辽宁省阜新市2023届九年级下学期中考一模数学试卷（含解析）

2023年辽宁省阜新中考数学一模试卷

一、选择题（每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）

1．（3分）的倒数是　　

A． B．7 C． D．

2．（3分）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是　　

A． B． C． D．

3．（3分）今年世界环境日，某校组织以保护环境为主题的演讲比赛，参加决赛的6名选手成绩（单位：分）如下：80分，95分，85分，90分，95分，100分．这6名选手成绩的众数和中位数分别是　　

A．88分，88分 B．95分，87.5分 C．95分，92.5分 D．95分，95分

4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

5．（3分）如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

6．（3分）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是　　

A． B．且 C． D．且

7．（3分）如图，点为正六边形对角线上一点，假设可以随机在正六边形中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是　　

A． B． C． D．

8．（3分）如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为　　

A． B． C． D．

9．（3分）如图，二次函数图象的对称轴是，下面四条．信息的判断：①，②，③，④．你认为其中正确的是　　

A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①③④

10．（3分）如图，过直线上的点作，交轴于点，过点作轴，交直线于点；过点作交轴于点，过点作轴，交直线于点；按照此方法继续作下去，若，则线段的长度为　　

A． B． C． D．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）计算：　　．

12．（3分）在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则　　（填“”“ ”或“” ．

13．（3分）如图，点，，，，都在上，，，则　　．

14．（3分）如图，在中，点是边上的一点，，，，则边的长为 　　．

15．（3分）如图，将绕点逆时针旋转一个角度，得到．若点的对应点恰好落在边上，且点，，在同一条直线上，，则旋转角的度数是 　　．

16．（3分）已知，两地之间有一条长240千米的公路．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发半小时后，乙车从地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回地．两车之间的距离（千米）与甲车行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示，则乙车的行驶时间为 　　．

三、解答题（本大题共8小题，解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17、18题6分，19、20题8分，21、22每题10分，23、24每题12分，共计72分）

17．（6分）先化简，再求值：，其中．

18．（6分）在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：将点绕点逆时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．

（1）如图1，若点在坐标原点，点，

①点的“对应点” 的坐标为 　　；

②若点的“对应点” 的坐标为，则点的坐标为 　　；

（2）如图2，当点在第一象限时，且，，点，若，，点为点的“对应点”，写出点的坐标（用含，，的式子表示）．

19．（8分）如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，，求扇形的面积．

20．（8分）某校举行了“文明在我身边”摄影比赛．已知每幅参赛作品成绩记为分．校方从600幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表．

“文明在我身边”摄影比赛成绩统计表

根据以上信息解答下列问题：

（1）统计表中的值为　 　；样本成绩的中位数落在分数段　 　中；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若80分以上（含80分）的作品将被组织展评，试估计全校被展评作品数量是多少？

21．（10分）如图，杨帆同学在学习了“解直角三角形及其应用”的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端点的仰角为，再从点出发沿斜坡走到点处，测得大树顶端点的仰角为；点到地面的距离是．若斜坡的坡度（点，，在同一水平线上）．求大树的高度．（结果精确到，参考数据：，，斜坡坡度：指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）

22．（10分）某公司计划从商店购买同一品牌的毛巾和同一品牌的香皂，已知购买一条毛巾比购买一块香皂多用20元，若用400元购买毛巾，用160元购买香皂，则购买毛巾的条数是购买香皂块数的一半．

（1）购买一条该品牌毛巾、一块该品牌香皂各需要多少元？

（2）经商谈，商店给予该公司购买一条该品牌毛巾赠送一块该品牌香皂的优惠，如果该公司需要香皂的块数是毛巾条数的2倍还多8个，且该公司购买毛巾和香皂的总费用不超过670元，那么该公司最多可购买多少条该品牌毛巾？

23．（12分）如图1，和都是等边三角形，连接，将绕点逆时针得到，连接，．

（1）连接，求证：；

（2）将图1中的绕点顺时针旋转，如图2，当，且时，求证：四边形为菱形；

（3）如图3，连接，取，的中点，，若，，当，线段取最小值时，直接写出线段的长度．

24．（12分）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；

（3）如图2，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，存在，请直接写出点的坐标；不存在，请说明理由．

