）
所以的值域为．（12分）
19．（1）证明：设G为PB的中点，连接GE，FG，又E，F分别是PC，AD的中点，
所以，，，（1分）
又底面ABCD是正方形，所以，，（2分）
故四边形FDEG为平行四边形，则，（3分）
又平面PFB，平面PFB，所以平面PFB．（4分）
（2）解：因为底面ABCD，所以，
又，，所以BC⊥平面PCD，
所以是PB与平面PCD所成角，即，（5分）
因为且底面ABCD为正方形，
所以，，．（6分）
以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），，，，，，，（7分）
令为平面PFB的法向量，
则
令，得，（8分）
令为平面PBC的法向量，
则
令，得，（10分）
所以，（11分）
设二面角的大小为θ，
则，
所以二面角的正弦值为．（12分）
20．解：（1）因为，
所以：，
即，（2分）
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，（4分）
又，所以．（5分）
（2）由余弦定理得，即，
所以，
即（当且仅当时等号成立），（7分）
因为，
所以，
解得，（9分）
因为（当且仅当时等号成立），
所以当且仅当时等号成立），（11分）
所以AD长度的最大值为．（12分）（注：两次取等条件都不写扣2分）
21．（1）证明：在中，，在中，，由余弦定理得，所以，（2分）
在中，因为，，，
所以，所以，（3分）
在中，因为，，，
所以，所以，（4分）
又因为，所以平面ABC．（5分）
（2）解：因为，平面DAC，平面DAC，所以平面DAC，
又平面DEF与平面DAC的交线为l，所以，．（6分）
以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

所以A（0，0，0），D（0，0，2），E（1，0，0），，，设Q（0，t，2），，，（7分）
设平面QFG的法向量为，
因为
所以
令，得，（8分）
因为，设DE与平面QFG所成角为θ，
所以，（9分）
若，则；（10分）
若，则．（11分）
所以DE与平面QFG所成角的正弦值的取值范围为．（12分）
（注：若没有讨论，最后答案是开区间扣2分）
22．解：（1）圆M的标准方程为，
所以，半径为2，其中，（1分）
因为l平行于AB，所以设直线l的方程为，
则圆心M到直线l的距离，（2分）
因为，
解得或，（3分）
所以直线l的方程为或．（4分）
（2）如图所示：

由题意设，，，不妨设，，
则，，则，
设，则，
则直线PE的方程为，代入圆的方程消去y得，
，
由韦达定理得，
即，（5分）
设直线PF的方程为，代入圆的方程消去y得，，
由韦达定理得，
即．（6分）
解法一：，．
当直线GH的斜率存在时，，（8分）
所以直线GH的方程为，
整理得，（10分）
所以直线GH过定点；
当直线GH的斜率不存在时，即时，若，得，H（2，0），
则直线GH的方程为，直线GH过点，同理当时，直线GH过点．
综上，直线GH过定点．（12分）（注：没有讨论直线GH的斜率，扣1分）
解法二：，．
当直线GH的斜率存在时，，（8分）
所以直线GH的方程为，
由对称性可知，直线GH经过的定点一定在直线上，
令，得，（10分）
所以直线GH过定点；
当直线GH的斜率不存在时，即时，若，得，H（2，0），
直线GH的方程为，直线GH过点，
同理当时，直线GH过点．
综上，直线GH过定点．（12分）（注：没有讨论直线GH的斜率，扣1分）
解法三：，．
，（8分）
所以直线GH的方程为，（9分）
由题意得，，令，得，，
直线GH的方程为，①
令，得，，，直线GH的方程为，②
联立①②得 （10分）
将点代入方程，
得恒成立，（11分）
故直线GH过定点．（12分）
（注：若没有求点G，H的坐标，没有写直线GH的方程，只代特值写出两条直线，求出交点坐标，给2分；若最后一步没有把点代入直线方程检验恒成立，扣2分）
解法四：
所以，
，
消去m得，（8分）
由题意直线斜率存在，设直线GH的方程为，
代入圆的方程消去y得，
，
由韦达定理得，，（9分）
则，
即，
解得或．（10分）
当时，直线GH的方程为，过定点；
当时，直线GH的方程为，过定点，此时G，H在直线EF同侧，不符合题意．