2022-2023学年江苏省淮安市清河区启明外国语学校八年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

2022-2023学年江苏省淮安市清河区启明外国语学校八年级（下）期末数学试卷

1.下列调查，适合采用普查的是(    )

A. 了解一个班级学生一分钟跳绳成绩 B. 了解我市八年级学生的名著阅读情况
C. 调查里运河的水质情况 D. 调查人们对冰墩墩的喜爱情况

2.对于事件“某学习小组14人中至少有2人在同一个月过生日”，从发生的可能性大小判断，你认为该事件属于(    )

A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 无法判断

3.分式的值是零，则x的值为(    )

A. 2 B. 5
C.  D.

4.下列等式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.反比例函数的图象分布在第二、四象限，则a的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.下列关于的表述错误的是(    )

A. 它是最简二次根式 B. 它是无理数 C. 它就是 D. 它大于8

7.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为，则点B的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

9.式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________.

10.方程的解为______ .

11.某中学数学教研组有32名教师，将他们按年龄分组，在岁组内的教师有8名教师，那么这个小组的频率是__________.

12.分式与的最简公分母是______.

13.2020年初，全国口罩紧缺，某口罩生产企业准备开通A，B两条口罩生产线，总日产量5万只，已知A生产线生产75万只口罩与B生产线生产25万只口罩所用天数相同．设A生产线的口罩日产量是x万只，则可列出分式方程______.

14.若，且a，b是两个连续整数，则的值为______ .

15.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点，，直线平分平行四边形OABC的面积，则______ .

16.如图，平面直角坐标系中，已知，，P为y轴正半轴上一个动点，将线段PA绕点P逆时针旋转，点A的对应点为Q，则线段BQ的最小值是______.

17.计算：；
计算：

18.解方程：
；
 

19.先化简，再求值：，其中a是方程的解．

20.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使，且求证：四边形DBCE为菱形.

21.类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法.
【学习新知，类比求解】解方程：
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程______ ，解这个方程，得______ .经检验，______ 是原方程的解.
【学会转化，解决问题】运用上面的方法解下列方程：
；
 

22.某校组织八年级学生参加“摄影社团、文学社团、篮球社团、美术社团”4个社团，要求每人必须参加，并且每人只能选择其中的一个社团.为了解学生对这几个社团的选择意向，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图部分信息未给出请你根据给出的信息解答下列问题：

求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图画图后请标注相应的数据；
______ ，______ ；
若该校八年级共有1200名学生，试估计该校选择意向为“美术社团”的学生有多少人？

23.如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点及点O均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图保留作图痕迹
在图1中，作关于点O成中心对称的；
在图2中．
①作绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的；
②请直接写出：点B到AC的距离为______.

 

24.为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释效过程中，室内每立方米空气中的含药量毫克与时间分钟成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：
写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？

25.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元用含x的代数式表示；
在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？

26.如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与x轴交于点
求反比例函数的关系式；
根据图象，当时x的取值范围为：______ ；
若点P在x轴上，且，求点P的坐标；
若点P在y轴上，Q在双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出Q点的坐标：______ .

27.定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直上，若，则四边形ABCD是半对角四边形.

如图2，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，，，若四边形ABCE为半对角四边形，求平行四边形ABCD的面积；
如图3，以平行四边形ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.点E是边AD上一点，满足求证：四边形ABCE是半对角四边形；
在的条件下，当，时，将四边形ABCE向左平移个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图象上，求k的值.

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：A、了解一个班级学生一分钟跳绳成绩，适合全面调查，符合题意；
B、了解我市八年级学生的名著阅读情况，适合抽样调查，不符合题意；
C、调查里运河的水质情况，适合抽样调查，不符合题意；
D、调查人们对冰墩墩的喜爱情况，适合抽样调查，不符合题意．
故选：
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

2.【答案】C 

【解析】解：14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件为必然事件，
故选：
先确定“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件为必然事件，即可求解．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3.【答案】D 

【解析】【分析】
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．利用分式值为零的条件可得，且，再解即可．
【解答】
解：由题意得：，且，
解得：，
故选：

4.【答案】D 

【解析】解：当时不符合题意，故此项错误；
B.无法进行加法计算，故此项错误；
C. ，故此项错误；
D. ，故此项正确．
故选：
根据分式的基本性质：；对分子、分母进行因式分解，找出公因式进行约分；，即可求解．
本题主要考查了分式的基本性质，约分，二次根式的除法法则，掌握性质、法则及约分的方法是解题的关键．

5.【答案】A 

【解析】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限，
，
解得：
故选：
直接利用反比例函数图象分布在第二、四象限，从而得出，进而得出答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数图象分布规律是解题关键．

