2023辽宁省名校联盟高二上学期9月联合考试数学试卷含答案

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辽宁省名校联盟2022年高二9月份联合考试

数学

命题人：抚顺二中 胡世龙 审题人：抚顺二中 孙振刚

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如带改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若全集，则集合等于（    ）

A.    B.

C.    D.

2.若非零向量满足，且，则与的夹角为（    ）

A.    B.    C.    D.

3.样本的平均数为，样本的平均数为.若样本，的平均数，且，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.不能确定与的大小

4.函数的最小正周期为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.已知函数满足若，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.

C.    D.

6.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，是的中点，则（    ）

A.    B.平面

C.平面    D.

7.已知函数，若存在且，使得成立，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.半径为的球的直径垂直于平面，垂足为是平面内边长为的正三角形，线段分別与球面交于点，那么三棱锥的体积是（    ）

A.    B.    C.    D.

三､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知四面体，下列选项中，能推出的有（    ）

A.两两垂直

B.

C.

D.顶点到底面的三条边的距离相等

10.若是复数，则下列命题正确的是（    ）

A.若，则

B.

C.若，则且

D.若，则是实数

11.下列函数中，满足的有（    ）

A.    B.

C.    D.

12.下列命题正确的是（    ）

A.

B.已知是单位向量，且，则的最小值为

C.已知都是正实数，则“”是“”的充分不必要条件

D.设函数（为常数），则“”是“为奇函数”的充分不必要条件

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则__________.

14.不等式的解集为__________.

15.如图，设正方体的棱长为2，点为线段的中点，设点在线段上（包括端点），则三棱锥的体积的取值范围是__________.

16.在中，是的中点，若，则__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

近期中共中央办公厅､国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，决定在今年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加游泳､长跑､一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分，某校在初三上学期开始要掌握全年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如图所示的频率分布直方图，且规定计分规则如下表：

（1）根据频率分布直方图估计样本数据的25%分位数（保留2位小数）；

（2）已知在该样本中，得分为17分的同学中恰有两名男生，现从得分为17分的同学中任取2名同学，调查平时锻炼时间分配情况，求所抽取的2名同学中至少有1名男生的概率.

18.（12分）

已知函数的最小正周期为.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）将的图像向左平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图像，当时，求的值域.

19.（12分）

如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.

（1）证明：；

（2）若，求三棱柱的高.

20.（12分）

在中，.

（1）求的外接圆的面积；

（2）在下述条件中任选一个，求的长.

①是的角平分线；②是的中线.

21.（12分）

如图，已知四棱锥是以为斜边的等腰直角三角形，.

（1）在线段上是否存在一点，使得平面；

（2）求四棱锥的体积.

22.（12分）

已知函数满足：，若，且当时，.

（1）求a的值；

（2）当时，求的解析式；并判断在上的单调性（不需要证明）；

（3）设，，若，求实数m的值.

参考答案及解新

一､选择题

1.D  【解析】由.故选D项.

2.A  【解析】由知，，

因为，所以，

所以，

所以.故选A项.

3.A  【解析】由，

可知，且，所以.故选A项.

4.C  【解析】因为，

且，所以函数的最小正周期为.故选C项.

5.B  【解析】可以通过作出函数的图像，看出函数为奇函数，且在，上都为增函数，由，得到，即，由图像可得.故选B项.

6.D  【解析】因为与异面，所以项错误；因为的延长线必过点，所以项错误；因为与不垂直，所以项错误；取的中点，连接，在正方形中，可证出，连接，则，又平面底面，所以平面，因为平面，所以，且，所以平面，因为平面，所以.故选项.

7.C  【解析】由，得到，因为0，所以，于是，所以，即，所以，于是，所以，所以，因为函数在上为减函数，所以，由题意，存在，使得成立，所以.故选项.

8.A  【解析】连接，因为为直径，

所以，在Rt中，由射影定理得，

其中，所以，

易证，所以，取的中点的中点，连接，

则必过点，于是，又，

所以

，

于是.故选项.

二､多选题

9.AC  【解析】对于项，由，且，得平面，又因为平面，所以，故项正确；对于项，因为，所以在底面的射影为底面的外心，得不到，故项错误；对于项，过点作底面，垂足为，连接，则为斜线在底面的射影，因为，由三垂线定理逆定理得，，同理连接，由三垂线定理逆定理可证明，所以为底面的垂心，连接，由三垂线定理得，故C项正确；对于项，因为顶点到底面的三条边的距离相等，所以点在底面的射影为底面的内心，得不到，故D项错误.故选AC项.

