新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练大题保分练4（含解析）

这是一份新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练大题保分练4（含解析），共4页。试卷主要包含了已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
大题保分练41．(2022·洛阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且4an＝3Sn＋2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.解　(1)∵4an＝3Sn＋2，①∴当n＝1时，4a1＝3a1＋2，即a1＝2，当n≥2时，4an－1＝3Sn－1＋2.②由①－②得4an－4an－1＝3an，即an＝4an－1，∴数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列．∴an＝2×4n－1.(2)由(1)知log2an＝log2(2×4n－1)＝log222n－1＝2n－1，∴bn＝an＋log2an＝2×4n－1＋2n－1，∴Tn＝＋＝＋n2.2．(2022·湖北新高考协作体联考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝135°，BD＝CD＝.(1)求sin∠CBD的值；(2)若△ABD的面积为4，求AD的长．解　(1)在△BCD中，由正弦定理知，＝，所以BD·sin∠CBD＝CD·sin∠BCD，因为∠BCD＝135°，BD＝CD＝，所以sin∠CBD＝.(2)在△BCD中，∠BCD＝135°，则∠CBD为锐角，因为sin∠CBD＝，所以cos∠CBD＝，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝135°，则∠CBA＝45°，所以sin∠ABD＝sin＝，显然∠ABD为锐角，所以cos∠ABD＝，因为S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝4，所以AB＝4，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD＝10，所以AD＝.3.(2022·南通模拟)如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AA1＝AB＝BC＝4，∠A1AB＝60°，cos∠BCC1＝，M，N分别是棱B1C1，A1B1的中点．(1)证明：BN⊥平面A1B1C1；(2)求直线AM与平面BB1C1C所成角的正弦值．(1)证明　如图，连接MN，A1B，BC1，∵四边形ABB1A1为平行四边形，又∠A1AB＝60°，AA1＝AB＝4，∴△A1AB为等边三角形，则△A1B1B为等边三角形，∵N为A1B1的中点，∴BN⊥A1B1，BN＝2，∵底面ABC是等腰直角三角形， AB＝BC＝4，∴AC＝2，A1C1＝AC＝2，∵M，N分别是棱B1C1，A1B1的中点，∴MN＝A1C1＝，∵CC1＝4，BC＝2，cos∠BCC1＝，∴BC1＝＝＝4，∴△BCC1为等腰三角形，则△B1BC1为等腰三角形，又M是棱B1C1的中点，∴BM＝＝，∴BM2＝BN2＋MN2，∴BN⊥MN，又A1B1，MN⊂平面A1B1C1，A1B1∩MN＝N，∴BN⊥平面A1B1C1.(2)解　取AB的中点O，连接A1O，则A1O∥BN，由(1)知A1O⊥平面ABC，CO⊥AB，如图，以点O为原点，OC，OB，OA1所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，B1(0,4,2)，C1(2,2,2)，M(1,3,2)，＝(－2,2,0)，＝(0,2,2)，＝(1,5,2)，设平面BB1C1C的法向量为n＝(x，y，z)，则∴取x＝1，则y＝1，z＝－，故n＝，设直线AM与平面BB1C1C所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝＝，∴直线AM与平面BB1C1C所成角的正弦值为.4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(4,0)，短轴长为4.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点T(0,1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AT的中点为P，线段BT的中点为Q，且|OP|＝|OQ|(O为坐标原点)，求所有满足条件的直线l的方程．解　(1)由题意知2b＝4，c＝4，则b＝2，a2＝b2＋c2＝20，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1.联立消去y得(1＋5k2)x2＋10kx－15＝0，则Δ＝400k2＋60>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，∵|OP|＝|OQ|，∴2＋2＝2＋2，即(x1－x2)(x1＋x2)＝－k(x1－x2)[k(x1＋x2)＋4]．∵x1≠x2，∴x1＋x2＋k2(x1＋x2)＋4k＝0，∴－－＋4k＝0，解得k1＝0，k2＝，k3＝－，∴满足条件的直线l的方程为y＝1，y＝x＋1和y＝－x＋1.