安徽省徽师联盟2023-2024学年高三数学上学期10月质量检测试题（Word版附解析）

高三·数学

10月质量检测卷

考生请注意：

1.考试时间：120分钟满分：150分

2.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.

3.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整､笔迹清晰.

4.请按照题序在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸､试题卷上的答题无效.

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，集合，则集合A∩B=（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据每个集合中对元素的描述，可转化为直线求交点问题，从而得解.

【详解】由题意可得，集合表示时线段上的点，

集合表示时线段上的点，

则表示两条线段的交点坐标，

联立，解得，满足条件，

所以.

故选：C.

2. “，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先计算出，为真命题的充要条件，从而得到答案.

【详解】，，只需在上的最大值小于等于，

其中，故，解得，

因为，但，

所以是“，”为真命题的一个充分不必要条件，C正确；

其他三个选项均不是充分不必要条件.

故选：D

3. 不等式的解集为（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】将所求不等式变形为，利用分式不等式的解法解原不等式，可得其解集.

【详解】由可得，解得，

故不等式的解集为.

故选：D.

4. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答.

【详解】由函数的定义域为，即，得，

因此由函数有意义，得，解得，

所以函数的定义域为.

故选：D

5. 已知，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分析可知不等式对任意的恒成立，可得出，即可解得的取值范围.

【详解】由可得，

由题意可知，不等式对任意的恒成立，

则，解得.

故选：B.

6. 已知函数，则下列说法正确是（    ）

A. 的图象关于直线对称

B. 的图象关于点对称

C. 的最小正周期为

D. 若将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数的图象

【答案】D

【解析】

【分析】利用代入检验法判断AB；直接求最小正周期判断C；利用三角函数的变换性质判断D.

【详解】因为，

所以，，故AB错误；

显然的最小正周期为，故C错误．

将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数的图象，D正确．

故选：D.

7. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出函数的导数和在处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为可得答案．

【详解】，

切线的斜率为，

因为切线与直线垂直，所以，解得．

故选：D．

8. 已知正数，，满足，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将看成常数，然后根据题意表示出，再结合导数证明恒不等式，从而作差比较出大小即可得解.

【详解】由，得，则，得，

则由得，故，

令，则，

所以函数在上单调递增，则，

所以，即，

又，所以，

综上，.

故选：A．

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 在中，角所对的边分别为，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（    ）

A. ，， B. ，，

C. ，， D. ，，

【答案】BD

【解析】

【分析】用与点A到边BC的距离及的长比较大小可判断A，B，C；求三角形各边及角可判断D.

【详解】选项A，点A到边BC的距离是1，∵，∴三角形有两解；

选项B，点A到边BC的距离是2与b相等，∴三角形是直角三角形，有唯一解；

选项C，点A到边BC的距离是，三角形无解；

选项D，根据已知可解出，，

∴三角形有唯一解.

故选：BD.

10. 下列命题中，真命题的是（    ）

A. ，都有 B. ，使得.

C. 任意非零实数，都有 D. 函数最小值为2

【答案】AB

【解析】

【分析】对于选项A，作差比较可知A正确；对于选项B，当时，可知B正确；对于选项C，当异号时，可知C错误；对于选项D，根据基本不等式取等的条件不成立可知D错误.

【详解】对于选项A，，所以对，都有，故选项A正确；

对于选项B，当时，，故选项B正确；

对于选项C，若异号，则0，故选项C错误；

对于选项D，，当且仅当，此时，此式无解，所以函数的最小值不为2，故选项D错误.

故选：AB

11. 已知，若方程在上恰有3个不同实根，则当取最小值时，下列结论正确的有（    ）

A.  B.

C. 的图象关于直线对称 D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A、B：根据题意结合正弦函数性质求；对于C、D：可得，进而以为整体，结合正弦函数的对称性判断.

【详解】由题意可得：的最小正周期，解答，

且，则，解得，所以，故A正确；

此时，

因为，则，

又因为，则，

所以，解答，故B错误；

由，得为最大值，

故的图象关于直线对称，故C正确；

由，，可得，，

且，则，

可得，，

所以，D正确；

故选：ACD.

12. 已知是自然对数的底，若，则的值可以是（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】AC

【解析】

【分析】设，结合单调性可得，从而，令，利用导数求得的范围即可判断.

【详解】设，则在R上单调递增，

∵，

∴，即，

∴，

令，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

∴，从而，故AC符合.

故选：AC.

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为______．

【答案】

【解析】

【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可；

【详解】因为是偶函数，所以

所以，

又因为在上单调递增，

所以，

解得：，

故答案为：.

14. 若，为真命题，则实数最小值为_______.

【答案】

【解析】

【分析】，为真命题，即，求出的最小值即可得解.

【详解】若，为真命题，

则，

由，得，

所以，

所以实数的最小值为.

故答案为：.

