专题06 整式的加减重难点题型专训（十一大题型）-2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

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专题06整式的加减重难点题型专训【十一大题型】
【题型目录】

【知识梳理】

【经典题型一同类项的判断】
【例1】（2022秋·湖南永州·七年级统考期中）下列各组单项式中，是同类项的是(    )
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】B
【分析】根据同类项的定义即可求解，所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项．
【详解】解：A、与，字母相同，但对应字母的次数不同，不是同类项，故该选项不符合题意；
B、与是同类项，故该选项符合题意；
C、与，所含字母不尽相同，不是同类项，故该选项不符合题意；
D、与，字母相同，但对应字母的次数不同，不是同类项，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．

【变式训练】
1．（2022秋·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）下列各组单项式中，是同类项的是（   ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【分析】根据同类项所含的字母相同，相同字母的指数相同，逐一分析判定即得，其中的π表示圆周率，是数字因数，不是字母因数．
【详解】A. 与，与不是同类项，不合题意；
B. 与，    与是同类项，符合题意；
C. 与，    与不是同类项，不合题意；
D. 与，与不是同类项，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同类项，解决问题的关键是熟练掌握同类项的定义．
2．（2022·全国·七年级假期作业）在下列单项式中：①；②； ③； ④； ⑤；⑥，说法正确的是（　　　）
A．②③⑤是同类项 B．②与③是同类项
C．②与⑤是同类项 D．①④⑥是同类项
【答案】B
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），即可判断．
【详解】解：A、②③是同类项，⑤与②③不是同类项，故不符合题意；
B、②与③是同类项，故符合题意；
C、②和⑤所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故不符合题意；
D、①④⑥所含字母不同，不是同类项．故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了同类项的判定，掌握同类项的定义，所含字母相同，且相同字母的指数相等，是判断同类项的关键．
3．（2020秋·江苏连云港·七年级江苏省新海高级中学校考期末）有下列四对单项式：
（1）与；（2）与；（3）与；（4）与．其中所有不是同类项的序号为
【答案】（1）（2）
【分析】根据同类项的定义，即可求得．
【详解】根据同类项的定义，与是同类项，与是同类项
故答案为：（1）（2）
【点睛】本题考查同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．
4．（2020秋·七年级校考课时练习）在多项式中，同类项有；
【答案】-2x，5x
【解析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．
【详解】解： -2x与5x是同类项；
故答案为：-2x，5x．
【分析】本题考查了同类项的知识，解题的关键是掌握同类项的定义．
5．（2023秋·六年级单元测试）若与的和是单项式，则m＋n＝．
【答案】5
【分析】根据与的和是单项式，可知与是同类项，可得m-1=2，2n-1=3，据此即可解答．
【详解】解：∵与的和是单项式，
∴与是同类项，
∴m-1=2，2n-1=3，
解得m=3，n=2，
∴m+n=3+2=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了同类项概念的应用，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
6．（2022秋·全国·七年级期末）若与是同类项，试求的值．
【答案】
【分析】根据同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得x，y的值，再将整式化简代入即可得到答案．
【详解】解：由与是同类项，知，
可得，
所以当时，
原式
．
【点睛】本题主要考查同类项的定义和整式的化简，利用相同字母指数相同来求解是解题的关键．
7．（2021秋·江苏·七年级专题练习）把(x－y)看成一个整体合并同类项：5(x－y)2＋2(x－y)－3(x－y)2＋(x－y)－3.5.
【答案】2(x－y)2＋(x－y)－3.5
【分析】由题意可知把看成一个整体，根据合并同类项的法则进行计算即可.
【详解】原式


【点睛】本题主要考查了合并同类项，掌握合并同类项的法则是解题的关键．



【经典题型二合并同类项问题】
【例2】（2022秋·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）下列运算中，正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用合并同类项的方法，逐一判断即可．
【详解】A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查同类项的定义及合并同类项的运算，熟练掌握合并同类项只是把同类项的系数相加减，字母和字母的次数不变是解此题的关键．

【变式训练】
1．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）已知关于，的整式与的和为单项式，则的值为（      ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】此题分两种情况进行讨论，当合并结果为的同类项时，则；当合并结果为的同类项时，则，根据算式分别求出即可．
【详解】解：∵与的和为单项式，
∴当合并结果为的同类项时，则，
得．
∴．
当合并结果为的同类项时，则，
得．
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是根据已知求出a、b的值．
2．（2022秋·江苏扬州·七年级校考期中）下列合并同类项中，正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用合并同类项法则判断得出即可．
【详解】A、无法计算，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】此题主要考查了合并同类项，正确把握合并同类项法则是解题关键．
3．（2022秋·山东德州·七年级校考期末）已知m、n为常数，代数式化简之后为单项式，则的值有个．
【答案】3
【分析】代数式化简之后为单项式，代数式能进行合并，根据同类项的概念即可求解．
【详解】若与为同类项，且系数互为相反数，
∴，
∴或
∴或
若与为同类项，且系数互为相反数，
∴，
∴或
∴或
综上所述：的值有3个，
故答案为：3
【点睛】本题考查同类项的概念，解题的关键是能够进行分情况讨论．
4．（2022秋·云南楚雄·七年级统考期末）若，则．
【答案】5
【分析】由题意，得：为同类项，利用同类项的定义，字母和字母的指数都相同，求出，再代值计算即可．
【详解】解：，
∴为同类项，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值．熟练掌握同类项的定义，是解题的关键．
5．（2023·全国·九年级专题练习）合并同类项＝．
【答案】x2﹣x+1
【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可解答．
【详解】解：3x2﹣2x﹣2x2+x+1＝x2﹣x+1，
故答案为：x2﹣x+1．
【点睛】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
6（2022秋·江苏常州·七年级统考期中）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）原式合并同类项即可得到结果；
（2）原式去括号合并即可得到结果；
（3）原式去括号合并即可得到结果．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式

；
（3）解：原式

．
【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号，合并同类项法则．
7．（2023·江苏·七年级假期作业）定义一种新运算：对于任意有理数和，有，为常数且，如：．
(1)①＝　　（用含有m，n的式子表示）；
②若，求的值；
(2)请你写出一组m，n的值，使得对于任意有理数，，均成立．
【答案】(1)①；②
(2)，（答案不唯一）

