河南省创新联盟2023-2024学年高二上学期第二次联考（10月）数学试题

这是一份河南省创新联盟2023-2024学年高二上学期第二次联考（10月）数学试题，共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知向量满足，且，则，已知样本数据，且，则等内容，欢迎下载使用。
2023年秋季河南省高二第二次联考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册20%，必修第二册30%，选择性必修第一册第一章40%、第二章第1节10%．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，对应的点位于（    ）A．第一象限     B．第二象限     C．第三象限     D．第四象限2．设集合，若，则（    ）A．3     B．2     C．     D．13．下列关于空间向量的说法中错误的是（    ）A．若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量B．空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定C．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底D．在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示4．在三棱锥中，，平面的法向量，则点到平面的距离为（    ）A．     B．     C．1     D．25．已知向量满足，且，则（    ）A．0     B．     C．     D．6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面分别为的中点，则（    ）A．     B．1     C．     D．27．过点作直线，若直线与连接两点的线段总有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ）A．     B．     C．     D．8．如图，正方体的棱长为2，是的中点，点分别在直线上，则线段的最小值为（    ）A．1     B．．     C．2     D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，由正四棱锥截去一部分后得到四棱台分别为四边形的对角线的交点，，则下列结论正确的是（    ）A．几何体是三棱柱                B．几何体是三棱台C．四棱台的体积为       D．直线与直线所成角的正切值为10．已知样本数据，且，则（    ）A．的平均数小于的平均数B．的中位数小于的中位数C．的极差等于的极差D．的方差大于的方差11．已知函数，则（    ）A．是奇函数，且在上单调递增     B．是奇函数，且在上单调递增C．是偶函数，且在上单调递减     D．是偶函数，且在上单调递增12．学习几何体结构素描是学习素描的重要一步．如图，这是一个用来练习几何体结构素描的石膏几何体，它是由一个圆柱和一个正三棱锥穿插而成的对称组合体．棱和平面都与圆柱侧面相切，是棱与圆柱侧面的切点．平面，且直线分别与平面，平面交于点．已知，圆柱的底面圆半径为，则（    ）A．                        B．C．点到平面的距离为           D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若三点共线，则_________________．14．函数的最大值为_________________．15．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为的中点，点在上，若，则_________________．16．已知函数若存在实数，使得，则的取值范围为_________________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线的斜率为2，直线过点．（1）若直线的倾斜角为，求的值；（2）若，求的值．18．（12分）已知函数在上单调递减．（1）求的取值范围；（2）求的值域．19．（12分）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，．（1）证明：平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．20．（12分）在锐角中，角的对边分别是，且满足．（1）求；（2）若的外接圆半径是1，求的取值范围．21．（12分）甲、乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着投掷．规定第1次由甲投掷．（1）求第2次由甲投掷的概率；（2）求前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率．22．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是的中点，点在棱上，且．（1）若平面平面，证明：平面．（2）求平面与平面的夹角的余弦值的最大值．2023年秋季河南省高二第二次联考数学参考答案1．C  因为，所以所求复数对应的点为，位于第三象限．2．D  若，解得，当时，，不符合题意，当时，，符合题意．若，解得，此时，不符合题意．综上，．3．A  若，则，零向量不能作为直线的方向向量，A错误．4．B  点到平面的距离为．5．D  因为，所以，即，解得，所以．6．B  设为的中点，连接．．7．A  直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率的取值范围为．8．B  建立如图所示的空间直角坐标系，则．设，则．．当时，取得最小值，最小值为．9．BCD  在几何体中，没有任何两个平面平行，A错误．将四棱台沿轴截面分成两部分，其中之一是三棱台，B正确．四棱台的体积为，C正确．连接，作，垂足为．为直线与直线所成的角，，D正确．10．AC  设的平均数为的平均数为，则，所以的平均数小于的平均数，A正确．若都相等，则的中位数等于的中位数，B错误．的极差等于的极差，都是正确．若数据大多集中在最小值附近，且最大值较大，则的方差小于的方差，如0，0，1，1，1，1，8的方差小于0，1，1，1，1，8的方差，D错误．11．BC为奇函数且在和上单调递增．的定义域为，则，A错误．的定义域为，故为奇函数．在上单调递增，且值域为．又因为在上单调递增，所以在上单调递增，B正确．的定义域为，则为偶函数，在上单调递减，而是增函数．故在上单调递减，C正确．在上单调递增，且值域为．而在上不单调递增，D错误．12．ACD  设的中点为，连接，作平面，垂足为，以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图1所示的空间直角坐标系．因为，所以．设圆柱被平面所截的截面圆为，在截面中，连接交于点，作，垂足为，如图2．因为，所以．因为圆与和都相切，所以是的角平分线，．因为，所以，A正确．，所以是的中点，在中，，所以点到平面的距离为，C正确．．设，则．因为四点共面，所以，所以解得，所以，D正确．，B错误．     图1                   图213．   ．因为三点共线，所以，解得．14．2  ，当且仅当时，等号成立．15．2  连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系（图略），则．设，．因为，所以，解得，故．16．   设，则直线与函数的图象有3个交点，如图所示．设交点的横坐标分别是，点和点关于直线对称，则．令，则，，因此．17．解：（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得．（2）因为，直线的斜率为2，所以直线的斜率为，所以，解得．18．解：（1）因为为增函数，在上单调递减，所以函数在上单调递减，且，所以解得．（2）因为，所以．故的值域为．19．（1）证明：取的中点，连接．由已知可得，所以，则．因为，所以平面，所以．因为，所以平面．（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．设平面的法向量为，则取，则．设直线与平面所成的角为，所以．故直线与平面所成角的正弦值为．20．解：（1）因为，所以．由余弦定理得．因为，所以．（2）因为的外接圆半径是1，所以．．因为是锐角三角形，所以，所以．，所以．故的取值范围是．21．解：（1）掷出的骰子的点数的样本点总数为36．记事件“掷出的点数之和为3的倍数”，则，有12个样本点．．故第2次由甲投掷的概率为．（2）前4次投掷中，乙恰好投掷2次的情况分以下三种：第一种情况，第1，2次由甲投掷，第3，4次由乙投掷，其概率为，第二种情况，第1，3次由甲投掷，第2，4次由乙投掷，其概率为，第三种情况，第1，4次由甲投掷，第2，3次由乙投掷，其概率为．故前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率为．22．（1）证明：因为底面是正方形，所以．因为平面平面，所以平面．又因为平面平面，所以．因为平面平面，所以平面．（2）解：由题意可得．因为底面是正方形，所以．又因为，所以平面．因为，所以平面．．．以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．点到轴所在平面的距离为，点到轴所在平面的距离为．，设．，设平面的法向量为，则即取，可得．，设平面的法向量为，则即取，可得．设平面与平面的夹角为，则，令，则．．当时，取得最小值，最小值为，所以的最大值为，此时，．故平面与平面的夹角的余弦值的最大值为．