15. 若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

【分析】先求的导函数，再将函数在区间上存在单调递减区间转化为在区间上有解，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性即可求解实数的范围．

【详解】，则，

函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解，

即在区间上有解，

又，则，

所以在区间上有解，

所以，，令，，

则，

令，则在区间恒成立，

所以在上单调递减，所以，

即，所以，所以实数的取值范围是．

故答案为：．

16. 已知函数，若不等式恒成立，则a的最小值为______.

【答案】##

【解析】

【分析】变形给定函数，构造函数，探讨函数的性质，再脱去给定不等式中的法则“f”，构造函数并借助导数求解恒成立的不等式作答.

【详解】依题意，，

，在R上单调递增，

且，为奇函数，

，

令，求导得，函数在上单调递增，

当时，有，于是，当时，显然成立，

因此，即，令，求导得，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

因此当时，，则，而，有，

所以a的最小值为.

故答案为：

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知集合或，．

（1）若，求和；

（2）若是的必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1），或   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据集合交集和并集的定义进行求解即可；

（2）根据必要条件的性质进行求解即可.

【小问1详解】

∵，

∴，

∴，或；

【小问2详解】

∵是的必要条件，

∴

∴当时，则有，解得．满足题意．

当时，有，或，

由不等式组可得，不等式组无解．

综上所述，实数a的取值范围是或.

18. 已知向量，，函数

（1）求的单调递增区间；

（2）若不等式对都成立，求实数m的最大值．

【答案】（1）   

（2）0

【解析】

【分析】（1）化简得，，令 ，求解即可；

（2）由得，根据正弦函数的性质可得，从而可得，进而可求得的最大值.

【小问1详解】

由 ，

得

所以的单调增区间是

小问2详解】

因为，所以，

所以，

所以

所以，即m的最大值为0.

19. 的内角的对边分别为，已知.

（1）求；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，利用正余弦定理边化角结合和角的正弦求解作答.

（2）由正弦定理用角的三角函数表示出三角形面积，再借助三角函数性质求解作答.

【小问1详解】

在中，由及正弦定理得，

即，而，即，因此，

所以.

【小问2详解】

在锐角中，，则，又，

由正弦定理得，即

而，即，则，，因此，

于是面积，

所以面积的取值范围是.

20. 已知函数.

（1）当时，求关于x的不等式的解集；

（2）求关于x的不等式的解集；

（3）若在区间上恒成立，求实数a的范围.

【答案】（1）；   

（2）答案见解析；    （3）.

【解析】

【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集.

（2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集.

（3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的范围.

【小问1详解】

当时，则，

由，得，

原不等式的解集为；

【小问2详解】

由，

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

【小问3详解】

由即在上恒成立，得.

令，则，

当且仅当 ，即时取等号.

则，.故实数a的范围是

21. 已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的值.

（2）判断的单调性（不必证明）.

（3）若存在，使成立，求的取值范围.

【答案】（1），   

（2）函数在上是减函数   

（3）

【解析】

【分析】（1）首先由是奇函数可知，得出，后面再根据当时，有恒等式成立即可求出.

（2）将表达式变形为，根据复合函数单调性即可判断（或者由定义也可以判断）.

（3）结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为，由题意问题等价于，由此即可得解.

【小问1详解】

因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以，

又因为，所以，将代入，整理得，

当时，有，即，

又因为当时，有，所以，所以.

经检验符合题意，所以，.

【小问2详解】

由（1）知：函数，函数在上是减函数.

【小问3详解】

因为存在，使成立，又因为函数是定义在上的奇函数，

所以不等式可转化为，又因为函数在上是减函数，

所以，所以，令，

由题意可知：问题等价转化为，又因为，所以.

22. 已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（3）当时，判断在零点的个数，并说明理由．

【答案】（1）   

（2）   

（3）仅有一个零点，理由见解析；

【解析】

【分析】（1）利用导函数的几何意义，求出在处的导数值，再由直线的点斜式方程即可求得切线方程；

（2）根据导函数与原函数的关系可知，在上恒成立，构造函数并求出其最小值即可求得实数的取值范围；

（3）利用函数与方程的思想，求出方程的根的个数即可，在同一坐标系下画出函数和的图象，利用切线方程位置可求出结果.

【小问1详解】

由可得，

此时切线斜率为，而；

所以切线方程为，即；

即曲线在点处的切线方程为；

【小问2详解】

根据题意，若在上单调递增，

即可得在上恒成立，即恒成立；

令，则；

显然在上满足，而恒成立，所以在上恒成立；

即在单调递增，所以；

所以即可；

因此实数的取值范围为.

【小问3详解】

令，即可得；

构造函数，，易知在上恒成立，

即在上单调递增，如下图中实曲线所示：

又函数恒过，且，

易知，所以函数在处的切线方程为；

又，所以（图中虚线）在范围内恒在（图中实直线）的上方；

所以由图易知与在范围内仅有一个交点，

即函数在内仅有一个零点.