【分析】（1）①根据所给的新运算，把相应的数代入运算即可；
②根据所给的新运算，把相应的数代入运算即可；
（2）对比与，结合条件从而可求解．
【详解】（1）①

，
故答案为：；
②，
，
整理得：，



；
（2），，
，
，
，
，
则或，
当时，对于任意有理数，，均成立，
当，时，均成立（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查列代数式，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．


【经典题型三已知同类项求指数中字母或代数式的值】
【例3】（2023秋·全国·七年级专题练习）如果单项式与
的和仍然是一个单项式，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知单项式与是同类项，再根据同类项，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得和的值，从而得结论．
【详解】解：单项式与的和仍然是一个单项式，
单项式与是同类项，
，，
解得：，，
．
故选：．
【点睛】此题主要考查了同类项，熟记同类项的定义是解答本题的关键．

【变式训练】
1．（2022秋·江苏宿迁·七年级统考期末）若与是同类项，则等于（    ）
A．5 B． C．7 D．
【答案】A
【分析】根据同类项的定义，即所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，即可求出m，n的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：与是同类项，
，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了同类项的定义及应用，熟练掌握和运用同类项的定义是解决本题的关键．
2．（2022秋·广东广州·七年级校联考期中）若关于x，y的单项式与是同类项，则（    ）
A．1 B．1或3 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据同类项的定义得出，，且，求出a、b的值，再代入数据求值即可．
【详解】解：∵关于x，y的单项式与是同类项，
∴，，且，
∴，，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类项的定义，绝对值的意义，代数式求值，解题的关键是熟练掌握同类项的定义，含有字母相同，相同字母的指数相同．
3．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）若是单项式，则．
【答案】
【分析】根据题意得出与是同类项，再由定义即可求出，的值，最后代入求值即可．
【详解】∵是单项式，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了合并同类项，利用单项式的和差是单项式得出同类项是解题关键．
4．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）已知单项式与是同类项，则代数式的值是．
【答案】2023
【分析】根据同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，求得，再整体代入计算即可．
【详解】解：根据同类项的定义得：，，
即，
∴．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了同类项的定义，代数式的求值，掌握同类项的定义是解题的关键，即：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
5（2022秋·陕西渭南·七年级统考期中）若单项式与是同类项，则的值为．
【答案】64
【分析】先根据同类项的定义求出的值，然后化简原式，把的值代入化简后的原式求解即可．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴，
又∵



∴原式
．
故答案为：64．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值以及同类项的定义，利用同类项的定义求出的值是解题的关键．
6．（2022秋·云南昭通·七年级校联考期中）若与是同类项，其中互为倒数，求的值．
【答案】
【分析】根据同类项的定义及互为倒数，判断出、的值，代入化简后的整式中及可求解；
【详解】解：根据题意，得：，，
∴或，，
又∵，互为倒数，
∴，，
∵


当，时，原式
【点睛】本题主要考查同类项的概念，倒数以及整式的化简求值，掌握同类项的概念是解题的关键．
7．（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）整式化简求值：若单项式与单项式是同类项，试求的值．
【答案】，
【分析】先去括号合并同类项化简，再利用同类项定义求出x与y的值，代入计算即可求出值
【详解】

，
∵单项式与单项式是同类项，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，以及整式的加减－化简求值，一般先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的值或代数式的值代入计算．



【经典题型四去括号与添括号】
【例4】（2023·上海·七年级假期作业）下列去括号或添括号正确的是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据去括号法则或添括号法则计算判断即可．
【详解】解：A．，故本选项错误；
B．，故本选项错误；
C．，故本选项正确；
D．，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了去括号法则，添括号法则，熟练掌握法则是解题的关键．


【变式训练】
1．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期中）下列去括号错误的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据去括号法则，逐一进行计算判断即可．
【详解】解：A、，选项正确，不符合题意；
B、，选项正确，不符合题意；
C、，选项错误，符合题意；
D、，选项正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查去括号．熟练掌握去括号法则：括号前为“＋”，括号里面的每一项符号不变，括号前为“－”，括号里面的每一项的符号都要发生改变，是解题的关键．
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）下列各题中，正确的是（   ）
①﹣[5a﹣(3a﹣4)]＝2a+4
②a﹣3b+c﹣3d＝(a+c)﹣3(b+d)
③a﹣3(b﹣c)＝a﹣3b+c
④(x﹣y+z)(x+y﹣z)＝[x﹣(y﹣z)][x+(y﹣z)]．
A．①② B．②④ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【分析】根据去括号法则及合并同类项法则逐一求解分析即可。
【详解】解：①﹣[5a﹣（3a﹣4）]＝﹣（5a﹣3a+4）＝﹣（2a+4）＝﹣2a﹣4，故错误；
②因为(a+c)﹣3(b+d)=a+c-3b-3d=a﹣3b+c﹣3d，所以②正确；
③a﹣3（b﹣c）＝a﹣3b+3c，故错误；
④因为[x﹣(y﹣z)][x+(y﹣z)]= (x﹣y+z)(x+y﹣z)，所以④正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了去括号法则及合并同类项法则，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键。
3．（2023秋·七年级单元测试）已知，，则．
【答案】3
【分析】把化为，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴


．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键．
4．（2021秋·七年级课时练习）在下列各式的括号内填上恰当的项：
（1）( )；      
（2）-( )+d；
（3）( )；    
（4）( )．
【答案】
【分析】（1）利用添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号，进而得出答案；
（2）利用添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号，进而得出答案；
（3）利用添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号，进而得出答案；
（4）利用添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号，进而得出答案．
【详解】解：（1）−a＋b−c＋d＝−a＋（b−c＋d）；
故答案为：b−c＋d；
（2）−a＋b−c＋d＝−（a−b＋c）＋d；
故答案为：a−b＋c；
（3）−a＋b−c＋d＝−a＋b−（c−d）；
故答案为：c−d；
（4）−a＋b−c＋d＝−（a−b＋c−d）．
故答案为：a−b＋c−d．
【点睛】本题主要考查了添括号法则，正确掌握添括号法则是解题关键．
5．（2021秋·四川绵阳·七年级校考阶段练习）已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图，化简的结果是．