6.【答案】D 

【解析】解：是最简二次根式，是无理数，，故A，B，C，正确，
，故D选项错误．
故选：
根据题意逐项分析判断即可即可求解．
本题考查了最简二次根式，无理数，实数的计算，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键．

7.【答案】C 

【解析】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：
故选：
利用一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的两个实数根，，进而求出即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式，关键是记住当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．反之也成立．

8.【答案】D 

【解析】解：，
，，
四边形ABCD是菱形，
，
在中，，


故选：
在中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

9.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件．直接利用二次根式的有意义的条件得出x的取值范围，进而得出答案．
【解答】
解：由题意可得：，
解得：
故答案为：

10.【答案】 

【解析】解：，
，

利用配方法得到，然后解方程即可．
此题考查了解一元二次方程-配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，岁组内的教师有8名，
即频数为8，而总数为32；
故这个小组的频率是
故答案为：
根据频率的求法：频率=频数数据总数即可求解．
本题考查频率、频数的关系，属于基础题，关键是掌握频率的求法：频率=频数数据总数．

12.【答案】 

【解析】解：分式与的最简公分母是，
故答案为：
找出各个因式的最高次幂，乘积就是分母的最简公分母．
此题主要考查了最简公分母，关键是掌握找最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里；②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母或含字母的整式为底数的幂的因式都要取最高次幂．

13.【答案】 

【解析】解：设A生产线的口罩日产量是x万只，则B生产线的口罩日产量是万只，
依题意，得：
故答案为：
设A生产线的口罩日产量是x万只，则B生产线的口罩日产量是万只，根据工作时间=工作总量工作效率结合A生产线生产75万只口罩与B生产线生产25万只口罩所用天数相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

14.【答案】9 

【解析】解：，
又，
，，
当，时，

故答案为：
根据a，b是两个连续的整数，，可以求得a、b的值，再代入计算即可求解．
本题考查估算无理数的大小．解题的关键是求出a、b的值．

15.【答案】 

【解析】解：若直线平分平行四边形的面积，则经过平行四边形对角线交点．
如图，连接AC，OB交于点M，

四边形OABC为平行四边形，
，，点M为OB，AC的中点，
点，点，
点M坐标为，
直线平分平行四边形OABC的面积，
直线经过点，则，
解得：，
故答案为：
连接AC，OB交于点M，再用平行四边形的性质求出M，平分平行四边形OABC的面积要经过M，即可求解．
此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．

16.【答案】 

【解析】解：，
，
设，则，
过点Q作轴于M，
由于将线段PA绕点P逆时针旋转到PQ，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
当时，BQ有最小值，
故答案为：
设，则，作轴于M，通过证得≌求得Q的坐标，然后根据勾股定理得到，即可求得当时，BQ有最小值
本题考查了三角形全等的判定和性质，坐标与图形变换-旋转，勾股定理的应用以及“配方法”知识理解，表示出Q的坐标是解题的关键．

17.【答案】解：

；



 

【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
利用平方差公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．

18.【答案】解：，，，
，
，
，
方程两边同时乘以，得
，
化简整理，得，
解得：，
检验：把代入，得，
不是原方程的根，是增根，
原方程无解． 

【解析】用公式法求解即可；
先去分母化成整式方程求解，然后再检验即可求解．
本题考查解一元二次方程和解分式方程，熟练掌握一元二次方程和分式方程的解法是解题的关键，注意解分式方程要验根．

19.【答案】解：





，
解方程得：，，
要使分式有意义，且，
所以a不能为和2，
是方程的解，
只能为0，
当时，原式 

【解析】先根据分式的加减法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出方程的解，根据分式有意义的条件得出a不能为和2，求出a只能为0，把代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值和解一元二次方程，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．

20.【答案】证明：▱ABCD，
，，即，
，
，
四边形DBCE为平行四边形，
与CD互相平分，

四边形DBCE为菱形． 

【解析】先根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形DBCE为平行四边形，得BE与CD互相平分，再根据对角线垂直平分的四边形是菱形得出结论．
本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定．熟练掌握平行四边形的判定与性质定理和菱形的判定定理是解题的关键．

21.【答案】解：
去根号，两边同时平方得一元一次方程，
解这个方程，得
经检验，是原方程的解．
故答案为：，7，7；
解：
移项得，，
去根号，两边同时平方得一元一次方程，
解这个方程，得
经检验，是原方程的解．

移项得，，
去根号，两边同时平方得方程，
解这个方程，得
经检验，是原方程的解． 

【解析】学习新知，类比求解：根据题意补充完整即可；
移项得，，根据原题提供的方法进行求解即可；
移项得，根据原题提供的方法进行求解即可．
此题考查了无理方程，读懂题意，熟练掌握无理方程的解法是解题的关键．