10.BCD  【解析】对于项，取，可知，但与不能比较大小，故项错误；对于B项，，故B项正确；对于项，若或时，，所以原命题正确，故C项正确；对于D项，设，于是，于是，且，若，不符合，所以一定有，故是实数，故D项正确.故选BCD项.

11.ACD  【解析】，设，则，如果函数有对称中心的话，一定会满足题意.对于项，，关于对称，故A项正确；对于B项，，故B项不选；对于项，，故C项正确；对于项，，所以，故D项正确.故选项.

12.ABC 【解析】对于项，，故项正确；对于项，，当与共线时，等号成立，故项正确；对于项，，若，由，以上三个不等式相加，整理得到，而当时，也成立，故“”是“”的充分不必要条件，故C项正确；对于项，若为奇函数，则必有，即，解得，所以“”是“为奇函数”的充要条件，故D项错误.故选ABC项.

三､填空题

13.2  【解析】因为函数的周期为2，所以，又因为为奇函数，所以

，所以，故.

14.  【解析】由，得，整理得，，，解得，又因为，所以解集为.

15.  【解析】当点与点重合时，三棱锥的体积最小，此时点到平面的距离等于点到平面的距离，此距离为正方体体对角线长度的，即，此时三棱锥的体积为；当点与重合时，到平面的距离为正方体体对角线长度的，即，此时三棱锥的体积最大，为，故三棱锥的体积的取值范围是.

16.  【解析】设，则在Rt中，，所以，由，得到，解得，所以，所以，即，所以.

四､解答题

17.解：（1）.

（2）得分为17分的同学共有名，其中男生2名，女生4名，

记2名男生分别为名女生分别为，，该试验的基本事件空间为：，，共15个样本点，

记事件“所抽取的2名中至少有1名男生”，

则，，共9个样本点，

所以所抽取的2名中至少有1名男生的概率为

18.解：（1）

，

由，所以，

即，

令，

解得，

所以函数的单调递减区间为

（2）将的图像向左平移个单位长度得到，

再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到，因为，

所以，所以的值域为.

19.（1）证明：连接，因为侧面为菱形，所以，

又平面平面，所以，

因为平面，

所以平面，

又平面，所以.

（2）解：因为为的中点，且，

所以是等腰直角三角形，

又，

所以为等边三角形，

三棱柱的高即为三棱锥的高，

设为，在Rt中，，

在等腰Rt中，，

于是为等腰三角形，其面积为，

得，即，解得.

20.解：（1）由余弦定理得，

即，所以，

设外接圆半径为，由正弦定理得，，所以

所以外接圆的面积为.

（2）若选择①，

同时.，

所以，所以.

若选择②，，

两边平方得，

所以..

21.解：（1）存在，当为中点时，有平面.

证明如下：

取的中点，连接，

由，所以，

所以四边形为平行四边形，所以，

又平面平面，

所以平面.

（2）解法一：在中，因为，

所以，下面说明平面与平面不垂直，

假设平面与平面垂直，

平面平面平面，可以得到平面，

因为平面，

所以，这与矛盾.

于是点在底面的射影在四边形外，

设点在底面的射影为，连接，

由，知，

取的中点，连接，则，

因为，在直角梯形中，连接，

则，

所以为平行四边形，所以，

因为在平面内，过点有且只有一条直线与垂直，所以三点共线，

因为，所以，

在内，，所以，

则在中，，

在Rt中，，

在中，，解得.

于是.

解法二：取的中点，连接，

因为，所以，

所以四边形是平行四边形，

又，所以四边形是矩形，

以为原点，，垂直于平面向上的方向为正方向，分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

因为是以为斜边的等腰直角三角形，设，

由和知，

即

解得所以，

故四棱锥的高为，

于是.

22.解：（1）由题意，所以，

又，

所以，所以.

（2）设，则，

所以，

又，

代入解得，

判断：在上为增函数.

（3）由（2）知，在区间上单调递增，且由条件知，；再看函数，

由，即定义域为，

且时，

所以，

即，

所以在上单调递减，

又，所以由恒成立，得恒成立，

即在上恒成立，

设，则不等式在上恒成立，

①当时，不等式化为，不恒成立；

②当时，代入得，不成立；

③当时，只需

综上，实数的值为.