2023-2024学年湖北省武汉市经开外国语学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年湖北省武汉市经开外国语学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.将方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.习近平主席在年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道，下列有关环保的四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.对于抛物线，下列说法中正确的是(    )

A. 开口向上 B. 对称轴是直线
C. 当时，随的增大而增大 D. 函数的最大值是

4.若将方程化成为常数的形式，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，使点恰好落在上，则旋转角度为(    )

A.
B.
C.
D.

6.如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是(    )

A. 点
B. 格点
C. 格点
D. 格点

7.如图是一个长，宽的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的三分之一．设彩条的宽度为，则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

9.已知点，，均在抛物线上，其中若，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.当时，函数的最大值为，则满足的条件为(    )

A.  B. 或或
C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.关于的方程是一元二次方程，则的值为______．

12.平面直角坐标系中，将点绕坐标原点顺时针旋转得点，则点的坐标为______．

13.某工厂七月份出口创汇万美元，因受国际大环境的严重影响，出口创汇出现连续下滑，至九月份时出口创汇下降到只有万美元，设该厂平均每月下降的百分率是，则所列方程是______可不必化成一般形式

14.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度米与小球的运动时间秒之间的关系式是，若抛出小球秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出______秒时，两个小球在空中的高度相同．

15.已知抛物线是常数开口向下，过，两点，且下列四个结论：
；
若，则；
若点，在抛物线上，，且，则；
当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是______填写序号．

16.如图，正方形边长为，点是边上一点，且，为边上一动点，点绕点逆时针旋转至点，则线段的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙、，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地，中间再用铁栅栏分割成两个长方形，铁栅栏总长米，已知墙长米，墙长为米．
设米，则为______米，四边形的面积为______米；
若长方形的面积为平方米，问为多少米？

四、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分
按要求解下列方程：
用配方法解：；
用公式法解：．

19.本小题分

如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为．
______，______，______；
当时，的取值范围是______；
当时，的取值范围是______．

20.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个不相等的实数根；
若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．

21.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，格点在上，请用无刻度的直尺，按要求依次画图，并回答相关问题．
将绕点逆时针旋转得到，点随之旋转，画出，并写出点的对应点的坐标；
画的角平分线；
在上取点，使；
找格点，使，直接写出点的坐标．

22.本小题分
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对天的试销情况进行统计，得到如表数据：

通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量件与单价元件之间存在一次函数关系，求关于的函数关系式不需要写出函数自变量的取值范围；
预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在中的关系，且该产品的成本是元件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
为保证产品在实际试销中销售量不得低于件，且工厂获得的利润不得低于元，请直接写出单价的取值范围．

23.本小题分
问题背景：如图，，，，图中存在一个三角形绕某点旋转得到另一个三角形，直接写出旋转中心和旋转角；
变式运用：如图，为外一点，，，，试探究线段，，之间的数量关系，说明理由；
拓展创新：如图，在菱形中，，，为上的一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交于点，连接，若，直接写出的长．

 

24.本小题分
抛物线交轴于、两点，且经过．
求抛物线的解析式；
如图，直线交轴于点，交抛物线于点和，在轴右侧，若的面积为面积的倍，求值；
如图，点是第二象限的动点，分别连接、，并延长交直线于、两点．若、两点的横坐标分别为、，试探究、之间的数量关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由，得，
所以一次项系数是，
故选：．
首先移项，把移到等号右边，然后再确定一次项系数即可．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项．

2.【答案】 

【解析】解：、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．

3.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该抛物线开口向下，故选项A不符合题意；
对称轴是直线，故选项B不符合题意；
当时，随的增大而减小，故选项C不符合题意；
当时，该函数取得最大值，故选项D符合题意；
故选：．
根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

4.【答案】 

【解析】解：，
，
则，即，
，，
则，
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后得出、的值，继而得出答案．
本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】【分析】
 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是证明为等边三角形．
先利用互余得到，再根据旋转的性质得，等于旋转角，然后判断为等边三角形得到，从而得到旋转角的度数．
【解答】
解：，，
，
绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上，
，等于旋转角，
为等边三角形，
，
即旋转角度为．
故选C．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．
【解答】
解：如图，