22.【答案】28 16 

【解析】解：参加这次问卷调查的学生人数为：人，
篮球社团的人数为人，
补全图形如下：

，，
即：，，
故答案为：28，16；
人，
则该校八年级共有1200名学生，试估计该校选择意向为“美术社团”的学生有192人．
由摄影社团人数及其对应百分比可得总人数，再根据各小组人数之和等于总人数求得篮球社团人数，从而补全图形；
根据百分比的概念可得m、n的值；
根据该项人数=总人数该项所占的百分比，得到答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

23.【答案】解：如图1中，即为所求．

①如图2中，即为所求答案不唯一
②2 

【解析】【分析】
本题考查中心对称、旋转变换，勾股定理以及勾股定理逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可．
①利用数形结合的思想解决问题即可．
②先根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，，再利用三角形面积公式求解即可．
【解答】
解：见答案；
①见答案；
②，，，
，
为直角三角形，，
设AC边上的高为h，
，，，
则，
解得，
故答案为：

24.【答案】解：当时，设；当时，设
将代入，
得：，解得：，

将代入，
得：，解得：，

故正比例函数解析式是，反比例函数解析式是；

当时，，
解得：，
120分钟小时，
答：从药物释放开始，至少需要经过2小时后，学生才能进入教室． 

【解析】首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量毫克与时间分钟成正比；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入，用待定系数法可得两个函数的关系式；
根据中的解析式列出关系式，进一步求解可得答案．
本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；将代入函数关系式求出x的值．

25.【答案】解：；
解：设每件商品降价x元，则
由题意得：，
化简得：，
即，
解得：，，
该商场为了尽快减少库存，
降的越多，越吸引顾客，
选，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元． 

【解析】解：降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的盈利-降低的钱数；
等量关系为：每件商品的盈利可卖出商品的件数，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
本题考查列代数式和一元二次方程的应用，得到总盈利2100元的等量关系是解决本题的关键．

26.【答案】或或 

【解析】解：把点代入，得，
，
把代入反比例函数，
；
反比例函数的表达式为；
把代入，得，

由知，，
根据图象可知，当时，或，
当时，x的取值范围为或；
解：连接OA，OB，设直线AB与x轴交于点C，如图，

，
又，

设，则，

解得：或，
或
解：设，
当▱APQB时，如图，

▱APQB，
，，
，，
，
，，
，
 解得：，不符合题意，舍去
，此时与点A重合，不是平行四边形，故舍去；
当▱APBQ时，连接PQ交AB于D，如图，

▱APBQ
点D是AB与PQ的中点，

解得：，
，
当▱AQPB时，过Q作于N，过点B作于D，过点A作于S，如图，

▱AQPB
，


，





≌

，


解得：，不符合题意，舍去

综上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q点的坐标为或
先把点代入中求出a得到，然后把A点坐标代入中求出k，即可得到反比例函数的表达式；
根据图象得出取值范围即可；
连接OA，OB，设直线AB与x轴交于点C，由，又，得，设，则，所以，求解即可．
分三种情况：当▱APQB时，当▱APBQ时，当▱AQPB时，分别求解即可．
本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象性质，一次函数与反比例函数交点问题，直线与坐标围成的三角形面积问题，平行四边形的性质，此题属反比例一次函数、几何图形综合题目，综合性较强，熟练掌握反比例函数图象性质、一次函数图象性质，平行四边形性质是解题的关键．

27.【答案】解：四边形ABCE为半对角四边形，
，
，
，
，
过点D作BC的垂线交于F，如下图：

，
，
，
，
由勾股定理得：，


证明：四边形ABCD为平行四边形，
，，
，
，
又，
四边形ABCE是半对角四边形；

解：由题意，可知：点A的坐标为，点B的坐标为，点E的坐标为
当点A，E向左平移个单位后落在反比例函数的图象上时，，
解得：，
；
当点B，E向左平移个单位后落在反比例函数的图象上时，，
解得：，

综上所述：k的值为为或 

【解析】根据半对角四边形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出AD的长，过点D作BC的垂线交于F，利用勾股定理求出DF，从而求出平行四边形的面积；
由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合半对角四边形的定义即可证出四边形ABCE是半对角四边形；
由平行四边形的性质结合，可得出点A，B，E的坐标，分点A，E落在反比例函数图象上及点B，E落在反比例函数图象上两种情况考虑：利用平移的性质及反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值；同可求出k值．综上，此题得解．
本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题的关键是：利用半对角四边形的定义及矩形的性质，求出；利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及平行四边形的性质，找出；分点A，E落在反比例函数图象上和点B，E落在反比例函数图象上两种情况，求出k的值．