【答案】a
【分析】据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【详解】解：由图可知：，
∴，，，
∴，
故答案为：a．
【点睛】此题考查了数轴，整式的加减以及化简绝对值，根据题意得出绝对值里边式子的正负是解本题的关键．
6．（2023秋·云南昭通·七年级统考期中）阅读材料：我们知道，类似地，我们把看成一个整体，则．我们称这种解题方法为“整体思想”．
(1)把看成一个整体，合并________；
(2)已知，求的值；
(3)已知，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)8

【分析】（1）把看作是整体，直接合并同类项即可；
（2）先把化为，再整体代入计算即可；
（3）先去括号，再添括号，再整体代入求值即可．
【详解】（1）解：

；
（2）∵，
∴


；
（3）∵，，，
∴



．
【点睛】本题考查的是合并同类项，利用整体代入法求解代数式的值，熟练的利用整体思想解决问题是解本题的关键．
7．（2023秋·浙江·七年级专题练习）已知，．
(1)当m、n异号时，求的值；
(2)求的最大值．
【答案】(1)的值或3；
(2)的最大值为5

【分析】（1）根据绝对值的性质得，，再根据m、n异号，分两种情况求出的值；
（2）在（1）的基础上分四种情况求的值，比较后确定最大值．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵m、n异号，
①，，，
②，，，
∴的值或3；
（2）①，，，
②，，，
③，，，
④，，，
∵，
∴的最大值为5．
【点睛】本题主要考查了绝对值，代数式求值，掌握绝对值的意义是解题关键．


【经典题型五已知字母的值求代数式的值】
【例5】（2022秋·四川成都·七年级校联考期中）若，且，则的值是（    ）
A．和 B．39和 C．和33 D．和33
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质可求出x与y的值，然后代入原式即可求出答案.
【详解】解：由题意可知：，
，
或，
当时，，
当时，，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，绝对值，解题的关键是熟练运用有理数的加减运算，本题属于基础题型.

【变式训练】
1．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）若，则代数式的值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性，求得的值，代入代数式求值即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：
∴


，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值，求得是解题的关键．
2．（2022秋·甘肃庆阳·七年级统考期中）在中，是负数的个数为，是分数的个数为，是正整数的个数为，则的值为（    ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】根据有理数的分类，确定的值，将的值代入代数式，进行计算即可．
【详解】解：中，
是负数，是分数，没有正整数，
∴，，；
∴；
故选A．
【点睛】本题考查有理数的分类，代数式求值．熟练掌握有理数的分类，是解题的关键．
3．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）当时，代数式，当时，．
【答案】
【分析】先把代入，可得的值,再把代入得,变形后再次把的值代入计算即可．
【详解】把代入得，
∴，
再把代入得


．
【点睛】此题考查代数式求值，解题关键在于把的值代入和整体思想的应用．
4．（2022秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）若与互为相反数，与互为倒数，是绝对值最小的数，则．
【答案】3
【分析】根据与互为相反数，与互为倒数，是绝对值最小的数得到代入计算即可．
【详解】∵与互为相反数，与互为倒数，是绝对值最小的数，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了相反数的性质，倒数即乘积为1的两个数；绝对值的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
5．（2023·北京·九年级专题练习）四个互不相等的实数，，，在数轴上的对应点分别为，，，，其中，，为整数，．
（1）若，则，，中与距离最小的点为；
（2）若在，，中，点与点的距离最小，则符合条件的点有个．
【答案】
【分析】（1）根据已知求得，进而分别求得，，中与距离，即可求解；
（2）由（1）可知，当时，点与点的距离最小，不合题意，然后分别取到的整数，进而分别求解即可．
【详解】解：如图所示，
  
∵，
当，
∴
∵，，
∴，，中与距离最小的点为，
故答案为：．
（2）∵
由（1）可知，当时，点与点的距离最小，不合题意，
当时，，，，不合题意，
当时，，，，不合题意，
当时，，，，不合题意，
当时，，，，不合题意，
当时，，，，不合题意，
当时，，，，不合题意，
当时，，，，符合题意，
当时，，，，符合题意，
当时，，，，符合题意，
当时，，，，符合题意，
  
综上所述，符合条件的点有个，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了代数式求值，数轴上两点的距离，数形结合是解题的关键．
6．（2022秋·湖南永州·七年级统考期中）已知：，
(1)若，求的值；
(2)若代数式的的值与无关，求此时的值．
【答案】(1)52
(2)

【分析】（1）若，则，，求出、的值各是多少，即可求出的值是多少；
（2）化简代数式，令a的系数为0，即可；
【详解】（1）由题可得，，所以，

把，
代入得：原式
（2）
由题可得
得
【点睛】此题主要考查了整式的加减化简求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
7．（2023春·湖南郴州·七年级校考开学考试）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法．


【经典题型六已知式子的值求代数式】
【例6】1（广东省中山市中山一中教育集团2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）若代数式的值为2，则代数式的值为（　　）
A．30 B． C． D．26
【答案】D
【分析】先根据题意得，再进一步整理，整体代入求出答案即可．
【详解】解：，




故选：D．
【点睛】本题考查代数式求值，掌握整体代入的方法是解决问题的关键．


【变式训练】
1．（2023春·江苏扬州·七年级统考期中）已知，那么的值是（    ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】D
【分析】先将降次为，然后代入代数式，再根据已知条件即可求解．
【详解】解：∵，
∴，则，
∴



