求数列通项公式之知Sn求an+讲义-2024届高三数学一轮复习

求数列通项公式之知Sn求an（讲+练）含答案

知识讲解

对于公式

（1)当n≥2时，用n-1替换中的n得到一个新的关系，利用便可求出当n≥2时的表达式；

（2）当n=1时，通过求出；

（3）对n=1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n=1与n≥2两段来写.

类型一：已知与n或的关系式；

1.设数列的前n项和为，若，求数列的通项公式.

2.已知是等差数列的前n项和，且求数列的通项公式；

3.已知等比数列的各项均为正数，为其前n项和，对于任意的，满足关系式
求数列的通项公式；
 

4.已知数列的前n项和为，且满足

证明：数列是等比数列；

5.等差数列满足，，数列的前n项和为，且

求数列的通项公式；证明数列是等比数列．

6. 已知正数数列的前n项和为，且对任意的正整数n满足
   求数列的通项公式；
    

7.为数列的前n项和.已知，

求的通项公式；
 

8.记为数列的前项和，为数列的前项积，已知
证明：数列是等差数列；
求的通项公式．

9. 已知为数列的前n项和，且
   求数列的通项公式；
    

类型二：已知特殊的形式

10.已知数列中，，

求数列的通项公式;

11.若数列是正项数列，且
求的通项公式;
 

12.已知数列满足
求数列的通项公式；
 

13.数列满足…
求数列的通项公式；
 

14.已知正项数列满足…

求的通项公式：

答案和解析

1.【答案】解：当时，

，

当时，，

综上，所求数列的通项公式是

2.【答案】解：由题意可知：，
当时，，

当时，，

当时，显然成立，
数列的通项公式；

3.【答案】解：当时，有，①
又，②
②-①得，，
即
又当时，，

故数列为等比数列，且公比

数列的通项公式；
 

4.【答案】解：当时，得
当时，，两式相减得，
即，
所以数列是以2为公比，以2为首项的等比数列，
 

5.【答案】解：数列为等差数列，
公差，
，
证明：由，可得，即可得，
当时，有，
可得，
即
所以是首项，公比的等比数列． 

6.【答案】解：由，代入得，
两边平方得  ①，
①式中n用代入得②，
①-②，得，，
，
由正数数列，得，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，有 

7.【答案】解：由，可知，
两式相减得，
即，
，，
，
舍或，
则是首项为3，公差的等差数列，
的通项公式；
 

8.【答案】解：证明：当时，，
由，解得，
当时，，代入，
消去，可得，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列．
由题意，得，
由，可得，
由，可得，
当时，，显然不满足该式，
所以 

9.【答案】解：，
时，，上下两式相减可得：，即，
时，，解得，
数列是等比数列，首项与公比都为，

 

10.【答案】解：，…，
可得，即，
当时，…，又…，
两式相减可得，
化为，
即有，
即，对不成立，
可得；
 

11.【答案】解：，
当时，…，
两式相减可得，
即，
当时也满足上式，
，，
 

12.【答案】解：，①
，②
由①-②得：，，③
在①中，令，得，适合③式，

 

13.【答案】解：数列满足…①，
当时，…②，
①-②得：，
所以，
当时，首项符合通项，
所以
 

14.【答案】解：当时，，因为，所以
当时，由，
得，
两式相减得，，
因为，所以，，，
上式对于也适合.
综上，的通项公式为，