连接和两个三角形的对应点；
发现两个三角形的对应点到点的距离相等，因此格点就是所求的旋转中心；
故选B．

7.【答案】 

【解析】解：设彩条的宽度为，根据题意列方程得，
，
故选：．
设彩条的宽度为，表示出两条彩条的面积，根据彩条所占面积是图案面积的三分之一列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，长方形面积的计算方法，解答时注意题目中蕴含的数量关系．

8.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，点关于原点的对称点的坐标为，
此时旋转后抛物线的开口方向相反，即抛物线形状不变，开口向下，顶点坐标为，
所以旋转后的抛物线的解析式为．
故选：．
先确定抛物线线的顶点坐标为，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点变换后所得对应点的坐标为，然后利用顶点式写出旋转后的抛物线．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故的绝对值不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

9.【答案】 

【解析】解：，
，
直线为抛物线的对称轴，
点是该抛物线的顶点，
抛物线的对称轴为，
点，均在抛物线上，且，
，
解得，
故选：．
先证得点是该抛物线的顶点，根据点，均在抛物线上，，可知该抛物线开口向下，对称轴是直线，则，从而可以求得的取值范围，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

10.【答案】 

【解析】解：，
当时，图象在轴右侧，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，图象在轴左侧，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
如图所示：

当时，时，，
解得：，
时，函数的最大值为，
；
当时，时，，
解得：，
时，函数的最大值为，
，即，
当原点在和之间即，且时，有最大值为，
，
综上，或或，
故选：．
根据题意画出函数的抛物线，再分三种情况进行讨论．
本题考查了二次函数的抛物线的性质，解题的关键是把二次函数写成分段函数．

11.【答案】 

【解析】解：方程是一元二次方程，
，
解得：，
故答案为：．
根据一元二次方程的定义得出，再求出即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．

12.【答案】 

【解析】解：如图所示，由图中可以看出点的坐标为．

故答案为．
根据旋转中心为点，旋转方向逆时针，旋转角度，作出点的对称图形，可得所求点的坐标．
本题考查了坐标与图形的变换旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：设该厂平均每月下降的百分率是，
根据题意得：．
故答案为：．
设该厂平均每月下降的百分率是，根据该厂七月份及九月份出口创汇的金额，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：，
该函数的对称轴是直线，
抛出小球秒钟后再抛出同样的第二个小球，两个小球在空中的高度相同，
第二个小球抛出秒时，两个小球在空中的高度相同，
故答案为：．
根据题意和二次函数的性质，可以得到第二个小球抛出多少秒时，两个小球在空中的高度相同．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

15.【答案】 

【解析】解：对称轴，
对称轴在轴右侧，
，
，
，
故正确；
当时，对称轴，
，
当时，，
，
，故错误；
由题意，抛物线的对称轴是直线，，
点，在抛物线上，，且，
点到对称轴的距离点到对称轴的距离，
，故正确；
设抛物线的解析式为，
方程，
整理得，，

，
，，
，
关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故正确，
故答案为：．
正确．根据对称轴在轴的右侧，可得结论；
错误．；
正确．由题意，抛物线的对称轴是直线，，由点，在抛物线上，，且，推出点到对称轴的距离点到对称轴的距离，推出；
正确，证明判别式即可．
本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，作，过点作于，延长，交于点，过点作，

点绕点逆时针旋转至点，
，，
又，，
≌，
，
，
，
，
点在平行于且与的距离为的直线上运动，
当点在上时，有最小值，
，，
，，
，，，
，，
的最小值，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，可得点在平行于且与的距离为的直线上运动，则当点在上时，有最小值，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点的运动轨迹是本题的关键．

17.【答案】   
由题意，得：，
整理，得：，
解得：或，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
答：米，长方形的面积为平方米． 

