【期中单元测试卷】（沪教版）2023-2024学年九年级数学上册 第二十四章 相似三角形 试卷

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本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（6小题，每小题3分，共18分）
1．（2023秋·上海闵行·六年级统考期末）如果和都不为零，且，那么下列比例中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期末）在矩形中，，则向量的长度为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·上海嘉定·模拟预测）已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·上海·九年级假期作业）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
6．（2023·上海·九年级假期作业）如图，直角梯形中，，，，，．是延长线上一点，使得与相似，这样的点的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（12小题，每小题3分，共36分）
7．（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）已知P点为线段的黄金分割点，，且，则
8．（2023春·上海普陀·八年级校考阶段练习）在中，点是边的中点，，那么用表示 ．
9．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，，，，则 ．
10．（2023秋·上海黄浦·九年级上海市民办明珠中学校考阶段练习）如图，，点分别在上，如果，那么的长为 ．
11．（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）在中，，点是的重心，连接．若，则长为 ．
12．（2023·上海·一模）如图，G是的重心，延长交于点D，延长交于点E，P、Q分别是和的重心，长为6，则的长为 ．
13．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，中线、交于点，设，，那么向量用向量，表示为 ．
14．（2023·上海徐汇·统考一模）规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在中，，是斜边上的高，其中是等腰三角形，且和相似，所以是“和谐三角形”，直线为的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知是“和谐三角形”，，当直线是的“和谐分割线”时，的度数是 （写出所有符合条件的情况）
15．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，如果，那么的值是 ．
16．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到地面底部B的距离是468米，第二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A、B、P在一直线），且，那么底部B到球体P之间的距离是 米（结果保留根号）
17．（2023春·上海普陀·八年级校考期末）如图，在中，点为边上的一点，且，，过点作，交于点，如果，那么的面积为 ．
18．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，，点E在边AB上，，连接DE，将沿着DE翻折，点A的对应点为P，连接EP、DP，分别交边BC于点F、G，如果，那么CG的长是 ．

三、解答题（9小题，共96分）
19．（2023·上海·九年级假期作业）如图，，，，求的值．
20．（2023春·上海奉贤·八年级统考期末）如图，在中，点、、分别是边、、的中点．

(1)写出图中所有与相等的向量：______；
(2)用图中的向量表示：______；
(3)求作：（不要求写作法，但要写出结论）．
21．（2023春·上海·九年级专题练习）已知，在等腰中，，以的中点D为顶点作，分别交、于点E、F，，，求底边的长．

22．（2023·上海·一模）如图，在梯形ABCD中，， DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且．
(1)求证：；
(2)点G在底边BC上， ，，连接，如果与的面积相等，求的长．
23．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知与都是等边三角形，点D在BC边上（点D不与B、C重合），DE与AC相交于点F．
(1)求证：∽；
(2)若BC＝1，设BD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；
(3)当x为何值时，？
24．（2023·上海·九年级假期作业）把两块全等的直角三角板和叠放在一起，使三角板的锐角顶点D 与三角板的斜边中点O重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点O旋转，设射线与射线相交于点P，射线与线段相交于点Q．

(1)如图1，当射线经过点B，即点Q与点B重合时，易证，则此时______；
(2)将三角板由图1所示的位置绕点O沿逆时间方向旋转，设旋转角为α．其中，问的值是否改变？请说明理由．
25．（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）如图，点E在菱形的边上（点E不与点B、点C重合），联结交对角线于点F，联结．

(1)求证：；
(2)当，时，
①如果，求的长；
②如果是直角三角形，求的长．