【期中单元重点题型】（苏科版）2023-2024学年八年级数学上册 第二章+轴对称图形（角平分线+将军饮马模型拓展）

第二章 轴对称图形（角平分线+将军饮马模型）

一、角平分线模型

       ①                    ②                   ③                    ④

辅助线做法：① 垂两边：

② 截两边：

③ 角平分线﹢平行 → 等腰三角形

④ 角平分线﹢垂线 → 等腰三角形（三线合一）

典例1

如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为40和28，则△EDF的面积为（  ）

A．12 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】解析：如图，过点D作DH⊥AC于H

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB

∴DF=DH

在Rt△DEF和Rt△DGH中，

∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）

∴S△EDF=S△GDH，设面积为S，

同理Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）

∴S△ADF=S△ADH

即28﹢S=40﹣S，解得S=6

典例2

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E．求证：BD=2CE．

【答案】见解析

【分析】解析：延长CE、BA交于F点，如图，
 

∵BE⊥EC，
∴∠BEF=∠CEB=90°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠F=∠BCF，
∴BF=BC，
∵BE⊥CF，
∴CE=CF，
∵△ABC中，AC=AB，∠A=90°，
∴∠CBA=45°，
∴∠F=（180﹣45）°÷2=67.5°，∠FBE=22.5°，
∴∠ADB=67.5°，
∵在△ADB和△AFC中，

，
∴△ADB≌△AFC（AAS），
∴BD=FC，
∴BD=2CE．

跟踪训练1

如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC=5，△BCD的面积为5，则ED的长为（  ）

A．          B．1            C．2         D．5

【答案】C

【分析】解析：过D点作DF⊥BC于F，如图

∵△BCD的面积为5

∴DF·BC=5

∵BC=5

∴DF=2

∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC

∴DE=DF=2

跟踪训练2

已知点P是∠BAC平分线AD上一点，AC >AB，求证：PC－PB＜AC－AB.

【答案】见解析

【分析】解析：如图，在AC上截取AE，使AE=AB，连接PE，
 

∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AEP和△ABP中，

，
∴△AEP≌△ABP（SAS），
∴PE=PB，
在△PCE中，PC﹣PE<CE，
∴PC﹣PE<AC﹣AE，
∴PC﹣PB<AC﹣AB．

二、将军饮马（求两线段和最小值）

1、两定一动

思想：化折为直

方法：先对称，再连接

2、两动一定

思想：化折为直

方法：先对称，再垂直，面积法求垂线段

3、邮差送信（求三折线段和最小值）

思想：化折为直

方法：作两次对称再连接

典例3

按下列要求进行尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：

（1）如图1：已知直线m及直线m外两点A、B，在直线m上求作点P，使点P到A、B两点的距离相等．

（2）如图2：已知直线m及直线m外两点A、B，在直线m上求作点P，使点P到A、B两点的距离之和为最小．

【答案】见解析

【分析】解析：如图，点P即为所求

典例4

如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ C ）

A．6              B．8              C．9              D．10

【答案】C

【分析】解析：连接AD、MA

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∴，解得AD=6，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC

∴MC﹢DM=MA﹢DM≥AD，

∴AD的长为CM﹢MD的最小值，

∴△CDM的周长最短

典例5

如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF﹢EF的最小值为　　．

【答案】

【分析】解析：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，

∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，
∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴M在AB上，
在Rt△ABD中，AD=12，
∴S△ABC=×BC×AD=×AB×CN，
∴CN=，
∵E关于AD的对称点M，
∴EF=FM，
∴CF﹢EF=CF﹢FM=CM，
根据垂线段最短得出：CM≥CN，
即CF﹢EF≥，
即CF﹢EF的最小值是

典例6

如图，A是锐角MON内部一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B、C，组成三角形ABC，使三角形ABC周长最小.

【答案】见解析

【分析】解析：作A关于OM的对称点A′，关于ON的A对称点A′，与OM、ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形.

∵A与A′关于OM对称，A与A″关于ON对称，

∴AB=A′B，AC=A″C，

于是AB﹢BC﹢CA=A′B﹢BC﹢A′C=A′A″，

根据两点之间线段最短，A′A″为△ABC的最小值.

典例7

若在∠MON内部有A、B两个定点，在∠MON的两边OM、ON上求作点C、D，使得AC﹢CD﹢DB的长度最小

【答案】见解析

【分析】解析：作点A关于OM的对称点E，作点B关于ON的对称点F，连接EF交OM、ON于点C、D，即为所求

跟踪训练3

如图，四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN﹢∠ANM的度数为（  ）

A．110°             B．120°             C．130°             D．140°

【答案】D

【分析】解析：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，

∵∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，
∴∠A′﹢∠A″=180°﹣∠110°=70°，
由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，
∴∠AMN﹢∠ANM=2（∠A′﹢∠A″）=2×70°=140°．

1、如图，△ABC的面积为1 cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，则△PBC的面积为___．

【答案】0.5cm2

【分析】解析：延长AP交BC于E

∵BP平分∠ABC

∴∠ABP=∠EBP

∵AP⊥BP

∴∠APB=∠EPB=90°

在△ABP和△EBP中，∠ABP=∠EBP，BP=BP，∠APB=∠EPB

∴△ABP≌△EBP（ASA）

∴AP=PE

∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP

∴S△PBC=S△ABC=×1cm2=0.5cm²

2、如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD＝6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB﹢EF的最小值，则这个最小值是（  ）

A．5             B．6             C．7             D．8

【答案】B

【分析】解析：连接CF，

∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC
∴EB=EC，
当B、F、E三点共线时，EF﹢EC=EF﹢BE=CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
∴AD=CF=6，
∴EF﹢BE的最小值为6

3、如图，已知正方形ABCD的边长是为10cm，△ABE为等边三角形（点E在正方形内），若P是AC上 的一个动点，PD﹢PE的最小值是多少（ C ）

A．6cm             B．8cm             C．10cm             D．5cm

【答案】C

【分析】解析：连接BP．

∵正方形ABCD的边长是10cm，△ABE为等边三角形

∴BE=AB=10cm

∵ABCD为正方形，P是AC上的一个动点

∴PB=PD

∴PE﹢PD=PB﹢PE

∵PB﹢PE≥BE

∴当点E、P、B在一条直线上，PD﹢PE有最小值，最小值=BE=10cm
 

4、如图，直线l旁有两点A，B，在直线上找一点C使到A，B两点的距离之和最小．在直线上找一点D使到A，B两点的距离相等．

【答案】见解析

【分析】解析：如图所示，点C，D为求作的点．

5、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PN﹢PM﹢MN的最小值是5cm，则∠AOB的度数是____．

【答案】30°

【分析】解析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示

∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵PN﹢PM﹢MN的最小值是5cm，
∴PM﹢PN﹢MN=5，
∴DM﹢CN﹢MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°．