，
故选：D．
【点睛】本题考查了已知代数式的值求代数式的值，解决本题的关键是要将未知代数式进行降幂．
2．（2022秋·安徽芜湖·七年级校考期中）当时，；当时，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将，代入式子得到，把代入后变形，再代入即可求出最后结果．
【详解】解：将，代入式子得：，
将，代入式子得：，
故选：．
【点睛】本题考查了代数式求值，能够求出式子的值整体代入是解答本题的关键．
3．（2022秋·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）已知，互为相反数，，互为倒数，，的绝对值为2，则的值为.
【答案】或
【分析】首先根据题意求出、、、、的值，然后代入所求式子进行计算即可得.
【详解】解：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为，
，，，，，
即，，，，，
当时，，
当时，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了相反数、倒数、绝对值的性质、有理数的混合运算等，熟练掌握运算法则并运用分类讨论思想是解本题的关键．
4．（2023秋·重庆南岸·七年级校考期末）若，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为2，则．
【答案】
【分析】根据相反数、倒数以及绝对值的定义得到，，，，然后代入计算即可得出答案．
【详解】∵，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为2，
∴，，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，涉及到绝对值、相反数、倒数，代数式求值，正确理解绝对值、相反数、倒数的定义是解题的关键．
5．（2023春·河南南阳·七年级统考期中）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法．已知等式对x取任意有理数都成立，例如给x赋值时，可求得．请再尝试给x赋其它的值并结合学过的方程知识，求得的值为．
【答案】41
【分析】根据题干给出的信息，令，得出，令，得出，把代入得出，即可求出结果．
【详解】解：令，则，
即，
∴，
令，则，
即，
把代入得：
，
整理得：，
解得：．
故答案为：41．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是理解题意，得出，．
6．（2022秋·安徽芜湖·七年级校考期中）“整体思想”是一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如，把看成一个整体，则．
(1)已知，求的值；
【拓展提高】
(2)已知，，求的值；
(3)已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）将前两项运用乘法分配律变成的形式，再整体代入求值即可；
（2）将整式先去括号合并同类项，再整体代入求值即可；
（3）将整式转变成的形式，在整体代入求值即可．
【详解】（1）解：，
，
原式；
（2）

，
，，
原式；
（3）

，
，，
原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握合并同类项法则、去括号法则及整体代入的思想是解决本题的关键．
7．（2022秋·江西抚州·七年级统考期中）已知，．
(1)求；
(2)当，时，求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）去括号，合并同类项即可求解；
（2）把，，代入化简后的整式，计算即可．
【详解】（1）



．
（2）当，时．



．
【点睛】本题考查整式的加减—化简求值，掌握整式的加减—化简求值的步骤，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，去括号注意变号是解题的关键．



【经典题型七整式的加减运算】
【例7】（2023春·云南昭通·七年级统考期末）某同学在完成化简：的过程中，具体步骤如下：
解：原式①
②
③
以上解题过程中，出现错误的步骤是（    ）
A．① B．② C．③ D．①，②，③
【答案】C
【分析】根据整式的加减计算中，去括号的法则即可求解．
【详解】错误的步骤是③
正确的解答过程如下：
原式①
②
③
故答案为：C
【点睛】本题考查了整式的加减，在去括号的时候要注意符号的变化，合并同类项时，系数相加减．


【变式训练】
1．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）有三个人数均相等的学习小组（小组人数足够多）分别记为智慧小组、创新小组、高效小组，依次完成以下三个步骤：第一步，智慧小组2人去创新小组；第二步，高效小组3人去创新小组；第三步，智慧小组还有几个人，创新小组就去多少人到智慧小组最终创新小组的人数为（    ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】设三个小组人数都为x，根据题目所给的步骤进行计算即可．
【详解】解：设三个小组人数都为x，
第一步：
智慧小组：人
创新小组：人，
高效小组：x人；
第二步：
智慧小组：人
创新小组：人，
高效小组：人；
第三步：
创新小组：（人），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出代数式．
2．（2022秋·河北廊坊·七年级校联考期中）数学课上，老师在讲《多项式的加减》这一节时，老师利用多媒体投影将小高的作业投影到白板上：，其中★代替的地方被钢笔墨水弄脏了，那么★对应的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据题意列出代数式，再根据整式加减运算法则计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查了整式的加减等知识点，熟练加减运算法则是解本题的关键．
3．（2023秋·重庆南岸·七年级校考期末）若，，则代数式．
【答案】
【分析】把已知式子变形后代入要求的式子即可．
【详解】∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想是解题的关键．
4（2022秋·江西抚州·七年级统考期中）已知，，则．
【答案】
【分析】直接两式相减即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值，也考查了整式加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键．
5．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）一个多项式加得，则这个多项式为．
【答案】
【分析】列出代数式计算即可．
【详解】∵一个多项式加得，
∴这个多项式为

，
故答案为：．
【点睛】本题考查了添括号，去括号，整式的加减，熟练掌握去括号，整式的加减是解题的关键．
6．（2022秋·湖北黄冈·七年级校考期中）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）去括号，合并同类项计算即可．
（2）合并同类项计算即可．
【详解】（1）


．
（2）

．
【点睛】本题考查了去括号，合并同类项，熟练掌握去括号法则，准确进行整式的加减运算是解题的关键．
7．（2022秋·江西景德镇·七年级统考期中）计算：
①               
②
③   
④
【答案】①；②；③；④
【分析】①先去括号，然后合并同类项；
②合并同类项即可求解；
③将看作整体，直接合并同类项；
④先去括号，然后合并同类项，即可求解．
【详解】解：①  

；             
②

；
③  


④


．
【点睛】本题考查了正式的加减运算，熟练掌握去括号与合并同类项是解题的关键．


【经典题型八整式加减的应用】
【例8】（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）如图，小明计划将正方形菜园分割成三个长方形①②③和一个正方形④．若长方形②与③的周长和为，则正方形与正方形④的周长和为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设长方形②的宽为，长为，则长方形③的长为，设长方形③的宽为c，根据图形可得，进而得出正方形④的周长为，正方形的边长为，根据整式的加减即可求解．
【详解】解：如图所示，设长方形②的宽为，长为，则长方形③的长为，设长方形③的宽为c，
  
则，
∴，
即，
∵④是正方形
∴正方形④的周长为，正方形的边长为
∴与正方形④的周长和为，
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减的应用，根据题意列出代数式是解题的关键．

【变式训练】
1．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）如图，两个面积分别为10，17的图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为a，，则的值为（    ）
  
