福建省泉州第一中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

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泉州一中2023-2024学年第一学期第一次月考初三数学试卷（2023.10）命题：李萍    审核：李阿华（考试时间：120分钟    总分：150分）一、选择题（本大题共10小题，共40分）1．已知，则的值是（    ）A．3 B． C． D．2．下列方程中是一元二次方程的是（    ）A． B． C． D．3．如图，在中，，，，则AB等于（    ）A．3.5cm B．4cm C．6cm D．7cm4．如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（    ）A．4 B．8 C．9 D．125．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ）A．2 B． C．2或 D．06．如图，在中，，CD是AB边上的中线，若，，则的值为（    ）A． B． C． D．7．随着疫情影响消退和消费回暖，2023年电影市场向好．某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（    ）A．  B．C． D．8．如图，的对角线AC，BD相交于点O，E是AB上一点，且，，则的周长为（    ）A．20 B．16 C．12 D．89．如图，和都是等腰直角三角形，．连接BD，CE．则的值为（    ）A． B． C． D．210．如图，点A、C在x轴上，点B、D在反比例函数的图象上，，BD过原点O，DC与反比例函数交于点E，点F在AB上且，连接CF交CF于点G，的面积为2，若，则k的值为（    ）A．6 B．9 C．12 D．18二、填空题（本大题共6小题，共24分）11．某校有两块相似的多边形草坪，其相似比为，其中较大的一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是________米．12．在中，，已知，那么的值是________．13．如图，一个小球由地面沿着坡度为的坡面向上前进了15cm，则此时小球水平方向前进的距离是________cm．14．如图，的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，则的正切值为________．15．如图，在中，，点G为的重心，若，，那么BC的长等于________．16．如图，矩形ABCD中，，，点E从点B出发，以1单位每秒的速度向点C运动，，G，H分别是AE，EF的中点，在点E的整个运动过程中，当时，线段GH扫过的图形面积为________．三、解答题（共86分）17．（8分）计算：．18．（8分）解方程：．19．（8分）如图，点D为边AB上一点，，，．求证：．20．（8分）如图，三个顶点分别为，，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出向上平移5个单位得到的；（2）以点C为位似中心，在网格中画出，使得与位似，且与的位似比为，并写出的坐标．21．（8分）关于x的一元二次方程．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设，是方程的两个根，记，S的值能为1吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．22．（10分）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB与地面BE的夹角，视线PE与地面BE的夹角，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，，AC，FD垂直于地面BE，A点到B点的距离米．（参考数据：，，）    （1）求盲区中DE的长度；（2）点M在ED上，米，在M处有一个高度为0.3米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由．23．（10分）如图所示，在等腰三角形ABC中，，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且，．求证：（1）；（2）．24．（12分）阅读理解：材料1：对于一个关于x的二次三项式，除了可以利用配方法求请多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围：解：令，∴，∴，∴，∴；材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则关于x的一元二次不等式的解集为：或．则关于x的一元二次不等式的解集为：．请根据上述材料，解答下列问题：（1）利用材料1，若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值；（2）利用材料2，若关于x的代数式（其中m、为常数，且）的最小值为，最大值为7，请求出满足条件的m，n的值．25．（14分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接EC，EB，过点B作EC的垂线交CD，CE于点F，G．设．    图1                    图2（1）求证：；（2）如图1，连接AG，若，求m的值；（3）如图2，若AG平分，过点D作AG的垂线交EC，EB及CB的延长线分别于点P，H，M．若，求EH的长．（请补全图形）  泉州一中2023-2024学年第一学期第一次月考初三数学试卷（参考答案）1．B  2．C  3．D  4．D  5．B  6．D  7．D  8．A  9．B  10．A11．24    12．    13．9    14．    15．    16．17．解：．18．解：∴，∴，∴或，解得：，19．证明：∵，，∴，∵，，∴，∵，∴．20．解：（1）如图所示，为所求三角形；（2）如图为所求三角形：．21．（1）证明：∵，∴，∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵，是方程的两个根，∴，，∴，解分式方程得：，经检验是方程的解，当时，S的值为1．22．（1）解：∵，，，∴，在中，，，米，∴（米），∴米，在中，，，∴（米），答：盲区中DE的长度约为2.5米；（2）解：驾驶员能观察到物体，理由如下：过点M作，交PE于N，∵米，米，∴米，在中，（米），无疑，∴在M处有一个高度为0.3米的物体，驾驶员能观察到物体．23．（1）证明：∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）证明：∵，∴，，∵，，∴，即，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即．24．解：（1），∴，∴，∴，∵y的最小值为，∴，解得：；（2）解：令，∴，当时，且，∴存在一个x使得．当时，有解．∴，∴，∵，，∴，是方程的解，∴，解得或，∴综上，，或，．25．（1）证明：由题意得，，∴，∴，∵点E为AD的中点，∴，∵四边形ABCD为矩形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，设，则，，∴，∴，∴，∴∴；（3）解：∵AG平分，∴，又，∴，由（2）知，∴，∴，连接CH，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，过点C作EC垂线交EB延长线于点N，∴，∴为等腰直角三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，解得：．