江苏省扬州市广陵区2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级数学月考试卷参考答案

一 、单选题（本大题共8小题，共24分）

1．下列是一元二次方程的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

2. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是(    )

A． B． C．且 D．且

【答案】D

3．如图，在中，弦相交于点，若，，则等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

4．如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（       ）

A．5 B．6 C．8 D．10

【答案】D

5．已知方程的两根是，则的值是（　　）

A．1 B．2 C．1.5 D．2.5

【答案】C

6．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（    ）

A．2 B．5 C．1 D．5或1

【答案】D

7．若关于x的一元二次方程的一个根是，则的值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

8.如图，半圆O的直径，弦，弦平分，的长为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

二 、填空题（本大题共10小题，共30分）

9.关于x的一元二次方程的两根之和为．

【答案】

10.如图，点在上，，则°．

【答案】115

11.设α，β是方程的两个实数根，则的值为．

【答案】2022

12．如图，是的外接圆是的直径，若，则的度数是．

【答案】/15度

13.已知关于x的方程的解是，，则关于x的方程的解是．

【答案】或

14.如图，是的外接圆，，，则的直径为．

【答案】

15.如图，直线、相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且与点O的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后与直线相切．

【答案】4或8

16.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺寸），则这块圆柱形木材的直径是寸．

【答案】26

17.已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 　4　．

18.正方形的边长为4，点E是的中点，过点B作，垂足为G，O为对角线的交点，连接，则．

【答案】

三 、解答题（本大题共12小题，共96分）

19.（8分）用适当的方法解下列方程：

(1)．

(2)．

【答案】(1)，

(2)，

20.（8分）已知关于的一元二次方程有实数根．

(1)求的取值范围；

(2)若方程的一个根是，求方程的另一个根．

【答案】(1)

(2)5

21.（8分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系．

(1)过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为______．

(2)求的面积（结果保留）．

【答案】(1)

(2)

22.（8分）如图是的两条弦，相交于点P，若，求证：

(1)；

(2)．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）如图所示，连接，利用证明即可证明；

（2）由可得，即可证明．

【解析】（1）证明：如图所示，连接，

∵，

∴

∴，

又∵，

∴，

∴；

（2）证明：∵，

∴

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了同圆中等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，灵活运用所学知识是解题的关键．

23.（10分）某商城在年端午节期间促销某品牌冰箱，每台进价为元，标价为元．

(1)商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每台元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率；

(2)经市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降低元时，平均每天能多售出4台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元，则每台冰箱的售价应定为多少元？

【答案】(1)；

(2)元．

【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据续两次降价后以每台元售卖列式求解即可得到答案；

（2）设每台冰箱的售价应定为m元，根据利润列方程求解即可得到答案．

【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，由题意可得，

，

解得：，（不符合题意舍去），

答：每次降价的百分率是；

（2）解：设每台冰箱的售价应定为m元，由题意可得，

，

解得：，

答：每台冰箱的售价应定为元．

【点睛】本题考查一元二次方程解决销售利润问题及平均变化问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式列方程．

24.（10分）如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米；

（1）为了使这个长方形的面积为96平方米，求边为多少米？

（2）用这些篱笆，能使围成的长方形面积是110平方米吗？说明理由．

【答案】（1）4米或8米；（2）不能，见解析

【分析】（1）设AB为x米，然后表示出BC的长为（36-3x）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可；

（2）把（1）中方程改为方程，再解方程，根据方程的解的情况来回答即可．

【解析】解：（1）设的长为米，

依题意的方程：，

解得：，，

答：当的长度为4米或8米时，长方形的面积为96平方米．

（2）假设长方形的面积是110平方米

依题意得：．即，

∵，

∴该一元二次方程无实数根，

∴假设不成立，

∴长方形的面积是不能为110平方米．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长．

25.（10分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，分别记为，．

(1)求的取值范围；

(2)若．求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据一元二次方程由两个实数根， 得出，解不等式即可求解；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入，进而解方程即可求解．

【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，

∴

解得：；

（2）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，分别记为，

∴，

∵，

∴

解得：

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，综合运用以上知识是解题的关键．

26.（10分）如图，四边形内接于一圆，是边的延长线．

(1)求证；

(2)若，，求的度数．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论；

（2）根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理计算即可．

【详解】（1）证明：四边形内接于圆，

，

，

；

（2）解：，

，

．

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．

27.（12分） 如图，在矩形中，，，M，N两点分别从A，B两点以和的速度在矩形边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D停止，当运动时间为秒时，为等腰三角形．

【答案】或或

【分析】根据等腰三角形的定义，分四种情况：①当点M在上，点N在上时；②点M在上，点N在上时；③点M、N都在C、D上时；④当点M在上，N在上时，分别画出图形，利用勾股定理和等腰三角形的性质、结合矩形的性质和解方程求解即可．

【详解】解：根据为等腰三角形，分以下四种情况：

①如图1，当点M在上，点N在上时，，，，

由得，解得；

②如图2，点M在上，点N在上时，，，

，，

在中，

由得，整理得：，

解得，(舍去)；

③如图③，点M、N都在C、D上时，

若点M在点N的右边时，则，，，

∴，此时，

由得，整理得，

∵，∴该方程无解；

若点M在点N的左边时，则，，，

∴，此时，

由得，

解得，不符合题意，舍去；

④如图④，当点M在上，N在上时，，，，

过N作于T，则四边形是矩形，

由得，则，

解得，

综上，满足条件的t值为或或．

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元一次方程和解一元二次方程等知识，理解等腰三角形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键．

28.（12分）已知：是的外接圆，且，，D为上一动点．

(1)如图1，若点D是的中点，等于多少？

(2)过点B作直线的垂线，垂足为点E．

①如图2，若点D在上，求证：．

②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足时，求的最大值．

【答案】(1)

(2)①证明见解析；②

【分析】（1）连接，根据可得，再根据圆周角定理进行求解即可；

（2）①过B作于点H，则，证明和即可求解；

②连接并延长交于点I，则点D在上，证明和即可求解；

【解析】（1）如图1中，连接．

∵，

∴，

∵，

∴，

∵D是的中点，

∴，

∵，

∴．

（2）①过B作于点H，则．

又∵于点E，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

在和中，

∴，

∴，

又∵四边形是的内接四边形，

∴，

又∵，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴．

②连接并延长与交于点I，则点D在上．

如图：过B作于点H，

则，

又∵于点E，

∴，

∴，

又∵四边形是的内接四边形，

∴，

又∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

又，，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∵是直径，，

∴垂直平分，

∴，

∴，

∴当点D运动到点I时取得最大值，此时．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．