2023-2024学年广西南宁三中高一（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西南宁三中高一（上）第一次月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年广西南宁三中高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.已知集合，，若，则实数的值为(    )A.  B.  C. 或 D. 3.命题“，”的否定是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，4.已知全集，集合，，则图中用影部分表示的集合为(    )A.
B.
C.
D. 5.函数的定义域是(    )A.  B.
C. 且 D. 以上都不对6.一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 
(    )A.  B.  C.  D. 7.已知实数，满足，，则的取值范围是(    )A.  B.
C.  D. 8.关于的方程恰有一根属于，则实数的取值范围是(    )A.  B.
C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知集合，则下列式子表示正确的是(    )A.  B.  C.  D. 10.下列说法中正确的有(    )A. “”是“”成立的充分不必要条件
B. 命题：，均有，则的否定：，使得
C. 设，是两个数集，则“”是“”的充要条件
D. 设，是两个数集，若，则，11.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是(    )A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D. 12.下列说法不正确的是(    )A. 不等式的解集为
B. 若实数，，满足，则
C. 若，则函数的最小值为
D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设集合，，，则用列举法表示集合为______ ．14.已知集合，集合，则集合的子集个数为______．15.已知：或，：为实数若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是______．16.已知满足“如果，则”的自然数构成集合”
若是一个单元素集合，则 ______ ．
满足条件的共有______ 个四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
已知集合，．
求；
定义且，求．18.本小题分
已知关于的不等式，．
若，求不等式的解集；
若不等式的解集为，求的取值范围．19.本小题分
设：实数满足，：．
若，且，都为真命题，求的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．20.本小题分
已知，，．
求证：；
求的最小值．21.本小题分
某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量万件与月促销费用万元满足关系式为常数，如果不搞促销活动，则该产品的月销量是万已知生产该产品每月固定投入为万元，每生产一万件该产品需要再投入万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为万元注：利润销售收入生产投入促销费用
将表示为的函数；
月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？22.本小题分
已知函数，．
恒成立，求实数的取值范围；
当时，求不等式的解集；
若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．2.【答案】 【解析】【分析】本题考查实数值的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．集合，，，由此能求出实数的值．
【解答】解：集合，
，，
．
实数的值．
故选：．3.【答案】 【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为，使得，
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4.【答案】 【解析】解：全集，集合，，
，
图中用影部分表示的集合为．
故选：．
先求出，图中用影部分表示的集合为，由此能求出结果．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】 【解析】解：要使原函数有意义，则，解得且．
原函数的定义域为且．
故选：．
由根式内部的代数式大于等于，分式的分母不为联立不等式组求解．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．6.【答案】 【解析】【分析】
先由已知条件得到，解得，而能得到，得不到，所以是一元二次方程 有一个正根和一个负根的充分不必要条件．考查一元二次方程的实根和判别式的关系，以及韦达定理，充分条件，必要条件，充分不必要条件的定义．【解答】
解：若一元二次方程 有一个正根和一个负根，则：
，解得；
时，能得到而，得不到．
是的充分不必要条件，即是一元二次方程 有一个正根和一个负根的充分不必要条件；
故选C．7.【答案】 【解析】解：令，，
则，
所以
因为，
所以．
因为，所以，
所以．
故选：．
令，，可得，再根据，的范围求解即可．
本题考查了不等式的性质、整体思想，属于中档题．8.【答案】 【解析】解：构造二次函数，
因为方程恰有一根属于，
作出函数的大致图象如图所示，
由图象可知，或，
即或，
解得或，
所以实数的取值范围是．
故选：．
构造二次函数，作出函数的大致图象，由图象结合二次函数的性质，列出不等式组，求解即可．
本题考查了函数与方程的综合应用，一元二次方程根的分布问题，二次函数的图象与性质的运用，考查了逻辑推理能力与数形结合能力，属于中档题．9.【答案】 【解析】解：集合，
所以，，，，
故ACD正确，B错误．
故选：．
用列举法表示集合，结合选项即可得结论．