A．7 B．14 C． D．
【答案】B
【分析】直接利用已知图形得出空白面积−(空白面积)=大正六边形−小正六边形，进而得出答案．
【详解】∵两个面积分别为10，17的图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为a，，
∴空白面积−(空白面积)=大正六边形−小正六边形
∴
故答案选：B．
【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是熟练的掌握整式的加减运算．
2．（2022秋·河北廊坊·七年级校联考期中）在明代的《算法统宗》中，将用格子计算两个数相乘的方法称作“铺地锦”．如图1，计算，将乘数42记在格子上面，乘数38记在格子右侧，然后用乘数42的每位数字乘以乘数38的每位数字，将结果记人相应的格子中，最后按斜行加起来，得到1596．如图2，用“铺地锦”的方法表示两位数相乘，下列结论不正确的是（    ）

A．的值为6 B．的值为偶数
C．乘积的结果可以表示为 D．的值大于3
【答案】D
【分析】根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立等式即可做出判断．
【详解】解：用“铺地锦”的方法将图2补充完整如下所示：

则，，
解得，，乘积结果为，
由此可知，结论正确的是选项A、B、C，
故选：D．
【点睛】本题考查了整式加减的应用等知识点，理解题中的利用“铺地锦”计算两个数相乘的方法是解题关键．
3．（2023·四川德阳·统考中考真题）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则．
16




7
4


【答案】39
【分析】设第一列中间的数为，则三个数之和为，再一次把表格的每一个数据填好，从而可得答案．
【详解】解：如图，设第一列中间的数为，则三个数之和为，可得：
16




7
4


∴，
故答案为：39
【点睛】本题考查的是列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意，设出合适的未知数是解本题的关键．
4．（2022秋·江苏镇江·七年级统考期中）如图，把五个长为、宽为的小长方形，按图1和图2两种方式放在一个宽为的大长方形上（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）．设图1中两块阴影部分的周长和为，图2中阴影部分的周长为，若大长方形的长比宽大，则的值为．
  
【答案】10
【分析】先将图1拆成两个长方形，分别算出两个长方形的长和宽即可求出；将图2的每条边长都求出来，相加即可求出；再根据“大长方形的长比宽大”得到等式，代入中即可得出答案．
【详解】解：由图可知，
，
，
∴，
又，
整理得：，
∴



．
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是整式的加减，解题的关键是理解题意，根据图形将表示出来，得出等式．
5（2023春·重庆丰都·八年级统考期末）已知任意一个三位数m，百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c（其中）．m的前两位数字组成的两位数与m的个位上的数字的和记为，交换m的百位数字和十位数字并用这两位数字组成的新两位数与m的个位数字的和记为．当能被7整除时，所有符合条件的m的最大值为．
【答案】
【分析】由题意可分别得到、的表达式，可得的表达式，再根据能被7整除入手考虑即可求得m的最大值．
【详解】解：由题意知：，，
∴



；
∵能被7整除，
∴是7的倍数；
∵，
∴；
当是7的倍数时，21最大时，
当时，则，有，此时，；
当时，则，但，与矛盾，不合题意；
当时，，则，即m的值小于654；
综上，m的最大值是654．
【点睛】本题是数字问题，考查了列代数式，整式的加减运算，正确理解题意是解题的关键．
6．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）随着生活水平的提高，改善型住宅已成为人们购房趋势．小王家新买了一套商品房，其建筑平面图如图所示（单位：米）．
  
(1)这套住房的建筑总面积是________平方米．（用含、的式子表示）
(2)已知，且客厅面积是卧室①面积的倍，求小王家这套住房的建筑总面积．
(3)在（2）的条件下，小王准备将房子的地面铺上地砖，他找到装修公司共同确定了选用材料的品牌、规格及品质要求，装修公司的报价如下：客厅地面220元/平方米，书房和两个卧室地面200元/平方米，厨房和卫生间地面180元/平方米．求小王铺地砖的总费用．
【答案】(1)
(2)101平方米
(3)20320元

【分析】（1）根据图形，可以用代数式表示这套住房的建筑总面积；
（2）客厅面积是卧室①面积的倍求出b的值，然后再代入（1）中的代数式即可求得小王家这套住房的总面积；
（3）根据住房的面积×每平方米的单价计算出总费用即可．
【详解】（1）解：由题意可得：这套住房的建筑总面积是：
平方米，
即这套住房的建筑总面积是平方米．
故答案为：．
（2）解：由题意可得：，
，
总面积（平方米）．
（3）解：总费用

（元）．
答：小王铺地砖的总费用是20320元．
【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值等知识点，明确题意，列出相应的代数式是解题的关键．
7．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠政策，规定如下：
一次性购物
低于200元
低于500元但不低于200元
大于或等于500元
优惠方法
不予优惠
九折优惠
其中500元部分给予九折优惠，
超过500元部分给予八折优惠
(1)李老师一次性购物800元，他实际付款______元？
(2)若顾客在该超市一次性购物元，当低于500元但不低于200元时，他实际付款______元；当大于或等于500元时，他实际付款______元．
(3)如果李老师两次购物合计900元，第一次购物为元（），用含的式子分别表示李老师两次购物实际付款多少元？
【答案】(1)690
(2)，
(3)第一次元，第二次元

【分析】（1）让500元部分按9折付款，剩下的300元按8折付款即可；
（2）等量关系为：当小于500元但不小于200元时，实际付款购物款折；当大于或等于500元时，实际付款折超过500的购物款折；
（3）第一次购物李老师实际付款第一次购物款折，第二次购物李老师实际付款折（总购物款第一次购物款第二次购物款折，把相关数值代入即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，李老师一次性购物800元，他实际付款：
（元）．
故答案为：690；
（2）若顾客在该超市一次性购物元，
当小于500元但不小于200时，他实际付款元；
当大于或等于500元时，他实际付款元．
故答案为：，；
（3）第一次购物实际付款元；
第二次购物实际付款元．
【点睛】本题考查了列代数式以及有理数的混合运算，解决本题的关键是得到不同购物款所得的实际付款的等量关系，难点是求第二问的第二次购物款应分9折和8折两部分分别计算实际付款．




【经典题型九整式的加减中的化简求值问题】
【例9】（2022秋·河北·七年级校联考阶段练习）小明在计算多项式减去多项式时，误计算成加上这个多项式，结果得到答案，若，互为倒数，则多项式的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出M，再根据，互为倒数，即，代入计算即可．
【详解】解：根据题意，得

