【期中单元重点题型】（苏科版）2023-2024学年八年级数学上册 第一章+全等三角形模型归纳（知识拓展）

第一章 全等三角形

拓展知识 模型

拓展1 双垂直模型

一、双垂直模型

典例1

例1如图，在△ABC中， AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线与F，E为垂直，则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC﹢CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE．其中正确结论的个数是（    ）．

A．1            B．2            C．3            D．4

【答案】D

【解析】

解析：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAE=∠FAE．

∵BE⊥AD，

∴∠AEB=∠AEF=90°．

∴∠F+∠FBC=90°，∠F+∠FAE=90°，

∴∠FBC=∠FAE．

∵∠ACB=90°，

∴∠BCF=∠ACB=∠AEF=90°．

在△ACD和△BCF中

，

∴△ACD≌△BCF（ASA），

∴AD=BF，CD=CF．

在△AEB和△AEF中

，

∴△AEB≌△AEF（ASA），

∴AB=AF，BE=EF．

∴BF=2BE．

∵CD≠EF，

∴CF≠BE，

∵AC+CF=AF，

∴AC+CD=AF，

∴AC+CD=AB．

跟踪训练1

如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，DF=5，AF=3，则CF=_______．

【答案】8

【解析】

解析：∵BD⊥CF，∠ACB=90°，AF⊥CF，

∴∠DCB+∠DBC=∠DCB+∠ACF=90°，

∴∠DBC=∠ACF；

∴∠CAF=∠BCD（等角的余角相等）；

在△AFC和△CDB中，

，

∴△AFC≌△CDB（ASA），

∴CD=AF=3，

∴CF=CD+DF=3+5=8．

拓展2 三垂直模型

二、三垂直模型

例2如图，锐角△ABC分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为M，N．求证：EM﹢FN=AB．

【答案】见解析

【解析】解析：如图，过C作CG⊥AB，

∴∠CAG+∠ACG=90°，

∵△AEC为等腰直角三角形，

∴∠EAC=90°，AE=AC，

∴∠CAG+∠EAM=90°，

∴∠ACG=∠EAM，

∵在△ACG和△EAM中，

，

∴△ACG≌△EAM（AAS），

∴EM=AG，

同理GB=FN，

∴AB=AG+GB=EM+FN．

例3．如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．

（1）证明：DE=BD﹢CE．

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD﹢CE是否还成立？如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图（3），D、E是直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=

∠BAC，试判断△DEF的形状．

【答案】（1）见解析（2)见解析（3）等边三角形

【解析】

解析：（1）∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠CAE，

在△ABD和△CAE中

，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，CE=DA，

∴DE=AE+DA=BD+CE；

（2）成立，证明如下：

∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，

∴∠BAD+∠CAE=180°﹣α，且∠DBA+∠BAD=180°﹣α，

∴∠DBA=∠CAE，

在△ABD和△CAE中

，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，CE=DA，

∴DE=AE+DA=BD+CE；

（3）∵△ABF和△ACF均为等边三角形，

∴∠BAC=∠BAF+∠CAF=120°，

∴∠BDA=∠BAC=120°，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=60°，

∴∠CAE=∠ABD，

∴△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，∠ABD=∠ACE，

∵∠DBF=60°+∠ABD，∠FAE=60°+∠CAE，

∴∠DBF=∠FAE，

在△BDF和△AEF中

，

∴△BDF≌△AEF（SAS）

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，

∵∠BFD+∠AFD=60°，

∴∠AFE+∠AFD=60°，

即∠DFE=60°

∴△DEF是等边三角形

跟踪训练2

王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合．

（1）求证：；

（2）求两堵木墙之间的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）两堵木墙之间的距离为．

【解析】

（1）证明：由题意得：，，

∴，

∴，

∴

在和中

，

∴；

（2）解：由题意得：，

∵，

∴，

∴，

答：两堵木墙之间的距离为．

拓展3 手拉手模型

三、手拉手模型

例4

如图，正方形BAFE与正方形ACGD共点于，连接、，求证：=并求出的度数.

【答案】90°

【解析】解析：∵四边形BAFE和四边形ACGD是正方形

∴AB=AF，AC=AD，∠BAF=∠CAD=90°

∴∠BAF+∠DAF=∠CAD+∠DAF

即∠BAD=∠FAC

在△BAD和△FAC中

∴△BAD≌△FAC（SAS）

∴BD=CF，∠ACF=∠ADB

∴∠DOH=∠CAD=90°

例5小明和同学小颖在学习了全等三角形后，研究了以下问题：

（1）探索：如图2，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，试说明：BD=CE．

（2）拓展：如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．试判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

