第三章二次函数单元测试鲁教版九年级上册

这是一份第三章二次函数单元测试鲁教版九年级上册，共12页。

 二次函数单元测试
（满分：120分）
一.选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A．xy+x2＝1 B．x2+y﹣2＝0 C．y2﹣ax＝﹣2 D．x2﹣y2+1＝0
2．（3分）在同一坐标系中，作y＝2x2+2、y＝﹣2x2﹣1、的图象，则它们（　　）
A．都是关于y轴对称 B．顶点都在原点
C．都是抛物线开口向上 D．以上都不对
3．（3分）下列对二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）叙述不正确的是（　　）
A．二次函数因变量一定有最大值或最小值
B．二次函数图象是轴对称图形
C．二次函数图象一定会与y轴相交
D．二次函数图象一定过原点
4．（3分）已知二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（　　）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
5．（3分）已知原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，则m的范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞﹣2
6．（3分）关于x2﹣x﹣n＝0没有实数根，则y＝x2﹣x﹣n的图象的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）在同一直角坐标系中，函数y＝ax2﹣b与y＝ax+b（ab≠0）的图象大致如图（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+1，则图象与x轴交点为（　　）
A．二个交点 B．一个交点 C．无交点 D．不能确定
9．（3分）直线y＝ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么y＝ax2+bx的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）关于y＝2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（　　）
A．顶点坐标为（﹣3，2）
B．对称轴为直线y＝3
C．当x≥3时，y随x增大而增大
D．当x≥3时，y随x增大而减小
二.填空题：（每题3分，共15分）
11．（3分）当m＝　 　时，函数y＝（m﹣1）是关于x的二次函数．
12．（3分）写出一个开口向上，顶点坐标是（2，﹣3）的函数解析式　 　．
13．（3分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的对称轴是　 　，顶点坐标是　 　．
14．（3分）抛物线y＝3x2的图象向右移动两个单位，再向下移动一个单位，它的顶点坐标是　 　，对称轴是　 　，解析式是　 　．
15．（3分）如果抛物线y＝ax2+b和直线y＝x+b都经过点P（2，6），则a＝　 　，b＝　 　，抛物线的图象不经过第　 　象限．
三.解答题（共75分）
16．（6分）若抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过点A（m，0）和点B（﹣2，n），求点A、B的坐标．
17．（8分）若二次函数的图象y＝（m﹣1）x2+2x与直线y＝x﹣1没有交点，求m的取值范围．
18．（9分）若直线y＝x+3与二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象交于A、B两点，求以A、B及原点O为顶点的三角形的面积．
19．（10分）已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，﹣2）且与y轴交于（0，）
（1）求函数的解析式，并画出它的图象；
（2）当x为何值时，y随x增大而增大．
20．（12分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元，日销售量将减少20千克．
（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多．
21．（14分）某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）．若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？

