新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练大题保分练1（含解析）

大题保分练1

1．(2022·广东六校联考)在①b＝；②sin B＋sin C＝2sin A；③bc＝10这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出△ABC的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由．

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sin(A＋B)＝csin ，a＝3，__________？

解　∵3sin(A＋B)＝csin ，a＝3，

∴asin(A＋B)＝csin ，

由正弦定理知sin Asin(A＋B)＝sin Csin ，

又A＋B＋C＝π，

∴sin Asin C＝sin Csin ＝sin Csin

＝sin Ccos ，

又sin C≠0，∴sin A＝cos ，

即2sin cos ＝cos ，而cos ≠0，

∴sin ＝，

又A∈(0，π)，故＝，

即A＝.

选①：b＝，a＝3，

由正弦定理得＝，

即＝，

解得sin B＝，又b<a，

∴B＝，则C＝.

∴△ABC的面积S＝ab＝.

选②：sin B＋sin C＝2sin A，

由正弦定理得b＋c＝6，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，

即b2＋c2－bc＝9，

联立

得解得b＝c＝3，

∴△ABC的面积S＝bcsin A＝.

选③：bc＝10，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，

即b2＋c2－bc＝9，

消去c，整理得b4－19b2＋100＝0，

此时Δ＝(－19)2－4×100＝－39<0，

故方程无实数根，

∴选条件③时，三角形不存在．

2．(2022·南通调研)设Sn是等比数列{an}的前n项和，a1＝1，且S1，S3，S2成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求使Sn≤3an成立的n的最大值．

解　(1)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，

由2S3＝S1＋S2⇒2(1＋q＋q2)＝1＋1＋q

⇒2q2＋q＝0⇒q＝－，

故an＝a1qn－1＝n－1.

(2)Sn＝＝×，

则×≤3×n－1，

整理得n≤－，

当n为偶数时，n>0，不符合题意；

当n为奇数时，n＝－n，

可得n≥＝3，可得n≤3.

因此，n的最大值为3.

3．(2022·张家口模拟)已知某区A，B两所初级中学的初一年级在校学生人数之比为9∶11，该区教育局为了解双减政策的落实情况，用分层随机抽样的方法在A，B两校初一年级在校学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如图所示的频率分布直方图．

(1)在抽取的100名学生中，A，B两所学校各抽取的人数是多少？

(2)该区教育局想了解学生做作业时间的平均时长(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和做作业时长超过3小时的学生比例，请根据频率分布直方图，估计这两个数值；

(3)另据调查，这100人中做作业时间超过3小时的人中有20人来自A中学，根据已知条件填写下面列联表，并依据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析做作业时间超过3小时是否与学校有关．

附表：

附：χ2＝.

解　(1)设A，B两校所抽取的人数分别为x，y，

由已知可得解得

故A，B两校所抽取的人数分别为45,55.

(2)由频率分布直方图可知，学生做作业的平均时长的估计值为

0．5×(1.25×0.1＋1.75×0.3＋2.25×0.4＋2.75×0.6＋3.25×0.3＋3.75×0.2＋4.25×0.1)

＝2.675(小时)．

由0.5×(0.1＋0.2＋0.3)＝0.3，可知有30%的学生做作业时长超过3小时．

综上，估计该区学生做作业时间的平均时长为2.675小时，该区有30%的学生做作业时长超过3小时．

(3)由(2)可知，有30%×100＝30(人)做作业时间超过3小时．

故填写列联表如下(单位：人)：

零假设为H0：做作业时间超过3小时与学校无关．

根据列联表中的数据，经计算得到

χ2＝≈8.13>6.635＝x0.010，

所以依据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为做作业时间超过3小时与学校有关．

4.(2022·济南联考)如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，侧面PAB为等边三角形，平面ABP⊥平面ABCD，AD＝2BC＝2，点M在边PC上，且PM＝2MC.

(1)证明：PA∥平面BDM；

(2)当平面BCM与平面BDM夹角的正切值为时，求四棱锥P－ABCD的体积．

(1)证明　连接AC交BD于点N，连接MN，

由△BNC∽△DNA知＝＝，

又＝，

所以＝，所以PA∥MN，

又PA⊄平面BDM，MN⊂平面BDM，

所以PA∥平面BDM.

(2)解　作PO⊥AB于点O，

因为平面ABP⊥平面ABCD，平面ABP∩平面ABCD＝AB，PO⊂平面ABP，

所以PO⊥平面ABCD，

以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

设AB＝a，则M，B，

C，D，

所以＝(0,1,0)，＝(－a，2,0)，

＝，

设平面BCM的法向量为m＝(x1，y1，z1)，

则

即

令x1＝1，得m＝，

设平面BDM的法向量为n＝(x2，y2，z2)，

则

即

令x2＝1，得n＝，

设平面BCM与平面BDM的夹角为θ，

则tan θ＝，cos θ＝，

所以|cos〈m，n〉|＝＝，

解得a＝2，

所以VP－ABCD＝××2×＝.