【解析】解：设米，则米．四边形的面积为米，
故答案为：，；

见答案
【分析】
根据铁栅栏总长为米可得的长，再根据矩形的面积公式可得四边形的面积；
根据题意列出关于的一元二次方程，解之求得的值，再依据两面墙的长度取舍即可得．
本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意表示出解题所需线段的长度，并依据矩形的面积公式列出关于的方程．

18.【答案】解：，
，
，
，
解得，．
，
，，，
，
，
解得，． 

【解析】利用配方法解方程，两边同时加一次项系数一半的平方，配方解方程；
利用求根公式解答．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．

19.【答案】        或 

【解析】解：由图象可得，
把代入得，
解得，
故答案为：；；．
抛物线顶点坐标为，图象开口向下，
当时，，
时，．
故答案为：．
点横坐标为，点横坐标为，
或时，抛物线在直线下方，
故答案为：或．
由图象顶点可得与的值，将点坐标代入解析式求的值．
由抛物线开口向下及对顶点坐标可得最大值为，时取最小值．
根据图象抛物线与直线交点横坐标求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数与方程及不等式的关系．

20.【答案】证明：，，，

，
方程总有两个不相等的实数根；
解：由题意得：
，
解得：，
，
，
，
的值为． 

【解析】利用根的判别式，进行计算即可解答；
利用根与系数的关系和已知可得，求出，的值，再根据，进行计算即可解答．
本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的关键．

21.【答案】解：如图，，点即为所求，．
如图，线段即为所求．
如图，点即为所求．
如图，点，点即为所求，，．
 

【解析】利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可．
连接交于点，线段即为所求．
取格点，连接交于点，点即为所求．
构造全等三角形≌，再作出点关于的对称点，可得结论．
本题考查作图旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

22.【答案】解：设关于的函数关系式为，
将，代入得：
，
解得，
；
设工厂获得利润为元，
，
，
时，有最大值，
为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为元；
根据题意得：
，
解得：，
单价的取值范围是． 

【解析】设，根据表中数据，利用待定系数法求解可得；
设工厂获得的利润为元，根据：“总利润每件利润销售量”，列函数解析式并配方可得其最值情况；
根据销售量件、获得的利润元列不等式组，解不等式组可得．
本题考查了二次函数的应用：先根据实际问题得到二次函数的解析式，再得到顶点式，当，二次函数有最大值，即时，的最大值为，然后利用二次函数的性质解决有关问题．也考查了待定系数法求函数的解析式以及一次函数的应用．

23.【答案】解：，
，
在和中，
，
≌，
绕点逆时针旋转度，可得．
旋转中心为，旋转角为；

结论：．
理由：如图中，作交于点设交于点．

，
，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
；

如图中，连接，过点作于点，设．

，，，
≌，
，
，，，四点共圆，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
负根已经舍去，
 

【解析】根据旋转变换的性质判断即可；
结论：如图中，作交于点设交于点证明≌，推出，，再证明四边形是平行四边形，推出，可得结论；
如图中，连接，过点作于点，设利用勾股定理，构建方程求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

24.【答案】解：根据题意得，
解得，
抛物线解析式为；

的面积为面积的倍，
设点横坐标为，点横坐标为，
直线交轴于点，交抛物线于点和，
，
，
点横坐标，点横坐标为此方程的两根，即，，
由根与系数的关系可知，解得或，
，
，则有，，
，
；

如图，过点作于点，交轴于点，

抛物线交轴于、两点，
、，
直线轴，
∽，
，
设，
，
，
同理可得，
． 

【解析】将、代入中可得、的值，据此可得抛物线的解析式；
由题意可设点横坐标为，点横坐标为，联立可得，推出，，由根与系数的关系可求得、的值；
过点作于点，交轴于点，易得、，证明∽，设 ，由相似三角形的性质可得与的关系，同理可得与的关系，进而得到的值．
本题是二次函数综合题，考查了一元二次方程的根与系数的关系，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合应用等知识，解题的关键是要注意数形结合思想，方程思想的应用．