【答案】AE=BE+2CM

【解析】

解析：（1）∵△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE

又∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE

∴BD=CE

（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°

∴∠CED=∠CDE=45°，∠ECB=∠DCA，EC=DC，BC=AC

得△ECB≌△DCA

又由于点A，D，E在同一个一直线上

∴∠CEB=∠CDA=180°﹣∠CDE=135°，AD=BE

∠AEB=∠BEC﹣∠DEC=135°﹣45°=90°

又∵CM为△DCE中DE边上的高，而且△DCE为等腰直角三角形

得DE=2CM

故AE=AD+DE=BE+2CM

跟踪训练3

如图，为线段上一点，分别以、为边在同侧作等边和等边，交于点，交于点，求证：．

【答案】见解析

【解析】

解析：在等边三角形ACD和等边三角形BCE中，AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，

∵∠ACD+∠DCE+∠BCE=180°，

∴∠DCE=60°，∠ACE=∠DCB=120°，

在△ACE和△DCB中，AC=DC，∠ACE=∠DCB，CE=CB，

∴△ACE≌△DCB（SAS），易证△GCE≌△HCB，

∴CH=CG，

∴∠CGH=∠CHG，

∵∠GCH+∠GHC+∠CGH=180°，

∴∠GHC=∠CGH=60°，

∴∠ACG=∠CGH=60°，

∴GH//AB

拓展4 半角模型

四、半角模型

例6：如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．

【答案】6

【解析】

解析：延长AB至F，使BF=CN，连接DF，

∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠BCD=∠DBC=30°，

∵△ABC是边长为3的等边三角形，

∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，

∴∠DBA=∠DCA=90°，

在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC，

∴△BDF≌△CND，

∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，

∵∠MDN=60°

∴∠BDM+∠CDN=60°

∴∠BDM+∠BDF=60°

∴∠FDM=60°=∠MDN

∴△DMN≌△DMF

∴MN=MF

∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6

跟踪训练4

如图，在四边形ABCD中，E、F分别是线段BC、CD上的点，且BE+FD=EF. 求证：.

【答案】见解析

【解析】

解析：把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，如图，

∴AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF，

∵∠B+∠D=180°，

∴∠B+∠ABG=180°，

∴点G、B、C共线，

∵BE+FD=EF，

∴BE+BG=GE=EF，

在△AEG和△AEF中，，

∴△AEG≌△AEF，

∴∠EAG=∠EAF，

而∠BAG=∠DAF，

∴∠EAB+∠DAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠BAD．

1．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ）

A．8 B．4 C．3 D．2

【答案】C

【解析】解：，，于，于，

，

，

又，，

．

，，

．

故选：C．

2．如图，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，

，

．

在和中，

，

，

．

．

．

故选：B．

3．如图，为等腰直角三角形，，．

(1)求证：；

(2)求证：

【答案】(1)见解析；

(2)见解析．

【解析】（1）证明：是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

在与中，

，

∴

（2）证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

4．如图，点C为线段上一点，在，中，，，，连接交于点E，连接交于点F，线段，交于点O，求证：

(1)

(2)

(3)

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【解析】（1）证明：∵，

∴，即：，

又，，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，

∵点C为线段上一点，，

∴，

又，

∴；

（3）∵，，

∴．

5．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现．

(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明；

(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）

【答案】(1)，证明见解析；

(2)，，．

【解析】（1）证明：如图2，

∵，，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴．

在和中，

，

∴（AAS），

∴，

∵，

∴．

（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，．

如图1时，，

如图2时，，

如图3时，，（证明同理）

6．如图，四边形和四边形是正方形，（正方形四条边都相等，四个内角都是直角）

【感知】（1）某学习小组探究如下问题：如图1，连接，，直线于点H，交于点M，则与面积的大小关系是：_________．

【探究】（2）该学习小组在探究（1）中面积问题时，发现M为中点，你认为是否成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

【拓展】（3）经过以上探究，该学习小组也提出问题：若正方形和正方形的位置如图2所示，点M为中点，连接交于点H，那么与有怎样的关系?试探究，并说明理由

【答案】（1）；（2）成立；理由见解析；（3），；理由见解析

【解析】解：（1）过点E作于点Q，延长，过点G作于点P，如图所示：

则，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴．

故答案为：．

（2）成立；理由如下：

过点E作于点P，过点B作于点Q，如图所示：

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

同理得：，

∴，

∴，  

∵，，

∴，

∴，

∴M为中点．

（3），．理由如下：

延长，在延长线上截取，连接、，如图所示：

∵M为的中点，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，  

∴，

∵，，

∴，

即，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∵，

∴，  

∴，

∴．

7．（1）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：；

（2）如图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）见证明；（2）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD，证明见详解．

【解析】解：（1）证明：如图，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．

∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，

∴∠1＝∠D，

在△ABM与△ADF中，

，

∴△ABM≌△ADF（SAS）．

∴AF＝AM，∠2＝∠3．

∵∠EAF∠BAD，

∴∠2+∠4∠BAD＝∠EAF．

∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．

在△AME与△AFE中，

，

∴△AME≌△AFE（SAS）．

∴EF＝ME，即EF＝BE+BM，

∴EF＝BE+DF；

（2）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．

证明：如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，

∴∠B＝∠ADF．

∵在△ABG与△ADF中，

，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，

∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD，

∴∠GAE＝∠EAF．

在△AGE与△AFE中，

，

∴△AEG≌△AEF，

∴EG＝EF，

∵EG＝BE﹣BG，

∴EF＝BE﹣FD．