∴


∵，互为倒数，即，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了整式的加减运算，倒数，正确掌握相关运算法则是解题关键．

【变式训练】
1．（2021秋·福建漳州·七年级统考期中）若代数式，则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由可得再把化为，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴
∴



故选B.
【点睛】本题考查的是已知式子的值，求代数式的值，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键．
2．（2022秋·贵州六盘水·七年级统考期中）若当x＝2时，，则当x＝－2时，求多项式的值为（    ）
A．－5 B．－2 C．2 D．5
【答案】B
【分析】将x＝2代入，得，进而得，将x＝－2代入，得代数式，利用整体思想代入即可求解．
【详解】解：将x＝2代入，得
∴
将x＝－2代入，得=1-3=-2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式中的整体思想，根据已知条件找出含字母部分的倍分关系是解题的关键．
3．（2023·上海·七年级假期作业）如果和互为相反数，那么多项式的值是．
【答案】11
【分析】先根据整式的运算法则进行化简，再利用相反数的定义即可求出答案．
【详解】解：



和互为相反数，
，
原式，
故答案为11．
【点睛】本题考查了代数式化简求值，相反数，熟练掌握相反数的性质、去括号法则和合并同类项法则是解题关键．
4．（2022秋·河北保定·七年级统考期中）已知，b与互为倒数．
（1）的值为；
（2）整式的值为．
【答案】
【分析】（1）根据多重符号化简，以及互为倒数的两数之积为1，求出的值，再求出的值即可；
（2）先合并同类项，再代入的值，进行计算即可．
【详解】解：（1）∵， b与互为倒数，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）原式，
由（1）知：，
∴原式；
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，以及整式加减中的化简求值．熟练掌握多重符号化简和互为倒数的两数之积为1，是解题的关键．
5．（2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中）对于任何有理数，我们规定符号的意义是，如，当时，值为．
【答案】
【分析】根据非负数的性质先求解，，再把化简，再把，代入计算即可．
【详解】解：，
，，
，，
∴

，

，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是非负数的性质，整式的加减运算的化简求值，理解新定义运算的含义是解本题的关键．
6（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据去括号法则，合并同类项法则，进行化简，根据非负性求出的值，再进行计算即可．
【详解】解：原式
；
∵，
∴
原式．
【点睛】本题考查整式加减中的化简求值．熟练掌握去括号法则，合并同类项法则，以及非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键．
7．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）已知，．
(1)用x，y表示代数：；
(2)如果，当，时，求多项式C的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）去括号，合并同类项进行计算即可；
（2）先求出多项式C，再代值计算即可．
【详解】（1）解：原式

；
（2）∵，
∴


；
当，时，
原式

．
【点睛】本题考查整式的加减运算．熟练掌握去括号，合并同类项法则，正确的计算，是解题的关键．




【经典题型十整式加减中的无关型问题】
【例10】（2022秋·八年级单元测试）关于x，y的代数式中不含有二次项，则k的值为（    ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】直接利用合并同类项法则得出关于k的等式，进而得出答案．
【详解】解：


关于x，y的代数式中不含有二次项，
，
解得，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了合并同类项，正确得出是解题的关键．


【变式训练】
1．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）已知多项式，．小希在计算时把题目条件错看成了，求得的结果为，那么小希最终计算的中不含的项为（    ）
A．五次项 B．三次项 C．二次项 D．常数项
【答案】C
【分析】先根据求出a、b的值，继而得出，即可得出答案．
【详解】解∶由题意知
，
而


∴，，
解得：，，
∴


，
∴最终计算的中不含的项为二次项，
故选∶C．
【点睛】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是∶先去括号，然后合并同类项，熟练掌握整式加减的步骤是解题的关键．
2．（2023春·重庆九龙坡·七年级校考期末）已知，，则下列说法：
①若，，则；
②若的值与x的取值无关，则，；
③当，时，若，则或；
④当，，有最小值为7，此时．正确的有（   ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】代入，直接计算即可作答；②先表示出，根据的值与x的取值无关，即可知含x的项的系数为0，据此即可计算；③代入，可得，根据，则有：，解方程即可求解；④代入，，可得，即有，再分类讨论去绝对值即可作答．
【详解】①若，，∵，，
∴，，
则，正确；
②∵，，
∴，
∵的值与x的取值无关，
∴，，
则，，正确；
③当，时，∵，，
∴，，
即：，
若，
则有：，
则或，正确；
④当，，∵，，
∴，，
即：，
∴，
当时，；
当时，；
当时，；
即有最小值为7，此时，正确．
即正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多项式的加减混合运算，解绝对值方程等知识，掌握多项式的加减混合运算以及分类讨论的思想是解答本题的关键．
3．（2023秋·重庆南岸·七年级校考期末）若关于的多项式的值与字母的取值无关，则．
【答案】
【分析】先去括号，再合并同类项，然后根据“与字母的取值无关”列方程，进行计算即可解答．
【详解】
∵关于的多项式的值与字母的取值无关，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（2022秋·安徽芜湖·七年级校考期中）已知多项式．
（1）当时，的值为；
（2）若的值与的取值无关，则的值为．
【答案】
【分析】（1）将代入多项式中，即可得出结果；（2）将多项式前两项提取公因式，将的系数之和为即可．
【详解】解：（1），
；
（2），
的值与的取值无关，
，
，
故答案为：①，②．
【点睛】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是理解代数式的值与的值无关．
5．（2022秋·湖北随州·七年级校考期中）定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与 (k为常数)始终是数n的“平衡数”，则它们是关于的“平衡数”．
【答案】3
【分析】根据题干定义，直接建立等式，然后根据始终是有理数n的“平衡数”，可得到与的取值无关，从而求出，即可得出结论．
【详解】解：由题意：