2023年辽宁省阜新中考数学一模试卷

（参考答案）

一、选择题（每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）

1．

解析：解：的倒数是．

故选：．

2．

解析：解：这个几何体的俯视图为：

故选：．

3．

解析：解：由题中的数据可知，95出现的次数最多，所以众数为95；

从小到大排列：80，85，90，95，95，100，

故可得中位数是．

故选：．

4．

解析：解：，

解①得，

解②得．

则表示为：

故选：．

5．

解析：解：是等边三角形，

，

，

，

，

，

直线直线，

，

，

故选：．

6．

解析：解：当时，方程化为，解得；

当时，△，

解得，

所以的范围为．

故选：．

7．

解析：解：设的长为，

则正六边形的面积为，

阴影部分的面积为，

这个点取在阴影部分的概率是，

故选：．

8．

解析：解：篱笆的总长为18米，的长为米，

的长为米．

根据题意得：．

故选：．

9．

解析：解：抛物线与轴的交点在轴下方，

，所以①正确；

抛物线开口向上，

，

抛物线的对称轴为直线，

，

，所以②错误；

时，，

，所以③正确；

，

，所以④正确．

故选：．

10．

解析：解：直线，

直线与轴夹角为，

为轴上一点，且，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

故选：．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．解析：解：原式，

故答案为：0．

12．解析：解：，

反比例函数的图象在一、三象限，

，

点，在第一象限，随的增大而减小，

，

故答案为：．

13．

解析：解：连接，

，，

，

．

故答案为：．

14．

解析：解：，，

．

，，

．

，即．

，

即的长为2．

故答案为：2．

15．

解析：解：将绕点逆时针旋转一个角度，得到，

，，，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

16．

解析：解：由图象可知，乙出发后用（小时）追上了甲车，

乙车原路原速返回地，

乙车返回地的时间和追赶甲车时的时间相同，即从追上甲车的地方返回地用了1.5小时，

乙车的行驶时间为（小时），

故答案为：3小时．

三、解答题（本大题共8小题，解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17、18题6分，19、20题8分，21、22每题10分，23、24每题12分，共计72分）

17．解析：解：

，

当时，原式．

18．

解析：解：（1）①如图1中，点的“对应点” 的坐标为；

故答案为：；

②如图2中，点的“对应点” 的坐标为，则点的坐标为；

故答案为：；

（2）点在第一象限时，且，，点，，

点绕点逆时针旋转得到，

设，

，

，

，

．

19．

解析：（1）证明：连接．

，

，

，

，

，

．

在中，

，

，

，

，

点在上，

是的切线；

（2）解：，，

，

在四边形中，

，

，

，

，

扇形的面积为．

20．

解析：解：（1）本次调查的作品总数为（幅，

则，，，

其中位数为第25、26个数的平均数，

中位数落在中，

故答案为：0.34，；

（2）补全图形如下：

（3）（幅，

答：估计全校被展评作品数量是180幅．

21．

解析：解：过点作于点，作于点，

斜坡的坡度，到地面的距离是，即，

，

设大树的高为，

，

在中，

，，，

在中，

，

，

即，

解得．

经检验：是原方程的根且符合题意．

．

答：大树的高度是．

22．

解析：解：（1）设购买一块该品牌香皂需要元，则购买一条该品牌毛巾需要元，

根据题意得：，

解得：，

经检验，是所列方程的解，其符合题意，

．

答：购买一条该品牌毛巾需要25元，一块该品牌香皂需要5元．

（2）设该公司可购买条该品牌毛巾，则购买块该品牌香皂，

根据题意得：，

解得：，

的最大值为21．

答：该公司最多可购买21条该品牌毛巾．

23．

解析：（1）证明： 和 都是等边三角形，

，，，

，

，

，

旋转得到，

且，

等边三角形，

，

；

（2）证明：由（1）知．，

又，

，

，

，

四边形是平行四边形，

又，

，

平行四边形是菱形；

（3）解：如图3，取的中点，连接，

、分别为、的中点，

，，

，

，

，

的最小值为2，

此时，点在上，

点、、、在同一条直线上，

如图4，连接，

是等边三角形，是的中点，

，

，

，，

，

，

，

线段的长度为．

24．

解析：解：（1）把点和代入得：，

解得：，

抛物线的解析式为；

（2）过点作轴，交于点，如图所示：

设，直线的解析式为，

由（1）可得：，

，解得：，

直线的解析式为，

，

，

轴，

，

，

，

当时，的值最大，

；

（3）①当为菱形的对角线时，垂直平分，

解析式是，

，

此时四边形是正方形．

．

设，则，

，

，解得（不合题意舍去）或，

此时，

．

②当为菱形的边时，设，则，

，

或．

解得：，．

，，

综上所述，符合条件的点有三个，坐标为：，，．