22．（16分）二次函数的图象与x轴从左到右两个交点依次为A、B，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）如果P（x，y）是线段BC之间的动点，O为坐标原点，试求△POA的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得PO＝PA？若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由．
参考答案与试题解析
一.选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A．xy+x2＝1 B．x2+y﹣2＝0 C．y2﹣ax＝﹣2 D．x2﹣y2+1＝0
【分析】整理成一般形式，根据二次函数定义即可解答．
【解答】解：A、变形得y＝，不是二次函数，错误；
B、由x2+y﹣2＝0，得y＝﹣x2+2，是二次函数，正确；
C、y的指数是2，不是函数，错误；
D、y的指数是2，不是函数，错误．
故选：B．
2．（3分）在同一坐标系中，作y＝2x2+2、y＝﹣2x2﹣1、的图象，则它们（　　）
A．都是关于y轴对称 B．顶点都在原点
C．都是抛物线开口向上 D．以上都不对
【分析】根据所给二次函数的共同特点找到正确选项即可．
【解答】解：经过观察可得3个二次函数的一次性系数均为0，那么这3个二次函数的对称轴都是y轴，故选A．
3．（3分）下列对二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）叙述不正确的是（　　）
A．二次函数因变量一定有最大值或最小值
B．二次函数图象是轴对称图形
C．二次函数图象一定会与y轴相交
D．二次函数图象一定过原点
【分析】根据二次函数图象与系数的关系和抛物线与x轴的交点即可求解．
【解答】解：A．二次函数因变量一定有最大值或最小值，故A不符合题意；
B．二次函数图象是轴对称图形，故B不符合题意；
C．二次函数图象一定会与y轴相交，故C不符合题意；
D．二次函数图象不一定过原点，故D符合题意；
故选：D．
4．（3分）已知二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（　　）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m﹣2）＝0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．
【解答】解：根据题意得：m（m﹣2）＝0，
∴m＝0或m＝2，
∵二次函数的二次项系数不为零，所以m＝2．
故选：C．
5．（3分）已知原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，则m的范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞﹣2
【分析】由于原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，这要求抛物线必须开口向下，由此可以确定m的范围．
【解答】解：∵原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，
∴m+1＜0，
即m＜﹣1．
故选：A．
6．（3分）关于x2﹣x﹣n＝0没有实数根，则y＝x2﹣x﹣n的图象的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据根的判别式b2﹣4ac＜0来裁定n的取值范围，再根据顶点坐标来解答即可．
【解答】解：由题意，得△＜0，即（﹣1）2﹣4×1×（﹣n）＜0．
解得，n＜﹣①
﹣＝，＝﹣（n+） ②
由①②，得
＞0
∴顶点坐标是（，）在第一象限，
故选：A．
7．（3分）在同一直角坐标系中，函数y＝ax2﹣b与y＝ax+b（ab≠0）的图象大致如图（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2﹣b的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
B、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误．
故选：C．
8．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+1，则图象与x轴交点为（　　）
A．二个交点 B．一个交点 C．无交点 D．不能确定
【分析】直接利用b2﹣4ac的符号进而得出抛物线与x轴交点个数即可．
【解答】解：∵b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴抛物线y＝﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为：1．
故选：B．
9．（3分）直线y＝ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么y＝ax2+bx的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数ax2+bx的图象相比较看是否一致．
【解答】解：一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，∴﹣＞0，
二次函数y＝ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y轴右侧，交坐标轴于（0，0）点．
故选：B．
10．（3分）关于y＝2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（　　）
A．顶点坐标为（﹣3，2）
B．对称轴为直线y＝3
C．当x≥3时，y随x增大而增大
D．当x≥3时，y随x增大而减小
【分析】已知二次函数的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标及对称轴，逐一判断即可．
【解答】解：顶点坐标为（3，2），故A选项错误；
对称轴为x＝3，故选项B错误；
因为二次项系数为2＞0，故函数图象开口向上对称轴为x＝3，
故当x≥3时，y随x增大而增大，故C选项正确；D选项错误，
故选：C．
二.填空题：（每题3分，共15分）
11．（3分）当m＝　﹣1　时，函数y＝（m﹣1）是关于x的二次函数．
【分析】根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可．
【解答】解：依题意可知m2+1＝2
得m＝1或m＝﹣1
又因为m﹣1≠0
∴m≠1
∴当m＝﹣1时，这个函数是二次函数．
12．（3分）写出一个开口向上，顶点坐标是（2，﹣3）的函数解析式　y＝（x﹣2）2﹣3　．
【分析】已知顶点坐标，可用抛物线的顶点式表达解析式，由于开口向上，可取二次项系数a＝1．
【解答】解：由抛物线开口向上，取a＝1，
已知顶点坐标为（2，﹣3），
所以，抛物线解析式可写为
y＝（x﹣2）2﹣3．
13．（3分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的对称轴是　x＝﹣　，顶点坐标是　（﹣，）　．
【分析】直接根据二次函数的性质进行解答即可．
【解答】解：由二次函数的性质可知，函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的对称轴是x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）．
故答案为：x＝﹣；（﹣，）．
14．（3分）抛物线y＝3x2的图象向右移动两个单位，再向下移动一个单位，它的顶点坐标是　（2，﹣1）　，对称轴是　x＝2　，解析式是　y＝3（x﹣2）2﹣1　．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可得出抛物线解析式，进而得出抛物线的顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝3x2的图象向右移动2个单位，再向下移动1个单位，解析式是y＝3（x﹣2）2﹣1，它的顶点坐标是（2，﹣1），对称轴是直线x＝2．
故答案为：（2，﹣1）；x＝2；y＝3（x﹣2）2﹣1．
15．（3分）如果抛物线y＝ax2+b和直线y＝x+b都经过点P（2，6），则a＝　　，b＝　4　，抛物线的图象不经过第　三、四　象限．
【分析】将点P坐标代入解析式可求a，b的值，即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+b和直线y＝x+b都经过点P（2，6），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+4，
∴抛物线图象不经过第三、四象限，
故答案为：，4，三、四．
三.解答题（共105分）
16．（6分）若抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过点A（m，0）和点B（﹣2，n），求点A、B的坐标．
【分析】将A和B坐标代入抛物线方程中，解出m和n的值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过点A（m，0）和点B（﹣2，n），
∴0＝m2﹣2m﹣3，n＝（﹣2）2﹣2（﹣2）﹣3．
∴（m﹣3）（m+1）＝0，n＝5．
∴m＝3或﹣1；n＝5．
故A的坐标为（3，0），（﹣1，0），B的坐标为（﹣2，5）．
17．（8分）若二次函数的图象y＝（m﹣1）x2+2x与直线y＝x﹣1没有交点，求m的取值范围．
【分析】根据二次函数的定义和二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到m﹣1≠0，方程组无解，再把方程组无解的问题转化为一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0没有实数根的问题，则根据根的判别式的意义得到12﹣4（m﹣1）＜0，然后解不等式即可得到满足条件的m的取值范围．
【解答】解：根据题意m﹣1≠0，方程组无解，
所以m≠1且（m﹣1）x2+2x＝x﹣1没有实数解，
整理得（m﹣1）x2+x+1＝0，
所以△＝12﹣4（m﹣1）＜0，解得m＞，
所以m的取值范围为m＞．
18．（9分）若直线y＝x+3与二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象交于A、B两点，求以A、B及原点O为顶点的三角形的面积．
【分析】先根据题意列出方程组，再求出方程组的解即可得出A、B两点的坐标，再根据A、B两点的坐标是A（0，3）B（1，4），求出△OAB的边OA的长和边OA上的高，再根据三角形面积公式计算即可，
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：或 ，
则A、B两点的坐标是A（0，3）B（1，4），
∵A、B两点的坐标是A（0，3）B（1，4），
∴OA＝3，边OA上的高是1，
∴S△OAB＝×3×1＝；
19．（10分）已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，﹣2）且与y轴交于（0，）
（1）求函数的解析式，并画出它的图象；
（2）当x为何值时，y随x增大而增大．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，将点（0，）代入解析式即可求出a的值，从而得到二次函数解析式；
（2）根据图象即可判定y随x增大而增大时x的取值．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，
将（0，）代入y＝a（x﹣3）2﹣2得，
a＝，
函数解析式为y＝（x﹣3）2﹣2，
即函数的解析式为y＝x2﹣3x+；
画出函数图象如图：
．
（2）由图象可知，当x＞3时，y随x增大而增大．
20．（12分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元，日销售量将减少20千克．
（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多．
【分析】（1）设每千克应涨价x元，则每千克盈利（10+x）元，每天可售出（500﹣20x）千克，根据利润＝每千克盈利×日销售量，列方程解出即可，根据要让顾客得到实惠，所以涨价要选择最小的，即每千克应涨价为5元；
（2）设每千克应涨价x元，利润为w元，根据（1）的等量关系列函数解析式，配方求最值即可．
【解答】解：（1）设每千克应涨价x元，
根据题意得：（10+x）（500﹣20x）＝6000，
解得：x1＝10，x2＝5，
∵要让顾客得到实惠，
∴x＝10舍去，即x＝5，
答：每千克应涨价为5元；
（2）设每千克应涨价x元，利润为w元，
根据题意得：w＝（10+x）（500﹣20x）＝﹣20x2+300x+5000，
w＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，
∵﹣20＜0，
∴w有最大值，
即当x＝7.5时，w有最大利润为6125元，
答：若该商场单纯从经济角度看，每千克应涨价7.5元，商场获利最多为6125元．
21．（14分）某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）．若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？

