辽宁省朝阳市2023-2024学年高一上学期10月考试数学试题

这是一份辽宁省朝阳市2023-2024学年高一上学期10月考试数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答，下列结论中正确的个数是，若，，且满足，则的最小值是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列命题正确的序号是（ ）
①与表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合订表示为或；
③方程的所有解的集合可表示为；
④集合可以用列举法表示．
A．①④B．②C．②③D．①②③④
3．若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题；
②命题“，”是全称量词命题；
③命题“，”是真命题；
④命题“有一个偶数是质数”是真命题．
A．0B．1C．2D．3
6．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．那么下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若，，且满足，则的最小值是（ ）
A．10B．12C．14D．16
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每十个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A．，是一个戴德金分割
B．没有最大元素，有一个最小元素
C．有一个最大元素，有一个最小元素
D．没有最大元素，也没有最小元素
11．设，为正实数，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
12．下列各选项中最大值是的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．不等式的解集是__________．
14．已知集合，则集合的元素个数为__________．
15．已知命题，是假命题，则实数的取值范围是__________．
16．若对任意，使得恒成立，则实数的取值范围是__________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知，集合，，．
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）
已知命题，使，命题．
（1）写出；
（2）若命题，，一真一假，求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知，，．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值．
21．（本小题满分12分）
某企业研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人？
（2）若技术人员在已知范围内调整后，研发人员的年总投入必须始终不低于技术人员的年总投入，求出正整
数的最大值．
22．（本小题满分12分）
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）解关于的不等式；
（3）若当时，不等式恒成立，求的取值范围．
参考答案及解析
高一数学
一、选择题
1．A【解析】是有理数，故①正确；不是正整数，故②错误；不是自然数，故③错误；
不是有理数，故④错误；是整数，故⑤错误．故正确的有1个．故选A．
2．B【解析】由于“0”是元素，而“”表示含一个元素0的集合，而不含任何元素，所以①不正确；
根据集合中元素的无序性可知②正确；
根据集合元素的互异性可知③错误；
对于④，由于该集合为无限集且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确．
综上可得只有②正确．故选B．
3．A【解析】由，可得，解得，因为，所以是“”的充分不必要条件．故选A．
4．D【解析】因为存在，使得不等式成立，
所以存在，使得不等式成立，
令，，
因为对称轴为，所以当时，函数取得最小值为，所以．故选D．
5．D【解析】①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，所以①正确；
②命题“，”是全称量词命题，所以②正确；
③命题“，”是假命题，所以③不正确；
④命题“有一个偶数是质数”是真命题，如2，所以④正确．故选D．
6．D【解析】当时，，故A错误；
令，，满足，但，故B错误；
令，，满足，但，故C错误；
若，则，即，故D正确．故选D．
7．A【解析】由命题“，”为真命题，即不等式在上恒成立，
设，根据二次函数的性质，可得函数的最小值大于，所以．故选A．
8．C【解析】
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是14．故选C．
二、选择题
9．AB【解析】对于选项A，两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，A正确；
对于选项B，空集是任意集合的子集，故，B正确；
对于选项C，两个集合所研究的对象不同，故，为不同集合，C错误；
对于选项D，元素与集合之间只有属于、不属于关系，故D错误．故选AB．
10．BD【解析】对于A，因为，，，故A错误；
对于B，若，，则满足戴德金分割，此时没有最大元素，有一个最小元素0，故B正确；
对于C，若有一个最大元素，设为，有一个最小元素，设为，则，则，，而内也有有理数，则，故C错误；
对于D，若，，则满足戴德金分割，此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确．故选BD．
11．BD【解析】对于A，取，，则，但，所以A为假命题；
对于B，由，为正实数，，故．
若，则，这与矛盾，故成立，所以B为真命题；
对于C，取，，则，但不成立，所以C为假命题；
对于D，因为，，所以，即，所以D为真命题．故选BD．
12．BC【解析】（当时取等号），因此函数无最大值，A不符合题意；
，，，当且仅当时取等号，B符合题意；
时，，时，，当且仅当时取等号，C符合题意；
（当且仅当时取等号），D不符合题意．故选BC．
三、填空题
13．【解析】由题设，，，可得，
原不等式的解集为．故答案为．
14．5【解析】①时，，1，2，，，；
②时，，1，2，，0，；
③时，，1，2，，1，0．所以，共5个元素．故答案为5．
15．【解析】命题，是假命题，
即“，”是真命题，当时，不成立，
当时，要使成立，必须有解得．
故答案为．
16．【解析】因为对任意，，即恒成立，
只需满足，因为，所以，
当且仅当，即时取等号．故答案为．
四、解答题
17．解：（1），，．
又，．（5分）
（2）若，则需或，解得或．（10分）
18．解：（1），．（4分）
（2）若是真命题，得，所以．
若为真命题，为假命题，则得；（8分）
若为假命题，为真命题，则得．
所以，的取值范围为．（12分）
19．解：（1）①当时，如图所示，
或解得．（4分）
②当时，由，得．
综上可得，的取值范围是．（6分）
（2）当时，如图所示，此时．
即
不存在．即不存在实数使．（12分）
20．解：（1）当时，可得，所以，
所以，
当且仅当，，即，时取等号，所以的最小值为8．（6分）
（2）当时，，即，
解得（舍去），即，
当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为16．（12分）
21．解：（1）依题意得，解得，
所以调整后的技术人员的人数最多75人．（5分）
（2）由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有：
，得，
故有，，
当且仅当时等号成立，所以，故正整数的最大值为7．（12分）
22．解：（1）根据题意，①当，即时，，解集不为，不合题意；
②当，即时，的解集为，
，即，
故时，．故．（4分）
（2）由题意得，，即，
①当，即时，解集为；
②当，即时，，
，解集为；
③当，即时，，
，解集为．
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为．（8分）
（3），即，
恒成立，，
设，则，，
，
，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
当时，，．（12分）