，
∵与（为常数）始终是数的“平衡数”，
∴的值与的取值无关，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查新定义问题，涉及到整式的加减计算以及取值无关型问题，理解题意，掌握整式的加减运算法则是解题关键．
6．（2022秋·河北廊坊·七年级廊坊市第四中学校考期中）老师写出一个整式（其中、为常数，且表示为系数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算．
(1)甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为．则甲同学给出、的值分别是________，________；（请直接写出、的值）
(2)乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式
(3)丙同学给出了、的一组数，使计算的最后结果与的取值无关，则丙同学给出、的值分别是________，________；（请直接写出、的值）
【答案】(1)；；
(2)；
(3)，；

【分析】（1）先合并同类项可得，，从而可得答案；
（2）把，，代入，从而可得答案；
（3）由的值与的取值无关，可得，，从而可得答案．
【详解】（1）解：


；
∴，，
解得：，；
故答案为：；
（2）当，时，


；
（3）


而与的取值无关，
∴，，
解得：，．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某字母的值无关，理解题意，正确的合并同类项是解本题的关键．
7．（2022秋·河北廊坊·七年级校联考期中）已知．
(1)求的值；
(2)若的值与字母的取值无关，求的值；
(3)利用（2）中的数学方法解决问题：
经销公司计划购进甲、乙两种型号的口罩共30箱，甲型号口罩每箱进价为700元，销售利润为；乙型号口罩每箱进价为500元，售价为每箱750元．购进口罩后，该公司决定，每出售一箱甲型号口罩，返还顾客现金元，乙型号口罩售价不变．如果购进甲型号口罩箱，那么购进乙型号口罩箱，
①当购进的30箱口罩全部售出后，所获利润为多少元?（用含的式子表示）
②若无论购进甲型号口罩是多少箱，最终获利都相同，求的值．
【答案】(1)
(2)5
(3)①；②30

【分析】（1）由题意知；
（2）由（1）知，由的值与字母的取值无关，可得，计算求解即可；
（3）①由题意知，当购进的30箱口罩全部售出后，所获利润为元；②由①知，当购进的30箱口罩全部售出后，所获利润为元，由题意知，计算求解即可．
【详解】（1）解：，
∴的值为；
（2）解：由（1）知，
∵的值与字母的取值无关，
∴，解得，
∴的值为5；
（3）①解：由题意知，当购进的30箱口罩全部售出后，所获利润为元，
∴利润为元；
②解：由①知，当购进的30箱口罩全部售出后，所获利润为元，
∵无论甲型号口罩是多少箱，最终获利都相同，
∴，解得，
∴的值为30．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减中的化简求值，整式加减中的无关型问题．解题的关键在于对知识的熟练掌握．




【经典题型十一整式加减运算的综合】
【例11】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）已知两个整式，，用整式与整式求和后得到整式，整式与整式作差后得到整式，整式与整式求和后得到新的整式，整式与整式作差后得到新的整式，…，依次交替进行“求和、作差”运算得到新的整式．下列说法：①当时，；②整式与整式结果相同；③；④．正确的个数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意依次计算出，，，，，，，，，，，，，，，
根据观察可发现每个一循环，将代入中可判断①；根据上述即可判断②；，再代入计算即可判断③；先计算出，则，以此可判断④．
【详解】解：由题意计算可得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
以此类推，每个一循环，
当时，，故①说法正确；
由上述可知，整式与整式结果不相等，故②说法错误；
，，

，故③说法正确；
，
，故④说法正确．
正确的结论有①③④，共个．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加减、规律型：数字的变化类，解题关键是根据题意进行正确的计算，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者前后数字进行简单运算，从而得出规律．

【变式训练】
1．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）有依次排列的两个不为零的整式，用后一个整式与前一个整式求和后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式求和后得到新的整式，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②；③；④．其中，正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据依次进行作差、求和的交替操作、发现规律，然后再依次判断即可解答．
【详解】解：由题意依次计算可得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，，即①正确；
由，则②正确；
由变形过程中，不会出现整式为负的情况，故③错误；
观察发现：，以此类推可得：，即，故④正确．
故选：D．
【点睛】题考查了整式的加减、数字规律等知识点，正确理解题意和熟练进行整式的运算并发现规律是解题的关键．
2（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：．
①对，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35；
②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是；
③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种；
以上说法中正确的个数为（    ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；
②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；
③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定．
【详解】解：①对，3，5，9进行“差绝对值运算”得：