本题主要考查集合的表示法，集合与集合，元素与集合的关系，属于基础题．10.【答案】 【解析】解：对于，当时，能推出，而由不能推出，如，而，所以“是“”成立的充分不必要条件，故A正确；
对于，命题：，均有，则的否定：，使得，故B不正确；
对于，，是两个数集，则由能推出，反之，由能推出，所以“”是“”的充要条件，故C正确；
对于，，是两个数集，若，即集合、存在相同的元素，则存在，，故D正确，
故选：．
举反例可判断选项；由全称命题的否定是特称命题可判断选项；由集合间的交集运算和集合间的关系可判断选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断选项．
本题考查全称命题的否定，集合间的交集运算和集合间的关系，集合非空和集合与元素间的关系，属于基础题．11.【答案】 【解析】解：关于的不等式的解集为或，
二次函数的开口方向上，即，选项A正确；
方程的两个实数根为，，
，解得，则等价于，
又，，选项B错误；
不等式等价于，即，解得或，
所以不等式的解集为或，选项C正确；
因为，选项D错误．
故选：．
根据题意可得，且，然后对选项进行逐一判断即可．
本题考查一元二次不等式与一元二次方程，二次函数之间的关系，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．12.【答案】 【解析】【分析】本题考查不等式的解法和性质的运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
由二次不等式的解法，可判断；由不等式的性质可判断；由换元法和对勾函数的单调性可判断；对讨论，结合二次函数的图象和性质可判断．【解答】
解：不等式即为，解得或，故A错误；
若实数，，满足，可得时，则，故B正确；
若，设，
函数即，可得函数在递增，
则函数的最小值为，故C错误；
当时，不等式恒成立，若，则恒成立；
当时，由于的图象开口向下，则不等式不恒成立；
当时，只需，即，解得．
所以的取值范围是，故D错误．
故选：．13.【答案】， 【解析】解：因为集合，，，
则当时，，当时，，
所以则用列举法表示集合，，
故答案为：，．
由已知可得当时，，当时，，然后根据列举法的定义即可求解．
本题考查了集合的表示法，属于基础题．14.【答案】 【解析】解：集合，
集合，
，
集合的子集个数为．
故答案为：．
求出集合，由集合，求出，由此能求出集合的子集个数．
本题考查交集的子集个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
的一个充分不必要条件是，可得是的充分不必要条件．即可得出．
【解答】解：：或，：为实数．
若的一个充分不必要条件是，
是的充分不必要条件．
．
则实数的取值范围是．
故答案为：．16.【答案】   【解析】解：时，满足条件；
时，；时，；时，；时，，
满足条件的为：，，，，，，，，，，，，，，，共个．
故答案为：；．
根据题意，是单元素集合时，；
根据条件得出时，；时，；时，；时，，然后列出满足条件的即可得出的个数．
本题考查了元素与集合的关系，列举法表示集合的方法，是基础题．17.【答案】解：集合，．
；
且，
或． 【解析】利用并集定义直接求解．
利用新定义，结合不等式的性质能求出结果．
本题考查集合的运算，考查并集定义、新定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：因为，
关于的不等式化为，
即，解集为，
关于的不等式的解集为．
分情况讨论：
当，即时，原不等式为，恒成立，
当，即时，，解得，
综上，故的取值范围为． 【解析】本题考查了一元二次不等式的解法和恒成立问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．
将值代入不等式，解不等式即可；
分情况讨论，当，即时，代回原不等式，成立留，不成立舍；当，即时，解集为，则，最后取两种情况的并集．19.【答案】解：若，：实数满足，
解得．
：．
，都为真命题，
，解得：．
的取值范围为．
由：实数满足，
化为：．
若是的充分不必要条件，则，，解得：．
实数的取值范围是． 【解析】若，：实数满足，解得范围．根据，都为真命题，即可得出的取值范围．
由：实数满足，化为：根据是的充分不必要条件，可得，，解得实数的取值范围．
本题考查了一元二次不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20.【答案】解：证明：由，，，，当且仅当时取等号．
所以，得证．
，
当且仅当，时取等号，故的最小值为． 【解析】利用基本不等式有，即可证结论；
应用基本不等式“”的代换求目标式的最小值，注意取值条件．
本题主要考查了基本不等式在最值求解及不等式证明中的应用，属于基础题．21.【答案】解：由题意知，当时，，代入，则，解得，，
利润，
又因为，
所以，．
由知，
因为时，，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，
故月促销费用为万元时，该产品的月利润最大，最大为万元． 【解析】由时，代入求得，由利润销售收入生产投入促销费用，列出函数关系，即可得出结果；
由知，利用基本不等式即可求得最大利润．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：由恒成立，
即恒成立，
可得恒成立，当时，恒成立，满足题意；
当时，要使恒成立，则，
即，解得．
综上，可得实数的取值范围是．
函数
即，又，
所以当时，可得，不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
令，则，
由方程有四个不同的实根，即与有个不同的交点，
当，显然与不能有个不同的交点，
当，作出的图象如图，

从图象，显然与不能有个不同的交点，
当，作出的图象如图，

从图象可得：当时，取得最大值为，
要使与能有个不同的交点，则且．
即且，所以，
综上，可知实数的取值范围 【解析】由恒成立，即恒成立，转化为二次不等式问题，对进行讨论可得实数的取值范围；
将因式分解，对进行讨论，可得不等式的解集；
令，求解的最小值，有四个不同的实根，即与有个交点，即可求解实数的取值范围．
本题考查了函数的零点，不等式的解法，讨论思想，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．