【分析】（1）根据题意可设解析式为顶点式形式，由A、P两点坐标求解析式；
（2）求水池半径即时求当y＝0时x的值．
【解答】解：
（1）设这条抛物线解析式为y＝a（x+m）2+k
由题意知：顶点A为（1，4），P为（0，3）
∴4＝k，3＝a（0﹣1）2+4，a＝﹣1．
所以这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4．

（2）令y＝0，则0＝﹣（x﹣1）2+4，
解得x1＝3，x2＝﹣1
所以若不计其它因素，水池的半径至少3米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
22．（16分）二次函数的图象与x轴从左到右两个交点依次为A、B，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）如果P（x，y）是线段BC之间的动点，O为坐标原点，试求△POA的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得PO＝PA？若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由．
【分析】（1）抛物线的解析式中，令y＝0可求得C点坐标，令y＝0可求得A、B的坐标；
（2）已知了B、C的坐标，用待定系数法求解即可，根据直线BC的解析式可用x表示出P点的纵坐标，以OA为底，P点纵坐标的绝对值为高即可得到△OAP的面积，由此可求得S、x的函数关系式；
（3）易知△OBC是等腰Rt△，且直角边长为6，根据垂直平分线的性质得出P点位置，进而求出即可．
【解答】解：（1）由题意，在y＝x2﹣中，令y＝0
0＝x2﹣，
解得：x＝4或6，
当x＝0，y＝6，
可得：A（4，0），B（6，0），C（0，6）；

（2）设一次函数的解析式为：y＝kx+b；
将B（6，0）、C（0，6）代入上式，得：
，
解得；
∴y＝﹣x+6；
根据题意得S△POA＝×4×y，
∴y＝﹣x+6；
∴S△POA＝﹣2x+12；
∴0≤x＜6；

（3）∵|OB|＝|OC|，∠COB＝90°；
∴△BOC是等腰直角三角形；
作AO的中垂线交CB于P，
根据垂直平分线的性质得出PO＝PA，
而OA＝4，∴P点横坐标为2，代入直线BC解析式即可，
∴y＝﹣x+6＝﹣2+6＝4，
∴P点坐标为：（2，4），
∴存在这样的点P（2，4），使得OP＝AP．