，
故①正确；
②对x，，5进行“差绝对值运算”得：


表示的是数轴上点到和5的距离之和，
的最小值为，
，，5的“差绝对值运算”的最小值是：，故②不正确；
对a，b，c进行“差绝对值运算”得：
，
当，，，


；
当，，，


；
当，，，


；
当，，，


；
当，，，


；
当，，，


；
当，，，


；
当，，，


；
a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种，
故③不正确，
综上，故只有1个正确的，
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，熟练掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键．
3．（2023春·四川成都·七年级成都实外校考期中）一个四位数（其中a，b，c，d均为不小于1，且不大于9的整数），若（），且k为整数，称m为“k型数”，例如，对于4675，∵，则4675为“5型数”；对于3526，∵，则称3526为“型数”；若四位数m是“3型数”，是“型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数数n，n也是“3型数”，则满足条件的所有四位数m为．
【答案】7551或6662
【分析】设，m是“3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数n，n也是“3型数”，可得，设，由是“型数”，分两种情况：（Ⅰ）时，，可得，因x、d是整数，2x、2d是偶数，而3是奇数，此种情况不存在；（Ⅱ）时，，可得①，②，即有，，从而可得m是7551或6662．
【详解】解：设，
∵m是“3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数n，n也是“3型数”，
∴且，
将两式相减整理得：，
∴m的十位与百位数字相同，设，
由是“﹣3型数”，分两种情况：
（Ⅰ）时，，
∵四位数是“3型数”，
∴，
∵是“型数”，
∴，
∴，
整理化简得：，
∵x、d是整数，2x、2d是偶数，而3是奇数，
∴无整数解，此种情况不存在；
（Ⅱ）时，，
∵是“型数”，
∴，即①，
∵m是“3型数”，
∴，即②，
①+②化简得，
①+②×2化简得，
∴当时，，，此时，
当时，，，此时．
综上所述，满足条件的所有四位数m是7551或6662．
故答案为：7551或6662．
【点睛】本题考查整式的加减，涉及新定义，解题的关键是分类讨论思想的应用．
4．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）定义：对于任意一个三位自然数m，若m满足十位数字比百位数字大1，个位数字比十位数字大1，那么称这个三位数为“向上数”；对于任意一个三位自然数n，若n满足十位数字比百位数字小1，个位数字比十位数字小1，那么称这个三位数为“向下数”．将“向上数”m的7倍记为，“向下数”n的8倍记为，若是整数，则称每对m，n为“七上八下数对”．在所有“七上八下数对”中，的最大值是．
【答案】801
【分析】设“向上数”m的百位数字为a，则十位数字为，个位数字为，“向下数”n的百位数字为b，则十位数字为，个位数字为，得到，，即，设，推出，是偶数，，当的值最大时，的值最大，据此即可求解．
【详解】解：设“向上数”m的百位数字为a，则十位数字为，个位数字为，
“向下数”n的百位数字为b，则十位数字为，个位数字为，
∴，，∴，，∴，∵是整数，∴是整数，设，即，∵，，是偶数，∴a一定是偶数，
，当的值最大时，的值最大，
当时，，此时，∴；
当时，，此时，∴；
综上，的最大值是801．
故答案为：801．
【点睛】此题考查了新定义下的整式加减的应用，理解“向上数”“向下数”的定义，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数位的特点求出相应字母的最大值是解题的关键．
5．（2023春·重庆云阳·八年级校联考期中）对于一个三位自然数，将各个数位上的数字分别倍后取个位数字，得到三个新的数字，，，我们对自然数规定一个运算：例如：，其各个数位上的数字分别倍后再取个位数字分别是：，则．根据材料内容，那么．若已知两个三位数，为整数，且，，若能被整除，则的最大值是．
【答案】 31 162
【分析】根据规定新运算的法则，进行求解即可；根据能被整除，求出的值，再根据定义，进行求解即可．
【详解】解：根据定义得：
；
故答案为：31；
，，
∴，
∵能被17整除，
∴是17的倍数，
∵为整数，且，
∴，
∴或，
∴或，
∴或，
∴或，
∴或，
当时，，
当时，；
∴的最大值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，理解并掌握新运算，是解题的关键．
6．（2023春·广东清远·八年级校联考期中）我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604……
(1)写出一个最小的五位“轴对称数”．
(2)设任意一个位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为，去掉首尾数字后的位数表示为，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．
(3)若一个三位“轴对称数”个位数字小于或等于4与整数的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．
【答案】(1)最小的五位“轴对称数”是10001；
(2)证明见解析；
(3)满足条件的三位“轴对称数”为：131，222，313，404，494

【分析】（1）写出最小的五位“轴对称数”，即首位数字和个位数字为，其它为的数；
（2）先表示这个任意的位“轴对称数”：，再表示“轴对称数”与它个位数字的11倍的差，合并同类项并提公因式，可得结论；
（3）设这个三位“轴对称数”为，根据与的和能同时被5和9整除，即能被45整除，设，化为，所以能同时被45整除，分情况计算可得结论．
【详解】（1）解：最小的五位“轴对称数”是10001；
（2）证明：由题意得：
，
该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除；
（3）解：设这个三位“轴对称数”为，
与整数的和能同时被5和9整除，
设，
则，
，
∵能同时被5和9整除，
∴能同时被5和9整除，
即的值为0或45或90或135，又，
当时，这个三位“轴对称数”是131，
当时，这个三位“轴对称数”是222，
当时，这个三位“轴对称数”是313，
当时，这个三位“轴对称数”是404，
当时，这个三位“轴对称数”是494，
所有满足条件的三位“轴对称数”为：131，222，313，404，494．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是根据题意列出式子，本题属于中等题型．
7．（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）材料一：若一个四位数M的各个数位数字之和为16，并且千位数字与十位数字之差的绝对值等于2，百位数字与个位数字之差的绝对值等于2，则这个四位数M为“差2数”．
例如：，∵，且，∴6244是“差2数”．
又如：，∵，∴4725不是“差2数”．
材料二：若一个四位数N的各个数位数字成比例，则这个四位数N为“成比例数”．
例如：，∵各个数位数字由小到大排列后为1，2，3，6，满足，∴1362为“成比例数”．
又如：，∵各个数位数字由小到大排列后为1，2，3，4，，∴4312不是“成比例数”．
(1)1735是“差2数”吗？是“成比例数”吗？请说明理由；
(2)若一个四位数Q既是“差2数”，又是“成比例数”，请求出所有满足条件的Q．
【答案】(1)是“差2数”，不是“成比例数”，理由见详解
(2)3355、5533、3553、5335

【分析】（1）根据“差2数”和“成比例数”的定义直接判断即可；
（2）设有四个小于10的正整数：a、b、c、d，且，即a、b、c、d的平均数为4，结合“差2数”和“成比例数”的特点，设a、b、c、d满足，当，时，可得，即有，，此时依据“成比例数”的定义判断即可；当，时，可得，即有，，则，，此时依据“成比例数”的定义判断即可作答，问题随之得解．
【详解】（1）∵，且，
∴1735是“差2数”，
∵各个数位数字由小到大排列后为1，3，5，7，且，
∴1735不是“成比例数”；
（2）设有四个小于10的正整数：a、b、c、d，且，
即a、b、c、d的平均数为4，
显然当时，组成的数字4444不是“差2数”，
当a、b、c、d，有三个数大于4时，这四个是必为：5、5、5、1，
则5、5、5、1组成的数既无法是“差2数”，也无法是“成比例数”；
当a、b、c、d，有三个数小于4时，这四个是必为：3、3、3、7，
则3、3、3、7组成的数既无法是“差2数”，也无法是“成比例数”；
结合“差2数”和“成比例数”的特点，
设a、b、c、d满足，
当，时，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
将a、b、c、d从小达到排列为1，3，5，7，且，
∴1，3，5，7，无法组成“成比例数”，故此种情况舍去；
当，时，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴得到四个数字：3、3、5、5，组成的数字必定是“成比例数”，
此时可以组成的“差2数”有：3355、5533、3553、5335；
综上：满足条件的Q有：3355、5533、3553、5335．
【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“成比例数”和“差2数”．