专题27.递推公式求通项的十大模型（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

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专题27.递推公式求通项的十种类型类型1.等差数列：相邻两项递推形式：为常数，）或者相邻三项递推形式：.这种递推形式下，直接用等差数列的通项公式：即可解决！例1.已知数列的前项和为，满足，，则（    ）A． B． C． D．解析：∵，－ = 1，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴，即，∴（）.当时，也适合上式，.故选：A.注1：在等差数列中，有一类比较特殊的递推类型，即，它可以得到两个子数列分别是公差为的等差数列.例2．已知数列的前n项和为，且，，则数列的前2021项的和为(    )A． B． C． D．解析：∵，，∴，解得．，∴，两式相减，得，数列的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列，当为偶数时，．当为奇数时，为偶数，∴根据上式和(*)知，数列的通项公式是，易知是以2为首项，2为公差的等差数列，故，，设的前n项和为，则．故选：A．例3．数列中，．求的通项公式；解析：（1）由①②，②-①，∴的奇数项与偶数项各自成等差数列，由，∴，∴，∴，n为奇数，，∴，n为偶数．∴.类型2.等比数列：相邻两项递推：或.或者相邻三项递推：.注2：在等比数列应用中，有一类比较特殊的递推类型，即，我们可以对其赋值得到一个等比数列.例4．数列中，，对任意有，若，则（    ）A． B． C． D．解析：由任意都有，所以令，则，且，所以是一个等比数列，且公比为，则所以，故选：D.例5．已知数列满足且，．求通项；解析：当为奇数时，由知数列是公差为2的等差数列，，∴，为奇数；当为偶数时，由知数列是公比为2的等比数列，，∴，为偶数∴.类型3.累加型例6．若数列满足，．求的通项公式.解析：因为，，所以，故.类型4.()累乘型.例7．数列及其前n项和为满足：，当时，，则（    ）A． B． C． D．解析：当时，，即，所以累乘得：，又，所以所以则. 故选：C.类型5.型（待定系数法）一般形式：为常数，，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数，，令，则为等比数列，求出，再还原到，.例8．在数列中，，．求的通项公式.解析：依题意，数列中，，，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列.例9.已知数列满足，证明是等比数列，并求的通项公式.解析：显性构造：，，.类型6.型例10．已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式；解析：∵，∴，∴，又∵，故是以2为首项，2为公比的等比数列．，则．类型7.型.方法1.数学归纳法.方法2.，令，则，用累加法即可解决！ 例11.设数列满足，.（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列的前n项和.解析：方法1：归纳法.（1） 猜想 得，，…….因为，所以方法2：构造法.由可得：，累加可得：.（2）由（1）得，所以.  ①.②得，类型8.型例12．已知数列满足，，求数列的通项公式.解析：因为，所以，即，又，所以，所以数列为首项为1，公差为1的等差数列，所以，故，所以数列的通项公式为.类型9.已知与关系，求.解题步骤：第1步：当代入求出；第2步：当，由写出；第3步：（）；第4步：将代入中进行验证，如果通过通项求出的跟实际的相等，则为整个数列的通项，若不相等，则数列写成分段形式，                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      在本考点应用过程中，具体又可分为三个角度，第一，消留，第二个角度，消留，第三个角度，级数形式的前n项和，下面我们具体分析.例13．已知数列的前项和为，，. 证明：数列是等差数列.证明：∵，∴，易知，∴，∴数列是公差为2的等差数列.例14．设数列的前项和为，且满足，. 求.解析：因为,所以，则，，即为首项为，公差为的等差数列，则，故.例15．已知数列满足．求数列的通项公式.解析：，①当时，．当时，，②由①-②，得，因为符合上式，所以．例16.（2022新高考1卷）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．求得通项公式.解析：，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，所以．当时，，所以，即（）；累积法可得：（），又满足该式，所以得通项公式为．类型9：已知前项积求.例17. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．解析：由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于，所以，即,其中，所以数列以为首项，以为公差等差数列.（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.类型10.特征方程法（强基层次）：型.求解方程：，根据方程根的情况，可分为：（1）若特征方程有两个相等的根，则（2）若特征方程有两个不等的根，则例18．已知数列满足，，.求数列的通项公式；解析：，变形为：，，∴数列是等比数列，首项为6，公比为3.∴，变形为：，，∴，∴例19.已知数列满足，求数列的通项．解析：其特征方程为，解得，令，由，得，     ．例20.已知数列满足，求数列的通项．解析：其特征方程为，化简得，解得，令 由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，．